{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"5. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie\n(\n)\n2\n6\nm\nΔ =\ni konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nZadanie 4. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym\n(5.c).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań,\nprowadzące do równań kwadratowych (3.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego\njest równa 27, to\n27\nb\nr\nb\nb\nr\n, a stąd\n9\nb =\n. Wówczas ciąg geometryczny\n(\n)\n7\n,9, 2\n19\nr\nr\nspełnia warunek\n(\n) (\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\n⋅\n. Równanie to ma dwa rozwiązania\n4\nr =\ni\n13\n2\nr = -\nW pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (\n)\n5,9,13 , a w drugim przypadku\nciąg arytmetyczny 31\n5\n,9,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nII sposób\nLiczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,\nzatem\n2\na\nc\nb\n. Suma liczb a, b, c równa 27, stąd\n27\na\nb\nc\n. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest\ngeometryczny, zatem\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\nZapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n2\na\nc\nb\n, podstawiamy do drugiego równania\ni otrzymujemy\n9\nb =\nDo trzeciego równania podstawiamy\n9\nb =\ni\n2\na\nb\nc\n- i otrzymujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n31\n65\n0\nc\nc\n. Równanie to ma dwa rozwiązania:\n5\n2\nc =\noraz\n13\nc =\n. W pierwszym\nprzypadku otrzymujemy:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\na w drugim przypadku otrzymujemy:\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast\n2\na -\npierwszy wyraz tego ciągu.\nWtedy\n(\n)\n2\nb\na\nq\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n2\nc\na\nq\n. Z ostatniej zależności otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\nPonieważ suma liczb a, b , c jest równa 27, więc możemy zapisać równość\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\nZ własności ciągu arytmetycznego wynika równanie\n2\na\nc\nb\n,\nktóre możemy zapisać w postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\nOtrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n55\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n2\n2\n1\na\nq\na\na\nq\nTen układ jest równoważny układowi\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n51\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n3\na\na\nq\na\nq\nPo wyłączeniu czynnika (\n)\n2\na -\nkażde z równań przyjmuje postać\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n51\na\nq\nq\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\na\nq\nq\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\n,\nskąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n2\n3\n11\n6\n0\nq\nq\nTo równanie ma dwa rozwiązania\n3\nq = ,\n2\n3\nq =\nJeśli\n3\nq = , to\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\n. Jeżeli natomiast\n2\n3\nq =\n, to\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu\narytmetycznego, np.: a\nb\nr\n- i c\nb\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu\ngeometrycznego, np.: a\nb\nr\n-, c\nb\nr\n+ ,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu\ngeometrycznego, np.:\n(\n)(\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań:\n2\na\nc\nb\n,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n31\n16\n81\nc\nc\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb\ni ilorazu ciągu geometrycznego, np.\n2\na -\n,\n(\n)\n2\nb\na\nq\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\ni (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a , b i c w jednym z możliwych przypadków.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania:\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\noraz\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu\ngeometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków\nzadania, to otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 5. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3 oraz dodaje,\nodejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne (2.a, 2.f).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n2\n0\nx y\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\nPonieważ x\ny\n≠\n, więc (\n)\n2\n0\nx\ny\n>\n. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby\nnieujemnej (\n)\n2\n2\nxy -\noraz liczby dodatniej (\n)\n2\n2 x\ny\n, a więc jest dodatnia.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZapiszmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\nPonieważ\n2\n2\n0\n>\ny\ndla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę\nnierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y\ni parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\nzmiennej x jest ujemny.\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\n64\n8\n2\n-⋅\n⋅\ny\ny\ny\ny\ny\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n2\n4\n2\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (3 pkt)
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"
  1. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie
\n

(
)
2
6
m
Δ =
i konsekwentnie rozwiąże
zadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty.
Zadanie 4. (0-6)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n
\n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym
(5.c).

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań,
\n

prowadzące do równań kwadratowych (3.c).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Oznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego
jest równa 27, to
27
b
r
b
b
r
, a stąd
9
b =
. Wówczas ciąg geometryczny
(
)
7
,9, 2
19
r
r
spełnia warunek
(
) (
)
81
7
2
19
r
r
⋅
. Równanie to ma dwa rozwiązania
4
r =
i
13
2
r = -
W pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (
)
5,9,13 , a w drugim przypadku
ciąg arytmetyczny 31
5
,9,
2
2






II sposób
Liczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,
zatem
2
a
c
b
. Suma liczb a, b, c równa 27, stąd
27
a
b
c
. Ciąg (
)
2, , 2
1
a
b
c
jest
geometryczny, zatem
(
) (
)
2
2
2
1
b
a
c
⋅
Zapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
(
) (
)
2
2
27
2
2
1
a
c
b
a
b
c
b
a
c


