{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku\ndo liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt\nliczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?\nA. 4050\nB. 1782\nC. 7425\nD. 7128","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\) jest równa **\\(3\\)**.\n\n## Sposób 1 - Obliczenie z definicji logarytmu\n\n**Krok 1: Oblicz \\(\\log_3 27\\)**\n\nPytamy: *do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(27\\)?*\n\n\\[3^? = 27 = 3^3 \\implies \\log_3 27 = 3\\]\n\n**Krok 2: Oblicz \\(\\log_3 1\\)**\n\nPytamy: *do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(1\\)?*\n\n\\[3^? = 1 = 3^0 \\implies \\log_3 1 = 0\\]\n\n**Krok 3: Odejmij**\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność logarytmu ilorazu\n\nZamiast liczyć oba logarytmy osobno, możemy skorzystać ze wzoru na logarytm ilorazu:\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\frac{27}{1} = \\log_3 27\\]\n\nTeraz obliczamy jeden logarytm:\n\n\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3 \\cdot 1 = \\mathbf{3}\\]\n\n(skorzystaliśmy ze wzoru \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\) oraz \\(\\log_3 3 = 1\\))\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia \\(\\log_3 27 = 3\\) i \\(\\log_3 1 = 0\\).\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_3 3^3 = 3\\).\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do połączenia różnicy logarytmów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_3 27 - \\log_3 27\\) zamiast \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\), albo błędnie myśli, że \\(\\log_3 1 = 1\\) i \\(\\log_3 27 - 1\\) daje \\(0\\) przez jakiś skrót myślowy |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń myli \\(\\log_3 1 = 1\\) (zamiast \\(0\\)) i liczy \\(3 - 2 = 1\\) lub \\(3 - 1 = 1\\) myląc \\(\\log_3 27 = 2\\) |\n| C (\\(2\\)) | Podwójny błąd: \\(\\log_3 27 = 2\\) (pomylono z \\(\\log_3 9\\)) i \\(\\log_3 1 = 0\\), co daje \\(2 - 0 = 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 1 = 0\\) zawsze - niezależnie od podstawy! Każda liczba w potędze \\(0\\) daje \\(1\\), więc \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdego \\(a > 0, a \\neq 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\log_3 27\\) z \\(\\log_3 9\\). Sprawdź: \\(3^2 = 9\\), \\(3^3 = 27\\) - tu odpowiedź to \\(3\\), nie \\(2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 3 = 1\\) (nie \\(3\\)!) - logarytm z podstawy do niej samej zawsze wynosi \\(1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu\n\\(\\log_3 27 = 3\\) (bo \\(3^3 = 27\\)), a \\(\\log_a 1 = 0\\) dla dowolnej podstawy.\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\)\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\tfrac{27}{1} = \\log_3 27 = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - ktoś myślał, że \\(\\log_3 27 = 1\\) i \\(\\log_3 1 = 1\\) (błąd).\n- **B. \\(1\\)** - pomyłka w obliczeniu \\(\\log_3 27\\).\n- **C. \\(2\\)** - ktoś obliczył \\(\\log_3 27 = 2\\) (błąd: \\(3^2 = 9\\), nie \\(27\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log_a 1 = 0\\) dla **każdej** podstawy \\(a > 0\\), \\(a \\ne 1\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku
do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt
liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
A. 4050
B. 1782
C. 7425
D. 7128

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie
\n

procentu i punktu procentowego
w obliczeniach (1.d).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Liczba \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\) jest równa \\(3\\).

\n

Sposób 1 - Obliczenie z definicji logarytmu

\n

Krok 1: Oblicz \\(\\log_3 27\\)

\n

Pytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(27\\)?

\n

\\[3^? = 27 = 3^3 \\implies \\log_3 27 = 3\\]

\n

Krok 2: Oblicz \\(\\log_3 1\\)

\n

Pytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(1\\)?

\n

\\[3^? = 1 = 3^0 \\implies \\log_3 1 = 0\\]

\n

Krok 3: Odejmij

\n

\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = \\mathbf{3}\\]

\n

Sposób 2 - Własność logarytmu ilorazu

\n

Zamiast liczyć oba logarytmy osobno, możemy skorzystać ze wzoru na logarytm ilorazu:

\n

\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\frac{27}{1} = \\log_3 27\\]

\n

Teraz obliczamy jeden logarytm:

\n

\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3 \\cdot 1 = \\mathbf{3}\\]

\n

(skorzystaliśmy ze wzoru \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\) oraz \\(\\log_3 3 = 1\\))

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Definicja logarytmu:
\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]
Użyliśmy tego do wyznaczenia \\(\\log_3 27 = 3\\) i \\(\\log_3 1 = 0\\).

\n

Własność logarytmu potęgi:
\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_3 3^3 = 3\\).

\n

Własność logarytmu ilorazu:
\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do połączenia różnicy logarytmów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(0\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_3 27 - \\log_3 27\\) zamiast \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\), albo błędnie myśli, że \\(\\log_3 1 = 1\\) i \\(\\log_3 27 - 1\\) daje \\(0\\) przez jakiś skrót myślowy |
| B (\\(1\\)) | Uczeń myli \\(\\log_3 1 = 1\\) (zamiast \\(0\\)) i liczy \\(3 - 2 = 1\\) lub \\(3 - 1 = 1\\) myląc \\(\\log_3 27 = 2\\) |
| C (\\(2\\)) | Podwójny błąd: \\(\\log_3 27 = 2\\) (pomylono z \\(\\log_3 9\\)) i \\(\\log_3 1 = 0\\), co daje \\(2 - 0 = 2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_3 1 = 0\\) zawsze - niezależnie od podstawy! Każda liczba w potędze \\(0\\) daje \\(1\\), więc \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdego \\(a > 0, a \\neq 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(\\log_3 27\\) z \\(\\log_3 9\\). Sprawdź: \\(3^2 = 9\\), \\(3^3 = 27\\) - tu odpowiedź to \\(3\\), nie \\(2\\)!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_3 3 = 1\\) (nie \\(3\\)!) - logarytm z podstawy do niej samej zawsze wynosi \\(1\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu
\n

\\(\\log_3 27 = 3\\) (bo \\(3^3 = 27\\)), a \\(\\log_a 1 = 0\\) dla dowolnej podstawy.
\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Własność \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\)
\n

\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\tfrac{27}{1} = \\log_3 27 = 3.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a > 0\\), \\(a \\ne 1\\).

"}]}