{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\n(\n)\n3\n1\n12\nf x\nx\njest liczba\nA.\n3\n4\nB.\n2 3\n1\nC. 4 3\n1\nD.\n3\n12\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje Zdający wykorzystuje interpretację\nwspółczynników we wzorze funkcji liniowej\n(4.g).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych (1.a)\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(41\\dfrac{2}{3}\\) metra\n\n## Sposób 1 - Stosunek jako jednostka\n\n**Od czego zaczynamy:** Stosunek \\(3:4:5\\) oznacza, że możemy podzielić linę na \\(3+4+5 = 12\\) równych \"porcji\". Każda porcja ma tę samą długość.\n\n**Ile wynosi jedna porcja?**\n\n\\[1 \\text{ porcja} = \\frac{100}{12} = \\frac{25}{3} \\text{ m}\\]\n\n**Trzy części mają zatem długości:**\n\n\\[d_1 = 3 \\cdot \\frac{25}{3} = 25 \\text{ m}\\]\n\n\\[d_2 = 4 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{100}{3} = 33\\frac{1}{3} \\text{ m}\\]\n\n\\[d_3 = 5 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3} \\text{ m}\\]\n\n**Najdłuższa część odpowiada największej liczbie we stosunku (5), więc:**\n\n\\[\\boxed{d_3 = 41\\tfrac{2}{3} \\text{ m}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań\n\nOznaczamy długości trzech części jako \\(3x\\), \\(4x\\), \\(5x\\) (gdzie \\(x > 0\\) to długość jednej \"jednostki stosunku\"). Warunek na sumę:\n\n\\[3x + 4x + 5x = 100\\]\n\n\\[12x = 100\\]\n\n\\[x = \\frac{100}{12} = \\frac{25}{3}\\]\n\nNajdłuższa część:\n\n\\[5x = 5 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3} \\text{ m}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(25 + 33\\tfrac{1}{3} + 41\\tfrac{2}{3} = 25 + 33{,}333 + 41{,}666 = 100\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stosunku i podstawowe działania na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(33\\frac{1}{3}\\) m | To długość **środkowej** (drugiej) części odpowiadającej liczbie 4 we stosunku, nie najdłuższej |\n| C - \\(60\\) m | Błąd: uczeń liczy \\(\\frac{5}{5+3+4} \\cdot 100\\) poprawnie, ale myli mianownik - np. sumuje tylko dwie liczby zamiast trzech, albo bierze \\(\\frac{5}{8} \\cdot 100\\) (ignorując część o długości \\(3x\\)) |\n| D - \\(25\\) m | To długość **najkrótszej** części (odpowiadającej liczbie 3 we stosunku); uczeń dobrze oblicza jednostkę \\(\\frac{25}{3}\\), ale bierze \\(3 \\cdot \\frac{25}{3}\\) zamiast \\(5 \\cdot \\frac{25}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(3:4:5\\) NIE oznacza, że części mają długości 3 m, 4 m, 5 m - to tylko proporcja. Zawsze musisz wyznaczyć \"jednostkę\" i przeskalować do rzeczywistej sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że mianownik to suma WSZYSTKICH liczb ze stosunku: \\(3+4+5=12\\), nie \\(3+5=8\\) ani inna kombinacja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{125}{3}\\) to ułamek - przelicz go na liczbę mieszaną: \\(\\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3}\\). Nieprzeliczony ułamek może być trudny do porównania z odpowiedziami w teście.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Proporcja i wspólny mnożnik\nNiech części będą \\(3k, 4k, 5k\\). Suma: \\(3k+4k+5k = 12k = 100\\), stąd \\(k = \\tfrac{100}{12} = \\tfrac{25}{3}\\).\n\nNajdłuższa część: \\(5k = 5\\cdot \\tfrac{25}{3} = \\tfrac{125}{3} = 41\\tfrac{2}{3}\\) m.\n\n### Sposób 2 - Procentowy udział\nSuma \"kawałków stosunku\" = \\(3+4+5 = 12\\) części. Najdłuższa to \\(5\\) z \\(12\\):\n\\[\\dfrac{5}{12} \\cdot 100 = \\dfrac{500}{12} = \\dfrac{125}{3} = 41\\dfrac{2}{3}\\text{ m}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(33\\tfrac{1}{3}\\)** - to środkowa część (\\(4k = \\tfrac{100}{3}\\)), nie najdłuższa.\n- **C. \\(60\\)** - wzięto \\(5+4+3 = 12\\), \\(\\tfrac{5}{12}\\cdot 100\\)?? Błędny rachunek, ale bliski \\(50\\); raczej \\(100 - 40 = 60\\) po pomyłce.\n- **D. \\(25\\)** - to \\(k\\cdot 3\\) uznano za wynik lub po prostu \\(100/4\\).\n\n**Trik:** Stosunek \\(a:b:c\\) - zawsze wprowadź wspólny mnożnik \\(k\\) i rozwiązuj równanie sumy.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej<br>( )<br>(<br>)<br>3<br>1<br>12<br>f x<br>x<br>jest liczba<br>A.<br>3<br>4<br>B.<br>2 3<br>1<br>C. 4 3<br>1<br>D.