{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (2 pkt)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od\n40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń. (10.d).\nPrzykładowe rozwiązanie\nJest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n90\nΩ =\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie\nmniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne\n}\n{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\nA\nStąd\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n90\n9\nΩ\nA\nP A\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,\nktóra jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe 1\n9.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze, że\n90\nΩ =\nalbo\n• zapisze, że\n10\nA =\ni nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:\n( )\n10\n1\n90\n9\nA\nP A =\nΩ\nUwaga\n1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik ( )\nP A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako\nrezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko 1\n9, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nZadanie otwarte obliczeniowe. Wynik końcowy:\n\n\\[A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right), \\quad |AB| = \\frac{125}{12}\\]\n\n## Sposób 1 - Warunki prostopadłości i współliniowości\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(A = (a, 0)\\) gdzie \\(a > 0\\) oraz \\(B = (0, b)\\) gdzie \\(b > 0\\). Kąt prosty jest w wierzchołku \\(C = (0, 0)\\), bo nogi leżą wzdłuż osi.\n\n**Krok 1 - warunek \\(CD \\perp AB\\).**\n\nWektor \\(\\overrightarrow{CD} = (3, 4)\\) (od \\(C=(0,0)\\) do \\(D=(3,4)\\)).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{AB} = (-a, b)\\).\n\nDla prostopadłości iloczyn skalarny musi być równy zero:\n\\[\\overrightarrow{CD} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0 \\implies 3 \\cdot (-a) + 4 \\cdot b = 0 \\implies -3a + 4b = 0\\]\n\n\\[\\boxed{3a = 4b} \\quad \\text{(I)}\\]\n\n**Krok 2 - warunek \\(D \\in AB\\).**\n\nRównanie prostej \\(AB\\) (odcinkowe):\n\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(D = (3, 4)\\):\n\\[\\frac{3}{a} + \\frac{4}{b} = 1 \\quad \\text{(II)}\\]\n\n**Krok 3 - rozwiązanie układu.**\n\nZ równania (I): \\(a = \\frac{4b}{3}\\). Podstawiamy do (II):\n\n\\[\\frac{3}{\\frac{4b}{3}} + \\frac{4}{b} = 1 \\implies \\frac{9}{4b} + \\frac{4}{b} = 1 \\implies \\frac{9}{4b} + \\frac{16}{4b} = 1 \\implies \\frac{25}{4b} = 1\\]\n\n\\[b = \\frac{25}{4}\\]\n\n\\[a = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{25}{4} = \\frac{25}{3}\\]\n\n**Krok 4 - długość przeciwprostokątnej.**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{25}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{25}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{625}{9} + \\frac{625}{16}} = 25\\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{16}}\\]\n\n\\[= 25\\sqrt{\\frac{16 + 9}{144}} = 25\\sqrt{\\frac{25}{144}} = 25 \\cdot \\frac{5}{12} = \\frac{125}{12}\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\mathbf{A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right), \\quad |AB| = \\frac{125}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - Parametryzacja prostej AB przez punkt D\n\nTo elegantszy sposób - od razu konstruujemy prostą \\(AB\\) i szukamy przecięć z osiami.\n\n**Krok 1 - kierunek prostej AB.**\n\nProsta \\(AB\\) jest prostopadła do wysokości \\(CD\\). Wektor \\(\\overrightarrow{CD} = (3, 4)\\), więc wektor kierunkowy \\(AB\\) jest prostopadły do \\((3,4)\\):\n\n\\[\\vec{v}_{AB} = (4, -3)\\]\n\n(obrócony o 90°: zamieniamy współrzędne i zmieniamy znak jednej z nich)\n\n**Krok 2 - równanie parametryczne prostej AB.**\n\nProsta \\(AB\\) przechodzi przez \\(D = (3, 4)\\) z kierunkiem \\((4, -3)\\):\n\\[\\begin{cases} x = 3 + 4t \\\\ y = 4 - 3t \\end{cases}\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczenie A (przecięcie z osią Ox, \\(y = 0\\)).**\n\n\\[4 - 3t = 0 \\implies t = \\frac{4}{3}\\]\n\n\\[x_A = 3 + 4 \\cdot \\frac{4}{3} = 3 + \\frac{16}{3} = \\frac{9 + 16}{3} = \\frac{25}{3}\\]\n\n\\[\\mathbf{A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right)}\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczenie B (przecięcie z osią Oy, \\(x = 0\\)).**\n\n\\[3 + 4t = 0 \\implies t = -\\frac{3}{4}\\]\n\n\\[y_B = 4 - 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{4}\\right) = 4 + \\frac{9}{4} = \\frac{16 + 9}{4} = \\frac{25}{4}\\]\n\n\\[\\mathbf{B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right)}\\]\n\n**Krok 5 - weryfikacja i długość AB.