{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności\n2\n3\n4\nx\n≥\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się\npojęciem osi liczbowej i przedziału\nliczbowego; zaznacza przedziały na osi\nliczbowej (1.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Tłumaczenie treści na język matematyki\n\nZadanie prosi, żebyśmy **przetłumaczyli** opis słowny na układ równań. Robimy to zdanie po zdaniu.\n\n**Zdanie 1:** \"Obwód prostokąta o bokach \\(a\\) i \\(b\\) jest równy 60.\"\n\nWzór na obwód prostokąta to \\(2(a + b)\\), więc:\n\\[2(a + b) = 60\\]\n\n**Zdanie 2:** \"Jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego.\"\n\n\"Bок \\(b\\) jest o 10 dłuższy od boku \\(a\\)\" oznacza, że do \\(a\\) dokładamy 10 i dostajemy \\(b\\):\n\\[a + 10 = b\\]\n\n**Razem:** dostajemy układ:\n\\[\\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\\\ a + 10 = b \\end{cases}\\]\n\nTo dokładnie **odpowiedź A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: czy układ A daje sensowne wyniki?\n\nSprawdźmy, że układ A prowadzi do poprawnego rozwiązania.\n\nZ drugiego równania: \\(b = a + 10\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[2(a + a + 10) = 60\\]\n\\[2(2a + 10) = 60\\]\n\\[4a + 20 = 60\\]\n\\[4a = 40\\]\n\\[a = 10\\]\n\nStąd \\(b = 10 + 10 = 20\\).\n\n**Sprawdzenie:** obwód \\(= 2(10 + 20) = 2 \\cdot 30 = 60\\) ✓, bок \\(b\\) jest o \\(10\\) dłuższy od \\(a\\) ✓\n\nUkład A działa poprawnie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta (\\(L = 2(a+b)\\)) i umiejętność zapisu zależności słownej jako równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Pierwsze równanie to \\(2a + b = 60\\) - błędny wzór na obwód (zapomniano pomnożyć \\(b\\) przez 2). Drugie równanie \\(10b = a\\) nie ma sensu w tym kontekście. |\n| C | Pierwsze równanie to \\(2ab = 60\\) - zamiast obwodu wyliczono **pole** (i to jeszcze niepoprawnie, bo pole to \\(ab\\), nie \\(2ab\\)). |\n| D | Pierwsze równanie poprawne, ale drugie \\(10a = b\\) oznacza, że jeden bok jest **dziesięciokrotnie** dłuższy od drugiego - a nie o 10 dłuższy. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"O 10 dłuższy\" to \\(b = a + 10\\), a nie \\(b = 10a\\). To dodawanie, nie mnożenie! Odpowiedź D kusi, bo wygląda podobnie do A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód prostokąta to \\(2(a+b)\\), nie \\(a + b\\), nie \\(2a + b\\), nie \\(2ab\\). Każdy bok liczymy dwa razy, bo prostokąt ma **dwie pary** równoległych boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tego typu zadaniach nie musisz rozwiązywać układu - pytanie dotyczy tylko **zapisu**. Czytaj treść zdanie po zdaniu i przekładaj na równania.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zapisanie warunków z treści zadania\nObwód prostokąta (karta wzorów): \\(Ob = 2(a+b)\\). Warunek: \\(2(a+b) = 60\\).\n\nJeden bok o 10 dłuższy od drugiego: bok \\(b\\) jest większy, więc \\(b = a + 10\\), czyli \\(a + 10 = b\\).\n\n\\[\\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\\\ a + 10 = b \\end{cases}\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja rozwiązania układu\nZ A: \\(a + b = 30\\) i \\(b = a+10\\), więc \\(a + a + 10 = 30 \\Rightarrow a = 10, b = 20\\).\n\nSprawdzenie: obwód \\(= 2(10+20) = 60\\) ✓; różnica \\(20-10=10\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(2a + b = 60\\) nie jest wzorem na obwód prostokąta; \\(10b = a\\) oznaczałoby \"jeden bok 10 razy większy\".\n- **C.** \\(2ab = 60\\) to nie obwód - wygląda jak pole podwojone. \\(a-b=10\\) też OK, ale pierwsze równanie psuje całość.\n- **D.** Obwód OK, ale \\(10a = b\\) oznacza \"dziesięciokrotność\", nie \"o 10 większy\".\n\n**Trik:** \"O 10 dłuższy\" = **dodawanie** (\\(+10\\)), a nie mnożenie przez \\(10\\). Zawsze tłumacz słowa na dokładny znak działania.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności
2
3
4
x
≥
A.
B.
C.
D.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się
\n

pojęciem osi liczbowej i przedziału
liczbowego; zaznacza przedziały na osi
liczbowej (1.e).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Sposób 1 - Tłumaczenie treści na język matematyki

\n

Zadanie prosi, żebyśmy przetłumaczyli opis słowny na układ równań. Robimy to zdanie po zdaniu.

