{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nRówność (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\njest\nA. prawdziwa dla\n2\nx\nB. prawdziwa dla\n2\nx =\nC. prawdziwa dla\n1\nx = -.\nD. fałszywa dla każdej liczby x.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci\nsumy przedziałów (3.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[(x^3-3)(x^3+1)\\]\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(x^6 - 2x^3 - 3\\) zawiera tylko potęgi \\(x^6 = (x^3)^2\\) i \\(x^3\\). To klasyczny sygnał do podstawienia.\n\nPodstawiamy \\(t = x^3\\):\n\n\\[x^6 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\\]\n\nTeraz mamy zwykły trójmian kwadratowy względem \\(t\\). Szukamy dwóch liczb, których **suma** wynosi \\(-2\\), a **iloczyn** wynosi \\(-3\\).\n\nTakie liczby to \\(-3\\) i \\(+1\\), bo:\n\\[(-3) + 1 = -2 \\quad \\text{i} \\quad (-3) \\cdot 1 = -3\\]\n\nZatem:\n\\[t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1)\\]\n\nWracamy do \\(x\\) - zamieniamy \\(t\\) z powrotem na \\(x^3\\):\n\n\\[\\boxed{(x^3 - 3)(x^3 + 1)}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego\n\nTraktujemy \\(t^2 - 2t - 3\\) jako trójmian kwadratowy \\(at^2 + bt + c\\) z \\(a=1, b=-2, c=-3\\).\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[t_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 4}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\\[t_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 4}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\nPostać iloczynowa trójmianu (współczynnik \\(a = 1\\)):\n\\[t^2 - 2t - 3 = 1 \\cdot (t - t_1)(t - t_2) = (t - (-1))(t - 3) = (t+1)(t-3)\\]\n\nPodstawiamy \\(t = x^3\\):\n\\[(x^3 + 1)(x^3 - 3) = (x^3 - 3)(x^3 + 1)\\]\n\n**Wynik ten sam: odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozłożenia trójmianu \\(t^2 - 2t - 3\\) na czynniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Błąd |\n| A | \\((x^3+1)(x^2-3)\\) | Stopnie czynników nie zgadzają się: \\((x^3+1)(x^2-3)\\) daje wyraz \\(x^5\\), a w wyniku mnożenia nie może wyjść \\(x^6 - 2x^3 - 3\\) (brak \\(x^5\\) OK, ale \\(x^2 \\cdot x^3 = x^5\\) się pojawia). Sprawdzenie: \\(x^3 \\cdot x^2 - 3x^3 + x^2 - 3 = x^5 - 3x^3 + x^2 - 3\\) - to nie jest nasze wyrażenie. |\n| C | \\((x^2+3)(x^4-1)\\) | Mnożenie: \\(x^6 - x^2 + 3x^4 - 3 = x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\\). Pojawia się \\(x^4\\) i \\(x^2\\), których nie ma w oryginale. |\n| D | \\((x^4+1)(x^2-3)\\) | Mnożenie: \\(x^6 - 3x^4 + x^2 - 3\\). Znowu pojawiają się \\(x^4\\) i \\(x^2\\) - błąd. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^6 = (x^3)^2\\), NIE \\((x^2)^3\\) w sensie podstawienia - tutaj kluczowe jest zobaczenie \\(x^3\\) jako jednej zmiennej, bo wtedy wykładniki to 2 i 1, nie 3 i 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozłożeniu na czynniki zawsze sprawdź stopnie! Odpowiedzi A, C, D mają czynniki różnych stopni - ich iloczyn dałby wyrazy pośrednie (np. \\(x^5\\), \\(x^4\\)), których nie ma w \\(x^6 - 2x^3 - 3\\). To szybki sposób na eliminację dystraktorów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy powrocie z podstawienia pamiętaj: \\(t_1 = -1\\) daje czynnik \\((t - (-1)) = (t+1) = (x^3+1)\\), a nie \\((x^3-1)\\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)\nWyrażenie \\(x^6 - 2x^3 - 3 = (x^3)^2 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\\). Rozkładamy trójmian kwadratowy:\n\\(t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1)\\).\nWracamy: \\((x^3 - 3)(x^3 + 1)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wzorem Viète'a\nSzukamy dwóch liczb, których suma to \\(2\\) a iloczyn \\(-3\\): to \\(3\\) i \\(-1\\). Zatem \\(t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t - (-1)) = (t-3)(t+1)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((x^3+1)(x^2-3)\\)** - wykładnik \\(x^2\\) daje po rozwinięciu \\(x^5\\), a nie \\(x^6\\).\n- **C. \\((x^2+3)(x^4-1)\\)** - rozwija się do \\(x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\\), co jest różne od \\(x^6 - 2x^3 - 3\\).\n- **D. \\((x^4+1)(x^2-3)\\)** - rozwinięcie daje \\(x^6 + x^2 - 3x^4 - 3\\), nie to wyrażenie.\n\n**Trik:** gdy widzisz wykładnik \\(2n\\) i \\(n\\), podstaw \\(t = x^n\\) i rozwiąż jako trójmian kwadratowy.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Równość (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
x
jest
A. prawdziwa dla
2
x
B. prawdziwa dla
2
x =
C. prawdziwa dla
1
x = -.
D. fałszywa dla każdej liczby x.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje równania i nierówności
kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci
sumy przedziałów (3.a).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\[(x^3-3)(x^3+1)\\]

\n

Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)

\n

Zauważamy, że wyrażenie \\(x^6 - 2x^3 - 3\\) zawiera tylko potęgi \\(x^6 = (x^3)^2\\) i \\(x^3\\). To klasyczny sygnał do podstawienia.

