{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nRównanie (\n)(\n)\n2\n2\n4\n4\n0\nx x\nx\nz niewiadomą x\nA. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.\nB. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nC. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nD. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania wielomianowe metodą\nrozkładu na czynniki (3.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\langle -5, -2)\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{x+1}{x+2} = 3, \\quad x \\neq -2\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\((x+2)\\) (wiemy, że \\(x+2 \\neq 0\\), więc możemy to zrobić):\n\\[(x+1) = 3(x+2)\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy prawą stronę:\n\\[x + 1 = 3x + 6\\]\n\n**Krok 3:** Przenosimy \\(x\\) na prawą, liczby na lewą:\n\\[1 - 6 = 3x - x\\]\n\\[-5 = 2x\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy przez 2:\n\\[x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5\\]\n\n**Sprawdzamy założenie:** \\(x = -2{,}5 \\neq -2\\) ✓\n\n**Teraz ustalamy, do którego przedziału należy \\(x = -2{,}5\\):**\n\n\\[-2{,}5 \\in \\langle -5, -2)\\], bo \\(-5 \\leq -2{,}5 < -2\\) ✓\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy wynik \\(x = -2{,}5\\). Sprawdzamy, czy spełnia oryginalne równanie:\n\n\\[\\frac{(-2{,}5)+1}{(-2{,}5)+2} = \\frac{-1{,}5}{-0{,}5} = \\frac{-\\frac{3}{2}}{-\\frac{1}{2}} = 3 \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny. Szybko eliminujemy też pozostałe przedziały:\n\n- \\((-2, 1)\\): zawierałby np. \\(x = 0\\) - ale \\(-2{,}5 \\notin (-2,1)\\)\n- \\(\\langle 1, +\\infty)\\): zawiera liczby \\(\\geq 1\\) - ale \\(-2{,}5 < 1\\)\n- \\((-\\infty, -5)\\): zawierałby liczby \\(< -5\\) - ale \\(-2{,}5 > -5\\)\n\nJedyny przedział, do którego należy \\(-2{,}5\\), to \\(\\langle -5, -2)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne równania (mnożenie przez mianownik, redukcja wyrazów podobnych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń popełnia błąd znaku: np. liczy \\(1 - 6 = 5\\) zamiast \\(-5\\), dostaje \\(x = 2{,}5\\), co wpada w \\((-2,1)\\) ale nawet wtedy \\(2{,}5 \\notin (-2,1)\\) - to błąd w kilku miejscach naraz |\n| B | Uczeń myli znak i wychodzi mu \\(x = 2{,}5\\) lub \\(x = 5\\), co sugeruje odpowiedź B |\n| C | Uczeń nie dzieli przez 2 na końcu: zostaje przy \\(-5 = 2x\\) i przyjmuje \\(x = -5\\), czyli myśli, że wynik to \\(-5\\). Ale \\(-5 \\notin (-\\infty, -5)\\), bo przedział jest otwarty! Albo myli mianownik z licznikiem i wychodzi mu coś \\(< -5\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu \"skrócić\" ułamka - trzeba wymnożyć przez mianownik. Wiele uczniów przenosi \\(x+2\\) w złe miejsce i pisze \\(x+1 = \\frac{3}{x+2}\\) - to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź założenie \\(x \\neq -2\\) po wyznaczeniu rozwiązania. Gdyby wyszło \\(x = -2\\), równanie nie miałoby rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x = -2{,}5\\) trzeba jeszcze sprawdzić, do którego z podanych przedziałów należy ta liczba. To ostatni krok, który uczniowie często pomijają i wybierają odpowiedź na wyczucie!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik\nSkoro \\(x \\neq -2\\), możemy pomnożyć obustronnie przez \\(x+2\\):\n\\[x + 1 = 3(x+2),\\]\n\\[x + 1 = 3x + 6,\\]\n\\[-5 = 2x,\\]\n\\[x = -\\dfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]\nSprawdzenie: \\(-2{,}5\\) należy do przedziału \\(\\langle -5, -2)\\) (bo \\(-5 \\leqslant -2{,}5 < -2\\)).\n\n### Sposób 2 - Zapis ułamkowy i przekształcenie\n\\[\\dfrac{x+1}{x+2} = \\dfrac{(x+2) - 1}{x+2} = 1 - \\dfrac{1}{x+2} = 3.\\]\n\\[\\dfrac{1}{x+2} = -2 \\Rightarrow x+2 = -\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow x = -\\dfrac{5}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-2,1)\\)** - \\(-2{,}5 \\notin (-2,1)\\); za duże przedziały.\n- **B. \\(\\langle 1,+\\infty)\\)** - dla \\(x>0\\) ułamek \\(\\tfrac{x+1}{x+2}<1\\), nie może być \\(= 3\\).\n- **C. \\((-\\infty,-5)\\)** - \\(-2{,}5 > -5\\), więc nie należy do tego przedziału.\n\n**Trik:** Dla \\(x > -2\\) (drugi mianownik dodatni) licznik musiałby być \\(3\\)-krotnie większy od mianownika, ale licznik jest zawsze mniejszy o \\(1\\) - wynik musi być ujemny.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Równanie (
)(
)
2
2
4
4
0
x x
x
z niewiadomą x
A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje równania wielomianowe metodą
rozkładu na czynniki (3.d).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\langle -5, -2)\\)

