Zadanie 34. (4 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi
podstawy ostrosłupa jest równa
4
3
5
, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest
równe 15 3
4
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Zadanie 34. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem
trygonometrii (9.b).
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie
15 3
1
5 3
3
4
2
4
a
= ⋅
⋅
, skąd otrzymujemy
2
a
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy
Ponieważ
1
3
3
3
2
3
⋅
DO
a
, więc
2
2
2
5 3
3
4
3
H
Stąd
209
4 3
H
Zatem objętość ostrosłupa jest równa
1
1 4 3
209
209
3
3
4
12
4 3
⋅
⋅
⋅
p
V
P
H
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze równanie 15 3
1
5 3
3
4
2
4
a
= ⋅
⋅
albo
2
2
2
DO
h
H
A
B
C
S
h
H
O
a
b
D
a
• zapisze, że
1
3
3
2
DO
a
⋅
lub
2
3
3
2
AO
a
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:
2
a =
i zapisze równanie
z niewiadomą H, np.:
2
2
2
5 3
3
4
6
a
H
albo
• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:
2
a =
i zapisze układ równań
wystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np.:
2
2
2
2
2
2
3
3
5 3
2
4
a
H
b
a
b
+
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa:
209
4 3
H
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy objętość V ostrosłupa:
209
12
V
Uwagi
2
a =
bez obliczeń i rozwiąże zadanie do
końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.
4
lub liczbę 15 3
4
i z tym błędem rozwiąże
zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.
to otrzymuje 0 punktów.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Hmm, zanim napiszę - policzę dokładnie. To zadanie otwarte, obliczmy objętość krok po kroku.
\nKrok 1: Wyznacz wymiary podstawy.
\nW trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy C środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej AB. Zatem:
\\[SC = SA = SB = R\\]
gdzie \\(R\\) to promień okręgu opisanego.
Skoro \\(|SC| = 5\\), to \\(R = 5\\), a zatem:
\\[|AB| = 2R = 10\\]
Krok 2: Wyznacz długości przyprostokątnych.
\nZe stosunku \\(|AC| : |BC| = 4 : 3\\) przyjmijmy \\(|AC| = 4k\\), \\(|BC| = 3k\\).
\nZ twierdzenia Pitagorasa:
\\[|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2\\]
\\[(4k)^2 + (3k)^2 = 10^2\\]
\\[16k^2 + 9k^2 = 100\\]
\\[25k^2 = 100 \\implies k^2 = 4 \\implies k = 2\\]
Zatem:
\\[|AC| = 8, \\quad |BC| = 6\\]
Krok 3: Wyznacz wysokość graniastosłupa ze ściany bocznej BEFC.
\nŚciana BEFC to prostokąt, którego podstawą jest krawędź \\(BC\\), a wysokością jest wysokość graniastosłupa \\(h\\). Zatem:
\\[P_{BEFC} = |BC| \\cdot h = 6h = 48\\]
\\[\\boxed{h = 8}\\]
Krok 4: Pole podstawy trójkąta ABC.
\n\\[P_{ABC} = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 6 = 24\\]
\nKrok 5: Objętość graniastosłupa.
\n\\[V = P_{ABC} \\cdot h = 24 \\cdot 8 = \\boxed{192}\\]
\nSprawdzamy, czy wyznaczone dane są ze sobą spójne:
\nWspółrzędnie: \\(A = (0,8)\\), \\(B = (6, 0)\\), \\(C = (0, 0)\\).
\n\\[S = \\left(\\frac{0+6}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (3, 4)\\]
\\[|SC| = \\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5 \\checkmark\\]
Pole ściany BEFC:
\\[P_{BEFC} = |BC| \\cdot h = 6 \\cdot 8 = 48 \\checkmark\\]
Objętość:
\\[V = 24 \\cdot 8 = \\mathbf{192}\\]
Dział 10 (Planimetria, s. 15-17) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia \\(k\\) z przeciwprostokątnej \\(|AB| = 10\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Dla trójkąta prostokątnego: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC|\\). Użyte w Kroku 4.
Dział 10 (Planimetria, s. 18) - własność okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:
\nŚrodek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej, a promień \\(R = \\frac{c}{2}\\).\n
Kluczowy fakt użyty w Kroku 1: \\(|SC| = R = 5 \\Rightarrow |AB| = 10\\).
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość graniastosłupa:
\\[V = P_p \\cdot h\\]
Użyte w Kroku 5.
⚠️ Uwaga: Najważniejszy krok to rozpoznanie, że S (środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym) leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej. Bez tego faktu nie wyznaczymy AB = 10. Wielu uczniów szuka S innymi metodami i się gubi.\n
⚠️ Uwaga: Ściana BEFC to ściana boczna przy krawędzi BC (długość 6), nie przy AC (długość 8). Pomylenie tych krawędzi daje \\(h = 6\\) zamiast \\(h = 8\\) i błędną objętość 144.\n
⚠️ Uwaga: Stosunek \\(4:3\\) to stosunek długości, nie pól. Łatwo wpaść w pułapkę i przyjąć \\(|AC| = 4\\), \\(|BC| = 3\\) bez przemnożenia przez \\(k\\) - wtedy \\(|AB| = 5 \\neq 10\\) i wszystko się sypie.\n
Poprawna odpowiedź: \\(V = 192\\).
\nKrok 1. Długość przeciwprostokątnej \\(AB\\).
\nW trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a promień = połowa przeciwprostokątnej:
\\[|SC| = |SA| = |SB| = 5 \\Rightarrow |AB| = 2\\cdot 5 = 10.\\]
Krok 2. Długości przyprostokątnych.
\nNiech \\(|AC| = 4x\\), \\(|BC| = 3x\\) (stosunek \\(4:3\\)). Z tw. Pitagorasa:
\\[(4x)^{2} + (3x)^{2} = 10^{2},\\]
\\[16x^{2} + 9x^{2} = 100,\\]
\\[25x^{2} = 100 \\Rightarrow x = 2.\\]
Zatem \\(|AC| = 8\\), \\(|BC| = 6\\).
\nKrok 3. Wysokość graniastosłupa \\(H = |BE|\\) z pola ściany \\(BEFC\\).
\nŚciana \\(BEFC\\) to prostokąt o bokach \\(|BC| = 6\\) i \\(|BE| = H\\):
\\[6 \\cdot H = 48 \\Rightarrow H = 8.\\]
Krok 4. Pole podstawy i objętość.
\nPole trójkąta \\(ABC\\): \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AC|\\cdot |BC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot 6 = 24\\).
\n\\[V = P\\cdot H = 24\\cdot 8 = \\boxed{192.}\\]
\nSkoro \\(|AB|=10\\) i stosunek przyprostokątnych \\(4:3\\), natychmiast rozpoznajemy trójkę \\((6,8,10) = 2\\cdot (3,4,5)\\). Dalej identycznie: \\(H=8\\), \\(P=24\\), \\(V=192\\).
\nTrik: Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym = środek przeciwprostokątnej. Trójka \\((3,4,5)\\) (i jej wielokrotności) zawsze warto mieć w głowie.
"}]}