<br>3<br>12<br>2<br>3<br>x<br>2<br>3<br>x<br>2<br>3<br>x<br>2<br>3<br>x</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje Zdający wykorzystuje interpretację</li></ol>\n<p>współczynników we wzorze funkcji liniowej<br>(4.g).</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający planuje</li></ol>\n<p>i wykonuje obliczenia na liczbach<br>rzeczywistych (1.a)<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(41\\dfrac{2}{3}\\) metra</h4>\n<h4>Sposób 1 - Stosunek jako jednostka</h4>\n<p><strong>Od czego zaczynamy:</strong> Stosunek \\(3:4:5\\) oznacza, że możemy podzielić linę na \\(3+4+5 = 12\\) równych &quot;porcji&quot;. Każda porcja ma tę samą długość.</p>\n<p><strong>Ile wynosi jedna porcja?</strong></p>\n<p>\\[1 \\text{ porcja} = \\frac{100}{12} = \\frac{25}{3} \\text{ m}\\]</p>\n<p><strong>Trzy części mają zatem długości:</strong></p>\n<p>\\[d_1 = 3 \\cdot \\frac{25}{3} = 25 \\text{ m}\\]</p>\n<p>\\[d_2 = 4 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{100}{3} = 33\\frac{1}{3} \\text{ m}\\]</p>\n<p>\\[d_3 = 5 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3} \\text{ m}\\]</p>\n<p><strong>Najdłuższa część odpowiada największej liczbie we stosunku (5), więc:</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{d_3 = 41\\tfrac{2}{3} \\text{ m}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań</h4>\n<p>Oznaczamy długości trzech części jako \\(3x\\), \\(4x\\), \\(5x\\) (gdzie \\(x &gt; 0\\) to długość jednej &quot;jednostki stosunku&quot;). Warunek na sumę:</p>\n<p>\\[3x + 4x + 5x = 100\\]</p>\n<p>\\[12x = 100\\]</p>\n<p>\\[x = \\frac{100}{12} = \\frac{25}{3}\\]</p>\n<p>Najdłuższa część:</p>\n<p>\\[5x = 5 \\cdot \\frac{25}{3} = \\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3} \\text{ m}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(25 + 33\\tfrac{1}{3} + 41\\tfrac{2}{3} = 25 + 33{,}333 + 41{,}666 = 100\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stosunku i podstawowe działania na ułamkach.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(33\\frac{1}{3}\\) m | To długość <strong>środkowej</strong> (drugiej) części odpowiadającej liczbie 4 we stosunku, nie najdłuższej |<br>| C - \\(60\\) m | Błąd: uczeń liczy \\(\\frac{5}{5+3+4} \\cdot 100\\) poprawnie, ale myli mianownik - np. sumuje tylko dwie liczby zamiast trzech, albo bierze \\(\\frac{5}{8} \\cdot 100\\) (ignorując część o długości \\(3x\\)) |<br>| D - \\(25\\) m | To długość <strong>najkrótszej</strong> części (odpowiadającej liczbie 3 we stosunku); uczeń dobrze oblicza jednostkę \\(\\frac{25}{3}\\), ale bierze \\(3 \\cdot \\frac{25}{3}\\) zamiast \\(5 \\cdot \\frac{25}{3}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek \\(3:4:5\\) NIE oznacza, że części mają długości 3 m, 4 m, 5 m - to tylko proporcja. Zawsze musisz wyznaczyć &quot;jednostkę&quot; i przeskalować do rzeczywistej sumy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że mianownik to suma WSZYSTKICH liczb ze stosunku: \\(3+4+5=12\\), nie \\(3+5=8\\) ani inna kombinacja.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(\\frac{125}{3}\\) to ułamek - przelicz go na liczbę mieszaną: \\(\\frac{125}{3} = 41\\frac{2}{3}\\). Nieprzeliczony ułamek może być trudny do porównania z odpowiedziami w teście.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Proporcja i wspólny mnożnik</h5>\n<p>Niech części będą \\(3k, 4k, 5k\\). Suma: \\(3k+4k+5k = 12k = 100\\), stąd \\(k = \\tfrac{100}{12} = \\tfrac{25}{3}\\).</p>\n<p>Najdłuższa część: \\(5k = 5\\cdot \\tfrac{25}{3} = \\tfrac{125}{3} = 41\\tfrac{2}{3}\\) m.</p>\n<h5>Sposób 2 - Procentowy udział</h5>\n<p>Suma &quot;kawałków stosunku&quot; = \\(3+4+5 = 12\\) części. Najdłuższa to \\(5\\) z \\(12\\):<br>\\[\\dfrac{5}{12} \\cdot 100 = \\dfrac{500}{12} = \\dfrac{125}{3} = 41\\dfrac{2}{3}\\text{ m}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(33\\tfrac{1}{3}\\)</strong> - to środkowa część (\\(4k = \\tfrac{100}{3}\\)), nie najdłuższa.</li><li><strong>C. \\(60\\)</strong> - wzięto \\(5+4+3 = 12\\), \\(\\tfrac{5}{12}\\cdot 100\\)?? Błędny rachunek, ale bliski \\(50\\); raczej \\(100 - 40 = 60\\) po pomyłce.</li><li><strong>D. \\(25\\)</strong> - to \\(k\\cdot 3\\) uznano za wynik lub po prostu \\(100/4\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Stosunek \\(a:b:c\\) - zawsze wprowadź wspólny mnożnik \\(k\\) i rozwiązuj równanie sumy.</p>"}]}