{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDane są liczby\nlog\na\n5\n3\n,\nlog\nb\n7\n5\n,\nlog\nc\n3\n7\n. Iloczyn abc jest równy\nA. 1\nB. 3\nC. 5\nD. 7","answer":"A","answer_text":"1 dla k\n1\n2 i zapisze, że suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa\nS\nk\nk\n1\n1\n1\na\nk\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zdający poda rozwiązanie k\n5\nZadanie 10. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę\nsinusów i cosinusów kątów;\n6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu\nsin x\n2\n2\n1\n, sin\ncos\nx\nx\n1\n2 +\n= , sin\ncos\nx\nx\n1\n= , cos x\n2\n2\n1\n1\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZauważmy, że cos\ncos\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n5\n7\n3\n. Zatem równanie możemy zapisać w postaci\nrównoważnej cos\ncos\ncos\nx\nx\nx\n7\n3\n7\n2\n1\n, czyli cos x\n2\n1\n3 =\nStąd otrzymujemy\nx\nk\n3\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n3\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nczyli\nx\nk\n9\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n9\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nZatem w przedziale\n,0 r mamy następujące rozwiązania tego równania: x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n, x\n9\n7r\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze, że cos\ncos\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n5\n7\n3\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci równoważnej cos x\n2\n1\n3 =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n2\n1\n3 =\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nx\nk\n2\n9\n3\nr\nr\nlub x\nk\n2\n9\n3\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n2\n1\n3 =\nw przedziale\n,0 r : x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n,\nx\n9\n7r\n5 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nII sposób\nZauważmy, że\ncos\ncos\ncos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n7\n5\n2\n5\n2\n5\n2\nh\n. Zatem równanie możemy zapisać\nw postaci równoważnej\ncos\ncos\ncos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n5\n5\n2\n2\n1\n2\n5\n2\nStąd\ncos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\n5\n5\n2\n2\n1\n2\nZe wzoru na cosinus różnicy kątów otrzymujemy\ncos\nx\nx\n5\n2\n2\n1\nh\n,\nczyli\ncos x\n3\n2\n1\nStąd otrzymujemy\nx\nk\n3\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n3\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nczyli\nx\nk\n9\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n9\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nZatem w przedziale\n,0 r mamy następujące rozwiązania tego równania: x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n, x\n9\n7r\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci cos\ncos\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\n5\n2\n2\n1\n5\n2\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze równanie w postaci równoważnej cos x\n3\n2\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n3\n2\n1\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nx\nk\n9\n3\n2\nr\nr\nlub x\nk\n9\n3\n2\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x\n3\n2\n1\nw przedziale\n,0 r : x\n9\nr\n, x\n9\n5r\n,\nx\n9\n7r\nZadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n3.2. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe\nz parametrem.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n(\n(\n))\n(\n)\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n4\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Dane są liczby
log
a
5
3
,
log
b
7
5
,
log
c
3
7
. Iloczyn abc jest równy
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

","answer_text_html":"

1 dla k
1
2 i zapisze, że suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa
S
k
k
1
1
1
a
k
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy zdający poda rozwiązanie k
5
Zadanie 10. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający:
  2. stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę
\n

sinusów i cosinusów kątów;

\n
  1. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu
\n

sin x
2
2
1
, sin
cos
x
x
1
2 +
= , sin
cos
x
x
1
= , cos x
2
2
1
1
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zauważmy, że cos
cos
cos
cos
x
x
x
x
2
2
5
7
3
. Zatem równanie możemy zapisać w postaci
równoważnej cos
cos
cos
x
x
x
7
3
7
2
1
, czyli cos x
2
1
3 =
Stąd otrzymujemy
x
k
3
3
2
r
r
lub x
k
3
3
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą,
czyli
x
k
9
3
2
r
r
lub x
k
9
3
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Zatem w przedziale
,0 r mamy następujące rozwiązania tego równania: x
9
r
, x
9
5r
, x
9
7r
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający zapisze, że cos
cos
cos
cos
x
x
x
x
2
2
5
7
3
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający zapisze równanie w postaci równoważnej cos x
2
1
3 =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x
2
1
3 =
w zbiorze liczb rzeczywistych:
x
k
2
9
3
r
r
lub x
k
2
9
3
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x
2
1
3 =
w przedziale
,0 r : x
9
r
, x
9
5r
,
x
9
7r
5 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
II sposób
Zauważmy, że
cos
cos
cos
cos
sin
sin
x
x
x
x
x
x
x
7
5
2
5
2
5
2
h
. Zatem równanie możemy zapisać
w postaci równoważnej
cos
cos
cos
cos
sin
sin
x
x
x
x
x
x
2
5
5
2
2
1
2
5
2
Stąd
cos
cos
sin
sin
x
x
x
x
5
5
2
2
1
2
Ze wzoru na cosinus różnicy kątów otrzymujemy
cos
x
x
5
2
2
1
h
,
czyli
cos x
3
2
1
Stąd otrzymujemy
x
k
3
3
2
r
r
lub x
k
3
3
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą,
czyli
x
k
9
3
2
r
r
lub x
k
9
3
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Zatem w przedziale
,0 r mamy następujące rozwiązania tego równania: x
9
r
, x
9
5r
, x
9
7r
Schemat punktowania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający zapisze równanie w postaci cos
cos
sin
sin
x
x
x
x
5
2
2
1
5
2
i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający zapisze równanie w postaci równoważnej cos x
3
2
1
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x
3
2
1
w zbiorze liczb rzeczywistych:
x
k
9
3
2
r
r
lub x
k
9
3
2
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający zapisze wszystkie rozwiązania równania cos x
3
2
1
w przedziale
,0 r : x
9
r
, x
9
5r
,
x
9
7r
Zadanie 11. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
3.2. Równania i nierówności.
Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe
z parametrem.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
(
(
))
(
)
m
m
m
m
m
m
m
4
2

","solutions":[]}