{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-podstawowa","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n27\n6\n3\njest równa\nA. 6 27 3\n1\n$\nB. 3\n2\nC. 3\n6\n3\nD. 2","answer":"D","answer_text":"1 360\n72\n$\n$\n. Zatem szukany kąt trójkąta, jako kąt wpisany oparty na tym\nsamym łuku, ma miarę 36°. Z tablic odczytujemy: cos 36°=0,8090.\nII sposób\nWyznaczamy wszystkie kąty środkowe:\n°\n°\n20\n4\n360\n72\n$\n,\n°\n°\n20\n6\n360\n108\n$\n,\n°\n°\n20\n10 360\n180\n$\noraz\nzauważamy, że trójkąt jest prostokątny. Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego tworzy\nz przeciwprostokątną kąty 72° i 108°. Najmniejszy kąt trójkąta jest równy\n2\n1\n108\n36\n80°\n°\n°\n. Z tablic\nodczytujemy: cos 36°=0,8090.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy wyznaczy miarę najmniejszego kąta w trójkącie: 36°.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy poda cos 36°=0,8090.\nZadanie 29. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7.2. Planimetria.\nZdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów\nstycznych.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do\nprostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i Q:\na\n8\n4\n9\n5\n1\nPQ =\n= oraz środek odcinka PQ:\n,\nS\n2\n4\n8\n2\n5\n9\nj. Szukana prosta jest prostopadła do\nprostej PQ, więc jej równanie jest postaci y=-x+b. Uwzględniając fakt, że szukana oś symetrii\nprzechodzi przez S, otrzymujemy\nb\n7\n6\n=- + , skąd b\n13\n. Równanie szukanej prostej: y\nx\n13\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej PQ: a\n1\nPQ =\nalbo\ngdy wyznaczy współrzędne środka odcinka PQ: S=(6, 7)\nalbo\ngdy napisze, że szukaną osią symetrii figury jest symetralna odcinka PQ.\n9 z 14\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy napisze, że szukaną osią symetrii figury jest symetralna odcinka PQ i wyznaczy jej współczynnik\nkierunkowy (-1)\nalbo\ngdy wyznaczy współrzędne środka odcinka PQ (S=(6, 7)) oraz współczynnik kierunkowy prostej\nprostopadłej do PQ (-1).\nZdający otrzymuje\n3 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i poda równanie szukanej prostej: y\nx\n13\nZadanie 30. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający:\n2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych,\nniewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę\nmnożenia i regułę dodawania;\n3) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując\nklasyczną definicję prawdopodobieństwa.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych trzycyfrowych. Zatem\n|Ω|=900. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby parzystej zapisanej za pomocą\nco najmniej jednej cyfry 4. Wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych jest 450. Liczb parzystych,\nw zapisie których nie użyto cyfry 4 jest 8 ∙ 9 ∙ 4=288 (bo na pierwszym miejscu może być jedna\nz ośmiu cyfr 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, na drugim miejscu nie może być tylko 4, na trzecim miejscu zaś mogą\nbyć użyte cyfry 0, 2, 6, 8). Zatem liczb parzystych z co najmniej jedną cyfrą 4 jest 450-288=162.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P A\n900\n162\n50\n9\n^ h\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający\nzapisze liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych: 900\nalbo\nzapisze liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych: 450\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający poda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych (900) albo zapisze liczbę wszystkich liczb\ntrzycyfrowych parzystych (450) oraz obliczy, ile jest liczb trzycyfrowych parzystych zapisanych bez\nużycia cyfry 4 (8 ∙ 9 ∙ 4=288) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n10 z 14\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający poda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych (900) oraz obliczy liczbę wszystkich liczb\ntrzycyfrowych parzystych zapisanych z użyciem co najmniej jednej cyfry 4 (450-288=162) i na tym\nzakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego:\nP A\n50\n9\n^ h\nII sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu, czyli liczbę wszystkich\nliczb trzycyfrowych od 100 do 999: |Ω|=900. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu\nkoperty oznaczonej trzycyfrową liczbą parzystą z co najmniej jedną cyfrą 4.\nRozpatrujemy liczby trzycyfrowe postaci abc, gdzie a jest cyfrą setek, b - cyfrą dziesiątek, c - cyfrą jedności.\nObliczamy, ile jest liczb parzystych trzycyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie jedna\ncyfra 4. Może ona wystąpić na miejscu pierwszym, drugim albo trzecim.\nLiczb postaci 4bc jest 9 ∙ 4, postaci a4c jest 8 ∙ 4, zaś postaci ab4 jest 8 ∙ 9, co daje łącznie 140 liczb.\nPodobnie obliczamy, ile jest liczb parzystych trzycyfrowych, w zapisie których występują dokładnie\ndwie cyfry 4. Może ona nie wystąpić na miejscu pierwszym, drugim albo trzecim.\nLiczb postaci a44 jest 8, postaci 4b4 jest 9, zaś postaci 44c jest 4, co daje łącznie 21 liczb.\nUwzględniając jeszcze liczbę 444, otrzymujemy liczbę kopert spełniających podane warunki:\n140+21+1=162.\nStąd P A\n900\n162\n50\n9\n^ h\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający\npoda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych: 900\nalbo\nzapisze, że należy obliczyć, ile jest parzystych liczb trzycyfrowych w każdym z rozłącznych zbiorów:\nliczb zapisanych z użyciem dokładnie jednej cyfry 4, liczb zapisanych z użyciem dokładnie dwóch\ncyfr 4 oraz trzech czwórek (liczba 444)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\npoda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych (900) oraz obliczy, ile wśród nich jest liczb parzystych\nzapisanych z użyciem dokładnie jednej cyfry 4 lub z użyciem dokładnie dwóch cyfr 4, tzn. zapisze","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
27
6
3
jest równa
A. 6 27 3
1
$
B. 3
2
C. 3
6
3
D. 2

