{"id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2017,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nRównanie x\nx\nx\n0\n5\n3\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dokładnie pięć rozwiązań rzeczywistych.","answer":"B","answer_text":"3 5\n!^\nh.\nZatem funkcja V jest w przedziale\n,0 3\nrosnąca, a w przedziale\n,3 5h malejąca. Wynika stąd, że dla\nx=3 funkcja V ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie jej największą wartością.\nGdy x=3, to wtedy x+3=6 oraz h=10-2x=4. Objętość prostopadłościanu jest wtedy równa\n( )\nV\n3\n3 6 4\n72\nmax\n$\n$\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\na) wprowadzenie oznaczeń, np. x, x+3, h, oraz zapisanie równania wynikającego z warunków\nzadania: 2x+h=10,\nb) zapisanie objętości prostopadłościanu jako funkcji zmiennej x:\nV(x)=x(x+3)(10-2x)=-2x3+4x2+30x,\nc) określenie dziedziny funkcji V:\nx\n0\n5\n1\n1 .\nZa każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie, przy czym jeśli zdający od razu zapisze\nobjętość prostopadłościanu w zależności od zmiennej x, to otrzymuje punkt za część a) i punkt za\nczęść b).\nDrugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji V: '\nV x\nx\nx\n6\n8\n30\n2\n^ h\n,\nb) obliczenie miejsca zerowego pochodnej: x=3,\nc) wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji V i uzasadnienie, że dla x = 3 funkcja V osiąga\nnajwiększą wartość.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część\netapu została zrealizowana bezbłędnie.\nTrzeci etap.\nObliczenie objętości prostopadłościanu o największej objętości: V\n72\nmax =\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2017-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Równanie x
x
x
0
5
3
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań rzeczywistych.

","answer_text_html":"

3 5
!^
h.
Zatem funkcja V jest w przedziale
,0 3
rosnąca, a w przedziale
,3 5h malejąca. Wynika stąd, że dla
x=3 funkcja V ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie jej największą wartością.
Gdy x=3, to wtedy x+3=6 oraz h=10-2x=4. Objętość prostopadłościanu jest wtedy równa
( )
V
3
3 6 4
72
max
$
$
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
a) wprowadzenie oznaczeń, np. x, x+3, h, oraz zapisanie równania wynikającego z warunków
zadania: 2x+h=10,
b) zapisanie objętości prostopadłościanu jako funkcji zmiennej x:
V(x)=x(x+3)(10-2x)=-2x3+4x2+30x,
c) określenie dziedziny funkcji V:
x
0
5
1
1 .
Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie, przy czym jeśli zdający od razu zapisze
objętość prostopadłościanu w zależności od zmiennej x, to otrzymuje punkt za część a) i punkt za
część b).
Drugi etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie pochodnej funkcji V: '
V x
x
x
6
8
30
2
^ h
,
b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej: x=3,
c) wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji V i uzasadnienie, że dla x = 3 funkcja V osiąga
największą wartość.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część
etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Trzeci etap.
Obliczenie objętości prostopadłościanu o największej objętości: V
72
max =
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
18 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","solutions":[]}