{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n4\n1\n2\n0\nx\nx\n>\nnie należy liczba\nA.\n3\nB.\n1\nC. 1\nD. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza\nwartość liczbową wyrażenia wymiernego dla\ndanej wartości zmiennej (2.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - przedział \\(\\langle 9, 11 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności podwójnej\n\nMamy nierówność podwójną:\n\\[11 \\leqslant 2x - 7 \\leqslant 15\\]\n\nRozwiązujemy ją, wykonując **te same działania na wszystkich trzech częściach** jednocześnie.\n\n**Krok 1:** Dodaj \\(7\\) do każdej części:\n\\[11 + 7 \\leqslant 2x - 7 + 7 \\leqslant 15 + 7\\]\n\\[18 \\leqslant 2x \\leqslant 22\\]\n\n**Krok 2:** Podziel każdą część przez \\(2\\):\n\\[\\frac{18}{2} \\leqslant \\frac{2x}{2} \\leqslant \\frac{22}{2}\\]\n\\[9 \\leqslant x \\leqslant 11\\]\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\langle 9, 11 \\rangle\\)\n\nTo domknięty przedział, bo obie nierówności są nieostre (\\(\\leqslant\\)). Odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie przez dwie osobne nierówności\n\nNierówność podwójną można rozbić na dwa warunki jednocześnie:\n\n**Warunek 1:** \\(11 \\leqslant 2x - 7\\)\n\\[11 + 7 \\leqslant 2x \\implies 18 \\leqslant 2x \\implies x \\geqslant 9\\]\n\n**Warunek 2:** \\(2x - 7 \\leqslant 15\\)\n\\[2x \\leqslant 15 + 7 \\implies 2x \\leqslant 22 \\implies x \\leqslant 11\\]\n\nOba warunki muszą być spełnione **jednocześnie** (iloczyn zbiorów):\n\\[x \\geqslant 9 \\quad \\text{i} \\quad x \\leqslant 11 \\implies x \\in \\langle 9, 11 \\rangle\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności (dodawanie tej samej liczby do obu stron, dzielenie przez liczbę dodatnią).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wyniki \\(-11\\) i \\(-9\\) - uczeń **odjął** 7 zamiast dodać (lub popełnił błąd znaku) |\n| B | Wyniki \\(9\\) i \\(11\\) prawidłowe, ale zaznaczono **dopełnienie** przedziału (dwa ramiona) zamiast przedziału domkniętego - mylenie rozwiązania nierówności z wartością bezwzględną |\n| C | Wyniki \\(-11\\) i \\(-9\\) - błąd znaku jak w A, dodatkowo jeszcze wybór przedziału zamiast półprostych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności podwójnej musisz wykonywać **dokładnie to samo działanie na wszystkich trzech częściach** - lewej, środkowej i prawej. Nie wolno np. dodać do jednej części a pominąć innej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówności nieostre (\\(\\leqslant\\)) oznaczają **przedział domknięty** - końce przedziału należą do zbioru rozwiązań. Na rysunku to zaznaczone **wypełnionymi kropkami**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B ma te same liczby (\\(9\\) i \\(11\\)), ale przedstawia **dwie półproste** - to byłoby rozwiązanie nierówności \\(|x - 10| \\geqslant 1\\), a nie naszej nierówności podwójnej. Nie daj się zmylić znajomymi liczbami!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie podwójnej nierówności\nDodajemy \\(7\\) do wszystkich trzech stron, a potem dzielimy przez \\(2\\):\n\\[11 \\leqslant 2x - 7 \\leqslant 15 \\;\\big/ +7\\]\n\\[18 \\leqslant 2x \\leqslant 22 \\;\\big/ :2\\]\n\\[9 \\leqslant x \\leqslant 11.\\]\nZbiór rozwiązań: \\(\\langle 9, 11\\rangle\\) - przedział domknięty (pełne kropki) - **rysunek D**.\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na dwie nierówności\n1) \\(2x - 7 \\geqslant 11 \\Rightarrow 2x \\geqslant 18 \\Rightarrow x \\geqslant 9.\\)\n\n2) \\(2x - 7 \\leqslant 15 \\Rightarrow 2x \\leqslant 22 \\Rightarrow x \\leqslant 11.\\)\n\nCzęść wspólna: \\(9 \\leqslant x \\leqslant 11\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,-11\\rangle \\cup \\langle -9,+\\infty)\\)** - pomylono kierunki nierówności i znak (czytanie \"poza\" zamiast \"pomiędzy\").\n- **B. \\((-\\infty,9\\rangle \\cup \\langle 11,+\\infty)\\)** - dobre liczby graniczne, ale odwrócony zbiór (\\(\\vee\\) zamiast \\(\\wedge\\)).\n- **C. \\(\\langle -11,-9\\rangle\\)** - pomylono znaki przy dodawaniu \\(7\\) (odjęto zamiast dodać).\n\n**Trik:** Podwójna nierówność \\(A \\leqslant f(x) \\leqslant B\\) to zawsze **przedział**, nie dwie półproste.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Do zbioru rozwiązań nierówności (
)(
)
4
1
2
0
x
x

