Zadanie 16. (0-1)
Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C,
taki, że
BC
OB =
(zobacz rysunek).
Pole trójkąta AOC jest równe
A.
2
2
1 r
B.
2
4
1 r
C.
2
4 r
π
D.
2
4
3 r
Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że |OB| = |BC| (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe A. 1/2 r^2, B. 1/4 r^2, C. π/4 r^2, D. √3/4 r^2.
16 .
Uwaga:
Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik
( )
P A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Rozwiązanie (II sposób) „metoda drzewka”
Rysujemy czteroetapowe drzewko ilustrujące dane doświadczenie.
O
Wynik I rzutu
Wynik II rzutu
O
O
R
R
R
Wynik III rzutu
O
R
O
O
O
R
R
R
Wynik IV rzutu
O
O
O
O
O
O
O
R
R
R
R
R
R
R
R
O
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że w tych czterech rzutach wypadnie więcej
orłów niż reszek. Zaznaczamy (linia pogrubiona) wszystkie gałęzie, które dotyczą szukanego
zdarzenia, czyli ciągów:
(
)
,
,
O,O O O , (
)
, , ,
O O O R , (
)
, , ,
O O R O (
)
, ,
,
O R O O , (
)
, , ,
R O O O .
Zatem szukane prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe:
( )
5
1 1 1 1
2 2 2 2
16
5
P A = ⋅⋅⋅⋅
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy narysuje drzewko tego doświadczenia (wystarczy istotnych 5 gałęzi) oraz przynajmniej
wzdłuż jednej gałęzi wpisze poprawnie prawdopodobieństwa i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy i zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe 5
16 .
Uwaga:
Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik
( )
P A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 32. (0-5)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości
16
H =
. Cosinus kąta nachylenia
krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 3
5 . Oblicz pole
powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie (I sposób)
Sporządzamy pomocniczy rysunek i wprowadzamy niezbędne oznaczenia.
Obliczymy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej b oraz
przyprostokątnych długości 16 i x. Zapisujemy w tym celu układ równań:
2
2
2
16
x
b
i
3
cos
5
x
b
α =
a
H
x
b
α
2
a
2
a
h
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Następnie zapisujemy równanie z jedną niewiadomą, np.
2
2
2
3
16
5 b
b
+
, skąd wynika, że
20
b =
A zatem
12
x =
. Teraz obliczamy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:
2
12
2
a
, stąd