{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie\n(\n)(\n)\n2\n4\n6\n2\n3\n3\n0\nx\nmx\nm\nm\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x , przy czym\n1\n2\nx\nx\n<\n, spełniające warunek\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania\ni nierówności z wartością bezwzględną (R3.e).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)\nWyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nRozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy\nczęść wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności.\n(\n)\n,1\nx∈-∞\n)\n1,5\nx∈\n)\n5,\nx∈\n+∞\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n6\n10\n≤\nW tym przypadku\nrozwiązaniem nierówności\njest\n1\nx <\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n2\n6\nx ≤\n3\nx ≤\nW tym przypadku\nrozwiązaniem nierówności\njest 1\n3\nx\n≤\n≤\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n4\n16\nx ≤\n4\nx ≤\nW tym przypadku nierówność\nnie ma rozwiązania.\nSumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (\n,3\n-∞\nOdpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest (\n,3\n-∞\nII sposób (zapisanie czterech przypadków)\nZapisujemy cztery przypadki:\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n<\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n<\n\nW każdym z nich rozwiązujemy nierówność bądź układ nierówności\nSumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (\n,3\n-∞\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-≥\n\n-\n≥\n\n-+\n≤\n\n1\n5\n4\n16\nx\nx\nx\n≥\n\n≥\n\n\n≤\n\n1\n5\n4\nx\nx\nx\n≥\n\n≥\n\n≤\n\nBrak rozwiązań\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-≥\n\n-\n<\n\n--\n≤\n\n1\n5\n2\n6\nx\nx\nx\n≥\n\n<\n\n\n≤\n\n1\n5\n3\nx\nx\nx\n≥\n\n<\n\n≤\n\nRozw.: 1\n3\nx\n≤\n≤\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-<\n\n-\n≥\n\n-+ +\n≤\n\n1\n5\n2\n14\nx\nx\nx\n<\n\n≥\n\n\n≤\n\n1\n5\n7\nx\nx\nx\n<\n\n≥\n\n≤\n\nBrak rozwiązań\n1\n0\n5\n0\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n-<\n\n-\n<\n\n-+ -\n≤\n\n1\n5\n6\n10\nx\nx\n<\n\n<\n\n≤\n\nRozw.:\n1\nx <\nIII sposób (rozwiązanie graficzne)\nRysujemy wykresy funkcji\n( )\n1\n5|\nf x\nx\nx\ni ( )\n10\n2\ng x\nx\nWyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nZapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np.\n( )\n(\n)\n)\n)\n2\n6\ndla\n,1\n4\ndla\n1,5\n2\n6\ndla\n5,\nx\nx\nf x\nx\nx\nx\n-\n∈-∞\n\n∈\n\n\n∈\n+∞\n\nRysujemy wykresy funkcji f i g:\nOdczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji f i g:\n3\nx =\nSprawdzamy, czy spełniają one równanie\n1\n5| 10\n2\nx\nx\nx\n≤\n, a następnie podajemy te\nwszystkie argumenty, dla których\n( )\n( )\nf\nx\ng x\n≤\n:\n(\n,3\nx∈-∞\nUwaga\nZdający powinien zauważyć, że wykres funkcji f oraz wykres funkcji g dla\n(\n,1\nx∈-∞\nsą\nrównoległe.\n6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-2\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\n16\nx\ny\n( )\nf x\n( )\ng x\nSchemat punktowania\nI i II sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający\nwyróżni na osi liczbowej przedziały (\n)\n,1\n-∞\n,\n)\n1,5 ,\n)\n5,+∞.\nalbo\nzapisze cztery przypadki:\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-≥\n\n-\n<\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n≥\n\n1\n0\n5\n0\nx\nx\n-<\n\n-\n<\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów.\nPodobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\nzapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.:\ndla\n(\n)\n,1\nx∈-∞\nmamy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ndla\n)\n1,5\nx∈\nmamy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ndla\n)\n5,\nx∈\n+∞ mamy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\nalbo\nzapisze nierówności w poszczególnych przypadkach, np.:\ngdy\n1\n0\nx -≥\ni\n5\n0\nx -\n≥\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ngdy\n1\n0\nx -≥\ni\n5\n0\nx -\n<\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n,\ngdy\n1\n0\nx -<\ni\n5\n0\nx -\n≥\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\n(lub stwierdzi, że ten\nprzypadek jest niemożliwy),\ngdy\n1\n0\nx -<\ni\n5\n0\nx -\n<\n, to wtedy\n1\n5\n10\n2\nx\nx\nx\n≤\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwagi","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie
(
)(
)
2
4
6
2
3
3
0
x
mx
m
m
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
1x i
2x , przy czym
1
2
x
x
<
, spełniające warunek
(
)(
)
1
2
1
2
4
4
1
4
4
1
0
x
x
x
x
<