**\n\nSprawdzam, czy \\(CD \\perp AB\\):\n\\[\\overrightarrow{CD} \\cdot \\vec{v}_{AB} = (3)(4) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0\\ ✓\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\frac{25}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{25}{4}\\right)^2} = \\frac{125}{12}\\ ✓\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte w Kroku 4 obu sposobów do obliczenia długości przeciwprostokątnej.\n\nWarunek prostopadłości prostych (przez iloczyn skalarny wektorów kierunkowych):\n\\[\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 1) do zapisania warunku \\(CD \\perp AB\\).\n\nRównanie prostej przez dwa punkty (odcinkowe):\n\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 2) do zapisu równania \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta AB jest prostopadła do wysokości CD - nie do odcinka CD! Wektor kierunkowy AB to **obrót** wektora \\((3,4)\\) o 90°, czyli \\((4,-3)\\), **nie** \\((-4,3)\\) (obie wersje są poprawne, bo to ta sama prosta).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|AB|\\) łatwo zapomnieć wyciągnąć \\(25\\) przed pierwiastek. \\(\\sqrt{\\frac{625}{9} + \\frac{625}{16}} = 25\\sqrt{\\frac{1}{9}+\\frac{1}{16}}\\) - ten krok bardzo upraszcza rachunki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest **w \\(C\\)**, bo nogi leżą wzdłuż osi układu (CA na osi Ox, CB na osi Oy). Nie mylić z kątem prostym przy \\(D\\) - kąt przy \\(D\\) jest prostý tylko dlatego, że \\(D\\) jest podstawą wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(A = \\left(\\dfrac{25}{3}, 0\\right)\\), \\(B = \\left(0, \\dfrac{25}{4}\\right)\\), \\(|AB| = \\dfrac{125}{12} = 10\\dfrac{5}{12}\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie prostej \\(AB\\) prostopadłej do \\(CD\\)\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\) (karta wzorów):\n\\[a_{CD} = \\dfrac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}} = \\dfrac{4}{3}.\\]\n\nProsta \\(AB\\) prostopadła do \\(CD\\): \\(a_{AB} = -\\dfrac{1}{a_{CD}} = -\\dfrac{3}{4}\\).\n\nProsta \\(AB\\) przechodzi przez \\(D=(3,4)\\):\n\\[y = -\\dfrac{3}{4}(x-3) + 4 = -\\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{25}{4}.\\]\n\n**Punkt \\(B\\) (na osi \\(Oy\\), \\(x=0\\)):** \\(y = \\dfrac{25}{4}\\), czyli \\(B = \\left(0, \\dfrac{25}{4}\\right)\\).\n\n**Punkt \\(A\\) (na osi \\(Ox\\), \\(y=0\\)):** \\(0 = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{4} \\Rightarrow x = \\dfrac{25}{3}\\), czyli \\(A = \\left(\\dfrac{25}{3}, 0\\right)\\).\n\n**Długość \\(AB\\):**\n\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\dfrac{25}{3}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{25}{4}\\right)^{2}} = \\sqrt{\\dfrac{625}{9} + \\dfrac{625}{16}} = \\sqrt{625\\cdot\\dfrac{16+9}{144}} = \\sqrt{625\\cdot\\dfrac{25}{144}} = \\dfrac{25\\cdot 5}{12} = \\dfrac{125}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Własności wysokości trójkąta prostokątnego\n\\(|CD| = \\sqrt{9+16} = 5\\). Z twierdzenia Pitagorasa w \\(\\triangle ACD\\) i \\(\\triangle BCD\\):\n\\[|AD|^{2} + 25 = |AC|^{2}, \\quad |BD|^{2} + 25 = |BC|^{2}.\\]\n\nAlbo (sprytniej): wysokość \\(CD\\) prostokąta \\(ABC\\) spełnia \\(|AD|\\cdot |DB| = |CD|^{2} = 25\\), i dalej liczymy przez trygonometrię.\n\nKońcowy wynik: \\(|AB| = \\tfrac{125}{12}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(a_{CD} = \\tfrac{4}{3}\\).\n- **2 pkt** - zapis równania prostej \\(AB\\): \\(y = -\\tfrac{3}{4}(x-3)+4\\).\n- **3 pkt** - wyznaczenie obu wierzchołków \\(A, B\\).\n- **4 pkt** - obliczenie \\(|AB| = \\tfrac{125}{12} = 10\\tfrac{5}{12}\\).\n\n**Trik:** Wysokość z kąta prostego jest **prostopadła** do przeciwprostokątnej - to zamienia problem geometryczny w algebrę wektorów.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (2 pkt)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od
40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
33.
Maks. liczba pkt
5
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności
prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna
definicja prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń. (10.d).
Przykładowe rozwiązanie
Jest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
90
Ω =
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie
mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne
}
{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39
A
Stąd
10
A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
10
1
90
9
Ω
A
P A
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,
która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe 1
9.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze, że
90
Ω =
albo
• zapisze, że
10
A =
i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:
( )
10
1
90
9
A
P A =
Ω
Uwaga

