{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n2\n13\nW x\nx\nax\nx\nb\n+ . Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego\nwielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu\n( )\nW x przez (\n)\n2\nx +\njest równa 20. Oblicz\nwspółczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu\n( )\nW x .\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"2.\nJeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych\nprzedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub\nnie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami\ni kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 p.\nZdający\npoprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników\nz poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów (spośród trzech wskazanych\nw I sposobie rozwiązania), popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi\nrozwiązanie do końca\nalbo\nzdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części\nwspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch\nprzypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek:\n1\n0\nx -<\ni\n5\n0\nx -\n≥\njest niemożliwy i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze odpowiedź:\n(\n,3\nx∈-∞\nUwaga\nWe wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności\nnieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności\nostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o 1 punkt mniej, niż gdyby\nwyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający wyróżni na osi liczbowej przedziały: (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.:\ndla\n(\n)\n,1\nx∈-∞\nmamy\n( )\n2\n6\nf x\nx\n+ ,\ndla\n)\n1,5\nx∈\nmamy\n( )\n4\nf x =\n,\ndla\n)\n5,\nx∈\n+∞ mamy\n( )\n2\n6\nf x\nx\nlub\n( )\n(\n)\n)\n)\n2\n6\ndla\n,1\n4\ndla\n1,5\n2\n6\ndla\n5,\nx\nx\nf x\nx\nx\nx\n-\n∈-∞\n\n∈\n\n\n∈\n+∞\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu\n10\n2\ny\nx\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze odpowiedź:\n(\n,3\nx∈-∞\nZadanie 2. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wykonuje\ndzielenie wielomianu przez dwumian x-a; stosuje\ntwierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez\ndwumian x-a (R2.b).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności wielomianowe (R3.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań\n( )\n(\n)\n3\n0\n2\n20\nW\nW\n\n\n, czyli 54\n9\n39\n0\n16\n4\n26\n20\na\nb\na\nb\n\n-\n\nZ układu równań obliczamy a i b\n9\n15\n4\n10\na\nb\na\nb\n\n\n\n, 9\n10\n4\n15\n10\n4\na\na\nb\na\n\n=\n\n,\n5\n30\na\nb\n\n=\n\nDla\n5,\n30\na\nb\notrzymujemy\n( )\n3\n2\n2\n5\n13\n30\nW x\nx\nx\nx\nObliczamy pozostałe pierwiastki wielomianu wykonując np. dzielenie wielomianu\n( )\nW x\nprzez (\n)\n3\nx -\n:\n( )\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n5\n3\n2\n10\n2\n3\n2\n2\nW x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nPozostałymi pierwiastkami wielomianu\n( )\nW x są liczby 2 oraz\n5\n2\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania\nzadania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań:\n54\n9\n39\n0\na\nb\nalbo 16\n4\n26\n20\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nWystarczy, że zdający zapisze\n( )\n(\n)\n3\n0\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (5 pkt)
Dany jest wielomian
( )
3
2
2
13
W x
x
ax
x
b

\n\n

wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu
( )
W x przez (
)
2
x +
jest równa 20. Oblicz
współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu
( )
W x .

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
2.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

2.
Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych
przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub
nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami
i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 3 p.
Zdający
poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników
z poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów (spośród trzech wskazanych
w I sposobie rozwiązania), popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi
rozwiązanie do końca
albo
zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części
wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch
przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek:
1
0
x -<
i
5
0
x -
≥
jest niemożliwy i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze odpowiedź:
(
,3
x∈-∞
Uwaga
We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności
nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności
ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o 1 punkt mniej, niż gdyby
wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.
III sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały: (
)
,1
-∞
,
)
1,5 ,
)
5,+∞.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.:
dla
(
)
,1
x∈-∞
mamy
( )
2
6
f x
x

\n\n

dla
)
1,5
x∈
mamy
( )
4
f x =
,
dla
)
5,
x∈
+∞ mamy
( )
2
6
f x
x
lub
( )
(
)
)
)
2
6
dla
,1
4
dla
1,5
2
6
dla
5,
x
x
f x
x
x
x
-
∈-∞

∈


∈
+∞

i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu
10
2
y
x
i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze odpowiedź:
(
,3
x∈-∞
Zadanie 2. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wykonuje
\n

dzielenie wielomianu przez dwumian x-a; stosuje
twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez
dwumian x-a (R2.b).

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje
\n

równania i nierówności wielomianowe (R3.c).
Przykładowe rozwiązanie
Korzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań
( )
(
)
3
0
2
20
W
W


, czyli 54
9
39
0
16
4
26
20
a
b
a
b

-

Z układu równań obliczamy a i b
9
15
4
10
a
b
a
b



, 9
10
4
15
10
4
a
a
b
a

=

,
5
30
a
b

=

Dla
5,
30
a
b
otrzymujemy
( )
3
2
2
5
13
30
W x
x
x
x
Obliczamy pozostałe pierwiastki wielomianu wykonując np. dzielenie wielomianu
( )
W x
przez (
)
3
x -
:
( )
(
)(
)
(
)(
)
2
5
3
2
10
2
3
2
2
W x
x
x
x
x
x
x






Pozostałymi pierwiastkami wielomianu
( )
W x są liczby 2 oraz
5
2
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania
zadania 1 p.
Zdający zapisze jedno z równań:
54
9
39
0
a
b
albo 16
4
26
20
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Uwaga
Wystarczy, że zdający zapisze
( )
(
)
3
0
2

","solutions":[]}