+


⋅


Z pierwszego równania wyznaczamy
2
a
c
b
, podstawiamy do drugiego równania
i otrzymujemy
9
b =
Do trzeciego równania podstawiamy
9
b =
i
2
a
b
c

\n\n

2
2
31
65
0
c
c
. Równanie to ma dwa rozwiązania:
5
2
c =
oraz
13
c =
. W pierwszym
przypadku otrzymujemy:
5
a
,
9
b
,
13
c
a w drugim przypadku otrzymujemy:
31
2
a
,
9
b
,
5
2
c
III sposób
Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast
2
a -
pierwszy wyraz tego ciągu.
Wtedy
(
)
2
b
a
q
i
(
)
2
2
1
2
c
a
q
. Z ostatniej zależności otrzymujemy
(
)
2
2
1
2
a
q
c
Ponieważ suma liczb a, b , c jest równa 27, więc możemy zapisać równość
(
)
(
)
2
2
1
2
27
2
a
q
a
a
q
Z własności ciągu arytmetycznego wynika równanie
2
a
c
b
,
które możemy zapisać w postaci
(
)
(
)
2
2
2
1
2
4
a
a
q
a
q
Otrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
55
a
a
q
a
q
(
)
(
)
2
4
2
2
2
1
a
q
a
a
q
Ten układ jest równoważny układowi
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
51
a
a
q
a
q
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
2
2
3
a
a
q
a
q
Po wyłączeniu czynnika (
)
2
a -
każde z równań przyjmuje postać
(
)(
)
2
2
2
2
51
a
q
q
(
)(
)
2
2
2
4
3
a
q
q
Zatem
(
)
(
)
2
2
3 2
2
51
2
4
q
q
q
q
,
skąd otrzymujemy równanie kwadratowe
2
3
11
6
0
q
q
To równanie ma dwa rozwiązania
3
q = ,
2
3
q =
Jeśli
3
q = , to
5
a =
,
9
b =
i
13
c =
. Jeżeli natomiast
2
3
q =
, to
31
2
a =
,
9
b =
i
5
2
c =
Schemat punktowania
I sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu
arytmetycznego, np.: a
b
r

\n\n

b
r
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu
geometrycznego, np.: a
b
r
-, c
b
r

\n\n

(
) (
)
2
2
2
1
b
a
c
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu
geometrycznego, np.:
(
)(
)
81
7
2
19
r
r
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków.
Uwaga
Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:
5
a
,
9
b
,
13
c
oraz
31
2
a
,
9
b
,
5
2
c
II sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze jedno z równań:
2
a
c
b
,
(
) (
)
2
2
2
1
b
a
c
⋅
i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:
(
) (
)
2
2
27
2
2
1
a
c
b
a
b
c
b
a
c


+


⋅


Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:
2
2
31
16
81
c
c
i na tym
zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków.
Uwaga
Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:
5
a
,
9
b
,
13
c
oraz
31
2
a
,
9
b
,
5
2
c
III sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb
i ilorazu ciągu geometrycznego, np.
2
a -
,
(
)
2
b
a
q
,
(
)
2
2
1
2
a
q
c
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:
(
)
(
)
2
2
1
2
27
2
a
q
a
a
q
i (
)
(
)
2
2
2
1
2
4
a
a
q
a
q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:
(
)
(
)
2
2
3 2
2
51
2
4
q
q
q
q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczby a , b i c w jednym z możliwych przypadków.
Uwaga
Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania:
5
a =
,
9
b =
i
13
c =
oraz
31
2
a =
,
9
b =
i
5
2
c =
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu
\n

geometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków
\n

zadania, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 5. (0-3)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami
\n

skróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3 oraz dodaje,
odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne (2.a, 2.f).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy nierówność równoważnie:
2
2
2
2
4
4
2
4
2
0
x y
xy
x
xy
y

\n
\n

,
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
0
xy
x
xy
y

\n
\n

,
(
)
(
)
2
2
2
2
0
xy
x
y

\n
\n

Ponieważ x
y
≠
, więc (
)
2
0
x
y

\n
\n

. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby
nieujemnej (
)
2
2
xy -
oraz liczby dodatniej (
)
2
2 x
y
, a więc jest dodatnia.
To kończy dowód.
II sposób
Zapiszmy nierówność
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

w postaci równoważnej
(
)
2
2
2
2
8
2
4
0
⋅+

\n
\n

y
x
y x
y
Ponieważ
2
2
0

\n
\n

y
dla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę
nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y
i parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego
(
)
2
2
2
2
8
2
4
⋅+
y
x
y x
y
zmiennej x jest ujemny.
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
Δ
8
4
2
2
4
64
8
2
-⋅
⋅
y
y
y
y
y
(
)
(
)
(
)
2
2
4
2
4
2
2

","solutions":[]}