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik ( )
\n

P A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako
\n

rezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko 1
\n

9, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Zadanie otwarte obliczeniowe. Wynik końcowy:

\n

\\[A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right), \\quad |AB| = \\frac{125}{12}\\]

\n

Sposób 1 - Warunki prostopadłości i współliniowości

\n

Oznaczenia. Niech \\(A = (a, 0)\\) gdzie \\(a > 0\\) oraz \\(B = (0, b)\\) gdzie \\(b > 0\\). Kąt prosty jest w wierzchołku \\(C = (0, 0)\\), bo nogi leżą wzdłuż osi.

\n

Krok 1 - warunek \\(CD \\perp AB\\).

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{CD} = (3, 4)\\) (od \\(C=(0,0)\\) do \\(D=(3,4)\\)).

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{AB} = (-a, b)\\).

\n

Dla prostopadłości iloczyn skalarny musi być równy zero:
\\[\\overrightarrow{CD} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0 \\implies 3 \\cdot (-a) + 4 \\cdot b = 0 \\implies -3a + 4b = 0\\]

\n

\\[\\boxed{3a = 4b} \\quad \\text{(I)}\\]

\n

Krok 2 - warunek \\(D \\in AB\\).

\n

Równanie prostej \\(AB\\) (odcinkowe):
\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1\\]

\n

Podstawiamy \\(D = (3, 4)\\):
\\[\\frac{3}{a} + \\frac{4}{b} = 1 \\quad \\text{(II)}\\]

\n

Krok 3 - rozwiązanie układu.

\n

Z równania (I): \\(a = \\frac{4b}{3}\\). Podstawiamy do (II):

\n

\\[\\frac{3}{\\frac{4b}{3}} + \\frac{4}{b} = 1 \\implies \\frac{9}{4b} + \\frac{4}{b} = 1 \\implies \\frac{9}{4b} + \\frac{16}{4b} = 1 \\implies \\frac{25}{4b} = 1\\]

\n

\\[b = \\frac{25}{4}\\]

\n

\\[a = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{25}{4} = \\frac{25}{3}\\]

\n

Krok 4 - długość przeciwprostokątnej.

\n

\\[|AB| = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{25}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{25}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{625}{9} + \\frac{625}{16}} = 25\\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{16}}\\]

\n

\\[= 25\\sqrt{\\frac{16 + 9}{144}} = 25\\sqrt{\\frac{25}{144}} = 25 \\cdot \\frac{5}{12} = \\frac{125}{12}\\]

\n

Wynik:
\\[\\mathbf{A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right), \\quad B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right), \\quad |AB| = \\frac{125}{12}}\\]

\n

Sposób 2 - Parametryzacja prostej AB przez punkt D

\n

To elegantszy sposób - od razu konstruujemy prostą \\(AB\\) i szukamy przecięć z osiami.

\n

Krok 1 - kierunek prostej AB.

\n

Prosta \\(AB\\) jest prostopadła do wysokości \\(CD\\). Wektor \\(\\overrightarrow{CD} = (3, 4)\\), więc wektor kierunkowy \\(AB\\) jest prostopadły do \\((3,4)\\):

\n

\\[\\vec{v}_{AB} = (4, -3)\\]

\n

(obrócony o 90°: zamieniamy współrzędne i zmieniamy znak jednej z nich)

\n

Krok 2 - równanie parametryczne prostej AB.

\n

Prosta \\(AB\\) przechodzi przez \\(D = (3, 4)\\) z kierunkiem \\((4, -3)\\):
\\[\\begin{cases} x = 3 + 4t \\\\ y = 4 - 3t \\end{cases}\\]

\n

Krok 3 - wyznaczenie A (przecięcie z osią Ox, \\(y = 0\\)).

\n

\\[4 - 3t = 0 \\implies t = \\frac{4}{3}\\]

\n

\\[x_A = 3 + 4 \\cdot \\frac{4}{3} = 3 + \\frac{16}{3} = \\frac{9 + 16}{3} = \\frac{25}{3}\\]

\n

\\[\\mathbf{A = \\left(\\frac{25}{3},\\ 0\\right)}\\]

\n

Krok 4 - wyznaczenie B (przecięcie z osią Oy, \\(x = 0\\)).