","answer_text_html":"

1 360
72
$
$
. Zatem szukany kąt trójkąta, jako kąt wpisany oparty na tym
samym łuku, ma miarę 36°. Z tablic odczytujemy: cos 36°=0,8090.
II sposób
Wyznaczamy wszystkie kąty środkowe:
°
°
20
4
360
72
$
,
°
°
20
6
360
108
$
,
°
°
20
10 360
180
$
oraz
zauważamy, że trójkąt jest prostokątny. Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego tworzy
z przeciwprostokątną kąty 72° i 108°. Najmniejszy kąt trójkąta jest równy
2
1
108
36
80°
°
°
. Z tablic
odczytujemy: cos 36°=0,8090.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy wyznaczy miarę najmniejszego kąta w trójkącie: 36°.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy poda cos 36°=0,8090.
Zadanie 29. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
7.2. Planimetria.
Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
stycznych.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
  2. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do
\n

prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;

\n
  1. wyznacza współrzędne środka odcinka.
\n

Przykładowe rozwiązanie
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i Q:
a
8
4
9
5
1
PQ =
= oraz środek odcinka PQ:
,
S
2
4
8
2
5
9
j. Szukana prosta jest prostopadła do
prostej PQ, więc jej równanie jest postaci y=-x+b. Uwzględniając fakt, że szukana oś symetrii
przechodzi przez S, otrzymujemy
b
7
6
=- + , skąd b
13
. Równanie szukanej prostej: y
x
13
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej PQ: a
1
PQ =
albo
gdy wyznaczy współrzędne środka odcinka PQ: S=(6, 7)
albo
gdy napisze, że szukaną osią symetrii figury jest symetralna odcinka PQ.
9 z 14
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy napisze, że szukaną osią symetrii figury jest symetralna odcinka PQ i wyznaczy jej współczynnik
kierunkowy (-1)
albo
gdy wyznaczy współrzędne środka odcinka PQ (S=(6, 7)) oraz współczynnik kierunkowy prostej
prostopadłej do PQ (-1).
Zdający otrzymuje
3 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i poda równanie szukanej prostej: y
x
13
Zadanie 30. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający:

\n
  1. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych,
\n

niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę
mnożenia i regułę dodawania;

\n
  1. oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując
\n

klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych trzycyfrowych. Zatem
|Ω|=900. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby parzystej zapisanej za pomocą
co najmniej jednej cyfry 4. Wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych jest 450. Liczb parzystych,
w zapisie których nie użyto cyfry 4 jest 8 ∙ 9 ∙ 4=288 (bo na pierwszym miejscu może być jedna
z ośmiu cyfr 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, na drugim miejscu nie może być tylko 4, na trzecim miejscu zaś mogą
być użyte cyfry 0, 2, 6, 8). Zatem liczb parzystych z co najmniej jedną cyfrą 4 jest 450-288=162.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P A
900
162
50
9
^ h
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający
zapisze liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych: 900
albo
zapisze liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych: 450
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający poda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych (900) albo zapisze liczbę wszystkich liczb
trzycyfrowych parzystych (450) oraz obliczy, ile jest liczb trzycyfrowych parzystych zapisanych bez
użycia cyfry 4 (8 ∙ 9 ∙ 4=288) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
10 z 14
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający poda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych (900) oraz obliczy liczbę wszystkich liczb
trzycyfrowych parzystych zapisanych z użyciem co najmniej jednej cyfry 4 (450-288=162) i na tym
zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego:
P A
50
9
^ h
II sposób
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu, czyli liczbę wszystkich
liczb trzycyfrowych od 100 do 999: |Ω|=900. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu
koperty oznaczonej trzycyfrową liczbą parzystą z co najmniej jedną cyfrą 4.
Rozpatrujemy liczby trzycyfrowe postaci abc, gdzie a jest cyfrą setek, b - cyfrą dziesiątek, c - cyfrą jedności.
Obliczamy, ile jest liczb parzystych trzycyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie jedna
cyfra 4. Może ona wystąpić na miejscu pierwszym, drugim albo trzecim.
Liczb postaci 4bc jest 9 ∙ 4, postaci a4c jest 8 ∙ 4, zaś postaci ab4 jest 8 ∙ 9, co daje łącznie 140 liczb.
Podobnie obliczamy, ile jest liczb parzystych trzycyfrowych, w zapisie których występują dokładnie
dwie cyfry 4. Może ona nie wystąpić na miejscu pierwszym, drugim albo trzecim.
Liczb postaci a44 jest 8, postaci 4b4 jest 9, zaś postaci 44c jest 4, co daje łącznie 21 liczb.
Uwzględniając jeszcze liczbę 444, otrzymujemy liczbę kopert spełniających podane warunki:
140+21+1=162.
Stąd P A
900
162
50
9
^ h
Schemat punktowania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający
poda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych: 900
albo
zapisze, że należy obliczyć, ile jest parzystych liczb trzycyfrowych w każdym z rozłącznych zbiorów:
liczb zapisanych z użyciem dokładnie jednej cyfry 4, liczb zapisanych z użyciem dokładnie dwóch
cyfr 4 oraz trzech czwórek (liczba 444)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
poda liczbę wszystkich liczb trzycyfrowych (900) oraz obliczy, ile wśród nich jest liczb parzystych
zapisanych z użyciem dokładnie jednej cyfry 4 lub z użyciem dokładnie dwóch cyfr 4, tzn. zapisze

","solutions":[]}