Zadanie 7. (0-2)
Oblicz lim
n
n
n
2
2
6
3
1
2
2
2
n
" 3 ^
h
h
h .
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
6
7
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
6 z 22
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
i czworokąty opisane na okręgu;
\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
β
A
p
24
20
15
7
B
C
D δ
12 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, to
180°
b
d
trójkątów ACD i ABC otrzymujemy
cos
p
7
15
2 7 15
2
2
2
$
$
$
d
oraz
(
)
cos
p
24
20
2 24 20
180°
2
2
2
$
$
$
d
Drugą z tych równości możemy zapisać, korzystając ze wzoru redukcyjnego, w postaci
cos
p
24
20
2 24 20
2
2
2
$
$
$
d
Po pomnożeniu obu stron pierwszego równania przez 32, drugiego równania przez 7 i dodaniu
stronami otrzymanych równań, otrzymujemy równanie
39p2 = 15 600.
Stąd p = 20.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
1 pkt
Zdający wykorzysta twierdzenie o sumie przeciwległych kątów czworokąta wpisanego w okrąg.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
2 pkt
Zdający zapisze dwa równania wynikające z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABC i ACD:
cos
p
2
7
15
7 15
2
2
2
$
$
$
d
oraz
(
)
cos
p
24
20
2 24 20
180°
2
2
2
$
$
$
d
Rozwiązanie prawie pełne
3 pkt
Zdający zapisze równanie, w którym jedyną niewiadomą jest długość przekątnej AC.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający wyznaczy długość przekątnej AC: p = 20.
Zadanie 15. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
POZIOM PODSTAWOWY
8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Obliczmy współrzędne środka P odcinka MN:
,
,
P
2
2
9 3
8
10 1
5
j
h.
A
B
C
D
M
N
P
S
0
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
1
2
3
4
5
6
7
x
y
13 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Oznaczmy współrzędne punktu
,
x
y
C
C
C
h. Punkt S jest środkiem odcinka AC, więc
,
S
x
y
2
2
C
C
= a
k.
Punkt P jest środkiem odcinka SC, więc
x
x
2
2
9
C
C
= oraz
y
y
2
2
3
C
C
Stąd C = (12, 4).
Punkt N jest środkiem odcinka CD, więc x
2
12
10
D +
oraz y
2
4
5
D +
= . Stąd D = (8, 6).
Punkt M jest środkiem odcinka CB, więc x
2
12
8
B +
= oraz y
2
4
1
B +
= . Stąd B = (4, -2).
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający
zapisze, że środek P odcinka MN jest środkiem odcinka SC, gdzie S jest środkiem symetrii
równoległoboku ABCD
albo
obliczy współrzędne środka P odcinka MN: P = (9, 3).
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający zapisze, że środek P odcinka MN jest środkiem odcinka SC, gdzie S jest środkiem symetrii
równoległoboku ABCD, oraz obliczy współrzędne środka P odcinka MN: P = (9, 3).
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający obliczy współrzędne wierzchołka C: C = (12, 4).
Rozwiązanie prawie pełne
4 pkt
Zdający obliczy
współrzędne wierzchołków B, C i D, popełniając w trakcie rozwiązania błąd rachunkowy
albo
dwa z trzech szukanych wierzchołków równoległoboku.
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający obliczy współrzędne wierzchołków B, C, D: B = (4, -2), C = (12, 4), D = (8, 6).
II sposób
Współrzędne punktów B, C i D możemy wyznaczyć, rozwiązując układ równań:
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
2
8
2
10
2
1
2
5
B
C
C
D
B
D
C
B
C
C
D
B
D
C
Z
[
]]]]]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]]]]]