\n

\\[3 + 4t = 0 \\implies t = -\\frac{3}{4}\\]

\n

\\[y_B = 4 - 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{4}\\right) = 4 + \\frac{9}{4} = \\frac{16 + 9}{4} = \\frac{25}{4}\\]

\n

\\[\\mathbf{B = \\left(0,\\ \\frac{25}{4}\\right)}\\]

\n

Krok 5 - weryfikacja i długość AB.

\n

Sprawdzam, czy \\(CD \\perp AB\\):
\\[\\overrightarrow{CD} \\cdot \\vec{v}_{AB} = (3)(4) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0\\ ✓\\]

\n

\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\frac{25}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{25}{4}\\right)^2} = \\frac{125}{12}\\ ✓\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyte w Kroku 4 obu sposobów do obliczenia długości przeciwprostokątnej.

\n

Warunek prostopadłości prostych (przez iloczyn skalarny wektorów kierunkowych):
\\[\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0\\]
Użyte w Sposobie 1 (Krok 1) do zapisania warunku \\(CD \\perp AB\\).

\n

Równanie prostej przez dwa punkty (odcinkowe):
\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1\\]
Użyte w Sposobie 1 (Krok 2) do zapisu równania \\(AB\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Prosta AB jest prostopadła do wysokości CD - nie do odcinka CD! Wektor kierunkowy AB to obrót wektora \\((3,4)\\) o 90°, czyli \\((4,-3)\\), nie \\((-4,3)\\) (obie wersje są poprawne, bo to ta sama prosta).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(|AB|\\) łatwo zapomnieć wyciągnąć \\(25\\) przed pierwiastek. \\(\\sqrt{\\frac{625}{9} + \\frac{625}{16}} = 25\\sqrt{\\frac{1}{9}+\\frac{1}{16}}\\) - ten krok bardzo upraszcza rachunki.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt prosty jest w \\(C\\), bo nogi leżą wzdłuż osi układu (CA na osi Ox, CB na osi Oy). Nie mylić z kątem prostym przy \\(D\\) - kąt przy \\(D\\) jest prostý tylko dlatego, że \\(D\\) jest podstawą wysokości.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(\\dfrac{25}{3}, 0\\right)\\), \\(B = \\left(0, \\dfrac{25}{4}\\right)\\), \\(|AB| = \\dfrac{125}{12} = 10\\dfrac{5}{12}\\).

\n
Sposób 1 - Równanie prostej \\(AB\\) prostopadłej do \\(CD\\)
\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\) (karta wzorów):
\\[a_{CD} = \\dfrac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}} = \\dfrac{4}{3}.\\]

\n

Prosta \\(AB\\) prostopadła do \\(CD\\): \\(a_{AB} = -\\dfrac{1}{a_{CD}} = -\\dfrac{3}{4}\\).

\n

Prosta \\(AB\\) przechodzi przez \\(D=(3,4)\\):
\\[y = -\\dfrac{3}{4}(x-3) + 4 = -\\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{25}{4}.\\]

\n

Punkt \\(B\\) (na osi \\(Oy\\), \\(x=0\\)): \\(y = \\dfrac{25}{4}\\), czyli \\(B = \\left(0, \\dfrac{25}{4}\\right)\\).

\n

Punkt \\(A\\) (na osi \\(Ox\\), \\(y=0\\)): \\(0 = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{4} \\Rightarrow x = \\dfrac{25}{3}\\), czyli \\(A = \\left(\\dfrac{25}{3}, 0\\right)\\).

\n

Długość \\(AB\\):
\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\dfrac{25}{3}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{25}{4}\\right)^{2}} = \\sqrt{\\dfrac{625}{9} + \\dfrac{625}{16}} = \\sqrt{625\\cdot\\dfrac{16+9}{144}} = \\sqrt{625\\cdot\\dfrac{25}{144}} = \\dfrac{25\\cdot 5}{12} = \\dfrac{125}{12}.\\]

\n
Sposób 2 - Własności wysokości trójkąta prostokątnego
\n

\\(|CD| = \\sqrt{9+16} = 5\\). Z twierdzenia Pitagorasa w \\(\\triangle ACD\\) i \\(\\triangle BCD\\):
\\[|AD|^{2} + 25 = |AC|^{2}, \\quad |BD|^{2} + 25 = |BC|^{2}.\\]

\n

Albo (sprytniej): wysokość \\(CD\\) prostokąta \\(ABC\\) spełnia \\(|AD|\\cdot |DB| = |CD|^{2} = 25\\), i dalej liczymy przez trygonometrię.

\n

Końcowy wynik: \\(|AB| = \\tfrac{125}{12}\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Wysokość z kąta prostego jest prostopadła do przeciwprostokątnej - to zamienia problem geometryczny w algebrę wektorów.

"}]}