\n

Podstawiamy \\(t = x^3\\):

\n

\\[x^6 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\\]

\n

Teraz mamy zwykły trójmian kwadratowy względem \\(t\\). Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-2\\), a iloczyn wynosi \\(-3\\).

\n

Takie liczby to \\(-3\\) i \\(+1\\), bo:
\\[(-3) + 1 = -2 \\quad \\text{i} \\quad (-3) \\cdot 1 = -3\\]

\n

Zatem:
\\[t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1)\\]

\n

Wracamy do \\(x\\) - zamieniamy \\(t\\) z powrotem na \\(x^3\\):

\n

\\[\\boxed{(x^3 - 3)(x^3 + 1)}\\]

\n

Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego

\n

Traktujemy \\(t^2 - 2t - 3\\) jako trójmian kwadratowy \\(at^2 + bt + c\\) z \\(a=1, b=-2, c=-3\\).

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[t_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 4}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]
\\[t_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 4}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]

\n

Postać iloczynowa trójmianu (współczynnik \\(a = 1\\)):
\\[t^2 - 2t - 3 = 1 \\cdot (t - t_1)(t - t_2) = (t - (-1))(t - 3) = (t+1)(t-3)\\]

\n

Podstawiamy \\(t = x^3\\):
\\[(x^3 + 1)(x^3 - 3) = (x^3 - 3)(x^3 + 1)\\]

\n

Wynik ten sam: odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa i miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozłożenia trójmianu \\(t^2 - 2t - 3\\) na czynniki.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wyrażenie | Błąd |
| A | \\((x^3+1)(x^2-3)\\) | Stopnie czynników nie zgadzają się: \\((x^3+1)(x^2-3)\\) daje wyraz \\(x^5\\), a w wyniku mnożenia nie może wyjść \\(x^6 - 2x^3 - 3\\) (brak \\(x^5\\) OK, ale \\(x^2 \\cdot x^3 = x^5\\) się pojawia). Sprawdzenie: \\(x^3 \\cdot x^2 - 3x^3 + x^2 - 3 = x^5 - 3x^3 + x^2 - 3\\) - to nie jest nasze wyrażenie. |
| C | \\((x^2+3)(x^4-1)\\) | Mnożenie: \\(x^6 - x^2 + 3x^4 - 3 = x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\\). Pojawia się \\(x^4\\) i \\(x^2\\), których nie ma w oryginale. |
| D | \\((x^4+1)(x^2-3)\\) | Mnożenie: \\(x^6 - 3x^4 + x^2 - 3\\). Znowu pojawiają się \\(x^4\\) i \\(x^2\\) - błąd. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(x^6 = (x^3)^2\\), NIE \\((x^2)^3\\) w sensie podstawienia - tutaj kluczowe jest zobaczenie \\(x^3\\) jako jednej zmiennej, bo wtedy wykładniki to 2 i 1, nie 3 i 1.
\n
⚠️ Uwaga: Po rozłożeniu na czynniki zawsze sprawdź stopnie! Odpowiedzi A, C, D mają czynniki różnych stopni - ich iloczyn dałby wyrazy pośrednie (np. \\(x^5\\), \\(x^4\\)), których nie ma w \\(x^6 - 2x^3 - 3\\). To szybki sposób na eliminację dystraktorów.
\n
⚠️ Uwaga: Przy powrocie z podstawienia pamiętaj: \\(t_1 = -1\\) daje czynnik \\((t - (-1)) = (t+1) = (x^3+1)\\), a nie \\((x^3-1)\\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Podstawienie \\(t = x^3\\)
\n

Wyrażenie \\(x^6 - 2x^3 - 3 = (x^3)^2 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\\). Rozkładamy trójmian kwadratowy:
\\(t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1)\\).
Wracamy: \\((x^3 - 3)(x^3 + 1)\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie wzorem Viète'a
\n

Szukamy dwóch liczb, których suma to \\(2\\) a iloczyn \\(-3\\): to \\(3\\) i \\(-1\\). Zatem \\(t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t - (-1)) = (t-3)(t+1)\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: gdy widzisz wykładnik \\(2n\\) i \\(n\\), podstaw \\(t = x^n\\) i rozwiąż jako trójmian kwadratowy.

"}]}