\n
\n

nie należy liczba
A.
3
B.
1
C. 1
D. 3

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza
\n

wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla
danej wartości zmiennej (2.e).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - przedział \\(\\langle 9, 11 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności podwójnej

\n

Mamy nierówność podwójną:
\\[11 \\leqslant 2x - 7 \\leqslant 15\\]

\n

Rozwiązujemy ją, wykonując te same działania na wszystkich trzech częściach jednocześnie.

\n

Krok 1: Dodaj \\(7\\) do każdej części:
\\[11 + 7 \\leqslant 2x - 7 + 7 \\leqslant 15 + 7\\]
\\[18 \\leqslant 2x \\leqslant 22\\]

\n

Krok 2: Podziel każdą część przez \\(2\\):
\\[\\frac{18}{2} \\leqslant \\frac{2x}{2} \\leqslant \\frac{22}{2}\\]
\\[9 \\leqslant x \\leqslant 11\\]

\n

Wynik: \\(x \\in \\langle 9, 11 \\rangle\\)

\n

To domknięty przedział, bo obie nierówności są nieostre (\\(\\leqslant\\)). Odpowiedź D.

\n

Sposób 2 - Rozwiązanie przez dwie osobne nierówności

\n

Nierówność podwójną można rozbić na dwa warunki jednocześnie:

\n

Warunek 1: \\(11 \\leqslant 2x - 7\\)
\\[11 + 7 \\leqslant 2x \\implies 18 \\leqslant 2x \\implies x \\geqslant 9\\]

\n

Warunek 2: \\(2x - 7 \\leqslant 15\\)
\\[2x \\leqslant 15 + 7 \\implies 2x \\leqslant 22 \\implies x \\leqslant 11\\]

\n

Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie (iloczyn zbiorów):
\\[x \\geqslant 9 \\quad \\text{i} \\quad x \\leqslant 11 \\implies x \\in \\langle 9, 11 \\rangle\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowych przekształceń nierówności (dodawanie tej samej liczby do obu stron, dzielenie przez liczbę dodatnią).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Wyniki \\(-11\\) i \\(-9\\) - uczeń odjął 7 zamiast dodać (lub popełnił błąd znaku) |
| B | Wyniki \\(9\\) i \\(11\\) prawidłowe, ale zaznaczono dopełnienie przedziału (dwa ramiona) zamiast przedziału domkniętego - mylenie rozwiązania nierówności z wartością bezwzględną |
| C | Wyniki \\(-11\\) i \\(-9\\) - błąd znaku jak w A, dodatkowo jeszcze wybór przedziału zamiast półprostych |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy nierówności podwójnej musisz wykonywać dokładnie to samo działanie na wszystkich trzech częściach - lewej, środkowej i prawej. Nie wolno np. dodać do jednej części a pominąć innej.
\n
⚠️ Uwaga: Nierówności nieostre (\\(\\leqslant\\)) oznaczają przedział domknięty - końce przedziału należą do zbioru rozwiązań. Na rysunku to zaznaczone wypełnionymi kropkami.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B ma te same liczby (\\(9\\) i \\(11\\)), ale przedstawia dwie półproste - to byłoby rozwiązanie nierówności \\(|x - 10| \\geqslant 1\\), a nie naszej nierówności podwójnej. Nie daj się zmylić znajomymi liczbami!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie podwójnej nierówności
\n

Dodajemy \\(7\\) do wszystkich trzech stron, a potem dzielimy przez \\(2\\):
\\[11 \\leqslant 2x - 7 \\leqslant 15 \\;\\big/ +7\\]
\\[18 \\leqslant 2x \\leqslant 22 \\;\\big/ :2\\]
\\[9 \\leqslant x \\leqslant 11.\\]
Zbiór rozwiązań: \\(\\langle 9, 11\\rangle\\) - przedział domknięty (pełne kropki) - rysunek D.

\n
Sposób 2 - Rozbicie na dwie nierówności
\n
  1. \\(2x - 7 \\geqslant 11 \\Rightarrow 2x \\geqslant 18 \\Rightarrow x \\geqslant 9.\\)
\n
  1. \\(2x - 7 \\leqslant 15 \\Rightarrow 2x \\leqslant 22 \\Rightarrow x \\leqslant 11.\\)
\n

Część wspólna: \\(9 \\leqslant x \\leqslant 11\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Podwójna nierówność \\(A \\leqslant f(x) \\leqslant B\\) to zawsze przedział, nie dwie półproste.

"}]}