\n

Zdanie 1: "Obwód prostokąta o bokach \\(a\\) i \\(b\\) jest równy 60."

\n

Wzór na obwód prostokąta to \\(2(a + b)\\), więc:
\\[2(a + b) = 60\\]

\n

Zdanie 2: "Jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego."

\n

"Bок \\(b\\) jest o 10 dłuższy od boku \\(a\\)" oznacza, że do \\(a\\) dokładamy 10 i dostajemy \\(b\\):
\\[a + 10 = b\\]

\n

Razem: dostajemy układ:
\\[\\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\\\ a + 10 = b \\end{cases}\\]

\n

To dokładnie odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: czy układ A daje sensowne wyniki?

\n

Sprawdźmy, że układ A prowadzi do poprawnego rozwiązania.

\n

Z drugiego równania: \\(b = a + 10\\). Podstawiamy do pierwszego:
\\[2(a + a + 10) = 60\\]
\\[2(2a + 10) = 60\\]
\\[4a + 20 = 60\\]
\\[4a = 40\\]
\\[a = 10\\]

\n

Stąd \\(b = 10 + 10 = 20\\).

\n

Sprawdzenie: obwód \\(= 2(10 + 20) = 2 \\cdot 30 = 60\\) ✓, bок \\(b\\) jest o \\(10\\) dłuższy od \\(a\\) ✓

\n

Układ A działa poprawnie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta (\\(L = 2(a+b)\\)) i umiejętność zapisu zależności słownej jako równania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Pierwsze równanie to \\(2a + b = 60\\) - błędny wzór na obwód (zapomniano pomnożyć \\(b\\) przez 2). Drugie równanie \\(10b = a\\) nie ma sensu w tym kontekście. |
| C | Pierwsze równanie to \\(2ab = 60\\) - zamiast obwodu wyliczono pole (i to jeszcze niepoprawnie, bo pole to \\(ab\\), nie \\(2ab\\)). |
| D | Pierwsze równanie poprawne, ale drugie \\(10a = b\\) oznacza, że jeden bok jest dziesięciokrotnie dłuższy od drugiego - a nie o 10 dłuższy. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "O 10 dłuższy" to \\(b = a + 10\\), a nie \\(b = 10a\\). To dodawanie, nie mnożenie! Odpowiedź D kusi, bo wygląda podobnie do A.
\n
⚠️ Uwaga: Obwód prostokąta to \\(2(a+b)\\), nie \\(a + b\\), nie \\(2a + b\\), nie \\(2ab\\). Każdy bok liczymy dwa razy, bo prostokąt ma dwie pary równoległych boków.
\n
⚠️ Uwaga: W tego typu zadaniach nie musisz rozwiązywać układu - pytanie dotyczy tylko zapisu. Czytaj treść zdanie po zdaniu i przekładaj na równania.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Zapisanie warunków z treści zadania
\n

Obwód prostokąta (karta wzorów): \\(Ob = 2(a+b)\\). Warunek: \\(2(a+b) = 60\\).

\n

Jeden bok o 10 dłuższy od drugiego: bok \\(b\\) jest większy, więc \\(b = a + 10\\), czyli \\(a + 10 = b\\).

\n

\\[\\begin{cases} 2(a+b) = 60 \\\\ a + 10 = b \\end{cases}\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja rozwiązania układu
\n

Z A: \\(a + b = 30\\) i \\(b = a+10\\), więc \\(a + a + 10 = 30 \\Rightarrow a = 10, b = 20\\).

\n

Sprawdzenie: obwód \\(= 2(10+20) = 60\\) ✓; różnica \\(20-10=10\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: "O 10 dłuższy" = dodawanie (\\(+10\\)), a nie mnożenie przez \\(10\\). Zawsze tłumacz słowa na dokładny znak działania.

"}]}