\n

Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik

\n

Mamy równanie:
\\[\\frac{x+1}{x+2} = 3, \\quad x \\neq -2\\]

\n

Krok 1: Mnożymy obie strony przez \\((x+2)\\) (wiemy, że \\(x+2 \\neq 0\\), więc możemy to zrobić):
\\[(x+1) = 3(x+2)\\]

\n

Krok 2: Rozwijamy prawą stronę:
\\[x + 1 = 3x + 6\\]

\n

Krok 3: Przenosimy \\(x\\) na prawą, liczby na lewą:
\\[1 - 6 = 3x - x\\]
\\[-5 = 2x\\]

\n

Krok 4: Dzielimy przez 2:
\\[x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5\\]

\n

Sprawdzamy założenie: \\(x = -2{,}5 \\neq -2\\) ✓

\n

Teraz ustalamy, do którego przedziału należy \\(x = -2{,}5\\):

\n

\\[-2{,}5 \\in \\langle -5, -2)\\], bo \\(-5 \\leq -2{,}5 < -2\\) ✓

\n

Odpowiedź: D

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Mamy wynik \\(x = -2{,}5\\). Sprawdzamy, czy spełnia oryginalne równanie:

\n

\\[\\frac{(-2{,}5)+1}{(-2{,}5)+2} = \\frac{-1{,}5}{-0{,}5} = \\frac{-\\frac{3}{2}}{-\\frac{1}{2}} = 3 \\checkmark\\]

\n

Wynik jest poprawny. Szybko eliminujemy też pozostałe przedziały:

\n\n

Jedyny przedział, do którego należy \\(-2{,}5\\), to \\(\\langle -5, -2)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne równania (mnożenie przez mianownik, redukcja wyrazów podobnych).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń popełnia błąd znaku: np. liczy \\(1 - 6 = 5\\) zamiast \\(-5\\), dostaje \\(x = 2{,}5\\), co wpada w \\((-2,1)\\) ale nawet wtedy \\(2{,}5 \\notin (-2,1)\\) - to błąd w kilku miejscach naraz |
| B | Uczeń myli znak i wychodzi mu \\(x = 2{,}5\\) lub \\(x = 5\\), co sugeruje odpowiedź B |
| C | Uczeń nie dzieli przez 2 na końcu: zostaje przy \\(-5 = 2x\\) i przyjmuje \\(x = -5\\), czyli myśli, że wynik to \\(-5\\). Ale \\(-5 \\notin (-\\infty, -5)\\), bo przedział jest otwarty! Albo myli mianownik z licznikiem i wychodzi mu coś \\(< -5\\). |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno po prostu "skrócić" ułamka - trzeba wymnożyć przez mianownik. Wiele uczniów przenosi \\(x+2\\) w złe miejsce i pisze \\(x+1 = \\frac{3}{x+2}\\) - to błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź założenie \\(x \\neq -2\\) po wyznaczeniu rozwiązania. Gdyby wyszło \\(x = -2\\), równanie nie miałoby rozwiązania.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(x = -2{,}5\\) trzeba jeszcze sprawdzić, do którego z podanych przedziałów należy ta liczba. To ostatni krok, który uczniowie często pomijają i wybierają odpowiedź na wyczucie!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik
\n

Skoro \\(x \\neq -2\\), możemy pomnożyć obustronnie przez \\(x+2\\):
\\[x + 1 = 3(x+2),\\]
\\[x + 1 = 3x + 6,\\]
\\[-5 = 2x,\\]
\\[x = -\\dfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]
Sprawdzenie: \\(-2{,}5\\) należy do przedziału \\(\\langle -5, -2)\\) (bo \\(-5 \\leqslant -2{,}5 < -2\\)).

\n
Sposób 2 - Zapis ułamkowy i przekształcenie
\n

\\[\\dfrac{x+1}{x+2} = \\dfrac{(x+2) - 1}{x+2} = 1 - \\dfrac{1}{x+2} = 3.\\]
\\[\\dfrac{1}{x+2} = -2 \\Rightarrow x+2 = -\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow x = -\\dfrac{5}{2}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Dla \\(x > -2\\) (drugi mianownik dodatni) licznik musiałby być \\(3\\)-krotnie większy od mianownika, ale licznik jest zawsze mniejszy o \\(1\\) - wynik musi być ujemny.

"}]}