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania
\n

i nierówności z wartością bezwzględną (R3.e).
Przykładowe rozwiązania
I sposób (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (
)
,1
-∞
,
)
1,5 ,
)
5,+∞.
Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy
część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności.
(
)
,1
x∈-∞
)
1,5
x∈
)
5,
x∈
+∞
1
5
10
2
x
x
x
≤
6
10
≤
W tym przypadku
rozwiązaniem nierówności
jest
1
x <
1
5
10
2
x
x
x
≤
2
6
x ≤
3
x ≤
W tym przypadku
rozwiązaniem nierówności
jest 1
3
x
≤
≤
1
5
10
2
x
x
x
≤
4
16
x ≤
4
x ≤
W tym przypadku nierówność
nie ma rozwiązania.
Sumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (
,3
-∞
Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest (
,3
-∞
II sposób (zapisanie czterech przypadków)
Zapisujemy cztery przypadki:
1
0
5
0
x
x
-≥

-
≥

1
0
5
0
x
x
-≥

-
<

1
0
5
0
x
x
-<

-
≥

1
0
5
0
x
x
-<

-
<

W każdym z nich rozwiązujemy nierówność bądź układ nierówności
Sumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (
,3
-∞
1
0
5
0
1
5
10
2
x
x
x
x
x
-≥

-
≥

-+
≤

1
5
4
16
x
x
x
≥

≥


≤

1
5
4
x
x
x
≥

≥

≤

Brak rozwiązań
1
0
5
0
1
5
10
2
x
x
x
x
x
-≥

-
<

--
≤

1
5
2
6
x
x
x
≥

<


≤

1
5
3
x
x
x
≥

<

≤

Rozw.: 1
3
x
≤
≤
1
0
5
0
1
5
10
2
x
x
x
x
x
-<

-
≥

-+ +
≤

1
5
2
14
x
x
x
<

≥


≤

1
5
7
x
x
x
<

≥

≤

Brak rozwiązań
1
0
5
0
1
5
10
2
x
x
x
x
x
-<

-
<

-+ -
≤

1
5
6
10
x
x
<

<

≤

Rozw.:
1
x <
III sposób (rozwiązanie graficzne)
Rysujemy wykresy funkcji
( )
1
5|
f x
x
x
i ( )
10
2
g x
x
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (
)
,1
-∞
,
)
1,5 ,
)
5,+∞.
Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np.
( )
(
)
)
)
2
6
dla
,1
4
dla
1,5
2
6
dla
5,
x
x
f x
x
x
x
-
∈-∞

∈


∈
+∞

Rysujemy wykresy funkcji f i g:
Odczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji f i g:
3
x =
Sprawdzamy, czy spełniają one równanie
1
5| 10
2
x
x
x
≤
, a następnie podajemy te
wszystkie argumenty, dla których
( )
( )
f
x
g x
≤
:
(
,3
x∈-∞
Uwaga
Zdający powinien zauważyć, że wykres funkcji f oraz wykres funkcji g dla
(
,1
x∈-∞
są
równoległe.
6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
( )
f x
( )
g x
Schemat punktowania
I i II sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.
Zdający
wyróżni na osi liczbowej przedziały (
)
,1
-∞
,
)
1,5 ,
)
5,+∞.
albo
zapisze cztery przypadki:
1
0
5
0
x
x
-≥

-
≥

1
0
5
0
x
x
-≥

-
<

1
0
5
0
x
x
-<

-
≥

1
0
5
0
x
x
-<

-
<

i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Uwaga
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów.
Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.:
dla
(
)
,1
x∈-∞
mamy
1
5
10
2
x
x
x
≤
,
dla
)
1,5
x∈
mamy
1
5
10
2
x
x
x
≤
,
dla
)
5,
x∈
+∞ mamy
1
5
10
2
x
x
x
≤
albo
zapisze nierówności w poszczególnych przypadkach, np.:
gdy
1
0
x -≥
i
5
0
x -
≥
, to wtedy
1
5
10
2
x
x
x
≤
,
gdy
1
0
x -≥
i
5
0
x -
<
, to wtedy
1
5
10
2
x
x
x
≤
,
gdy
1
0
x -<
i
5
0
x -
≥
, to wtedy
1
5
10
2
x
x
x
≤
(lub stwierdzi, że ten
przypadek jest niemożliwy),
gdy
1
0
x -<
i
5
0
x -
<
, to wtedy
1
5
10
2
x
x
x
≤
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Uwagi

","solutions":[]}