{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDane są liczby:\n1\n4\n4\n2\n1\nlog 8,\nlog 8,\nlog 2\na\nb\nc\n. Liczby te spełniają warunek\nA. a\nb\nc\n>\n>\nB. b\na\nc\n>\n>\nC. c\nb\na\n>\n>\nD. b\nc\na\n>\n>\nDane są liczby: a = log_{1/2} 8, b = log_4 8, c = log_4 1/2. Liczby te spełniają warunek A. a > b > c, B. b > a > c, C. c > b > a, D. b > c > a.","answer":"D","answer_text":"2 cos\n1\n0\nα -\n,\nzatem rozwiązaniem tego równania jest\n2\ncos\n2\nα =\nStąd\n2\nsin\n2\nα =\nNastępnie korzystamy ze związku między funkcjami tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\nα\nα\nα\ni przekształcamy wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\nOtrzymujemy\n2\n2\n1\nsin\ncos\n2\n2\ntg\n2\ntg\ncos\nsin\n2\n2\n2\n2\nα\nα\nα\nα\nα\nα\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• przekształci wyrażenie\n1\ntg\ntg\nα\nα\ndo postaci sin\ncos\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n,\nalbo\n• wyznaczy wartość\n2\ncos\n2\nα =\ni\n2\nsin\n2\nα =\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n1\ntg\ntg\nα\nα : 2.\nZadanie 31. (0-2)\nRzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy\nliczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba\nuzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.\nRozwiązanie (I sposób)\nZbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego zawiera wszystkie ciągi\nczteroelementowe, postaci (\n)\n1\n2\n3\n4\n, , ,\nr r r r\n, w których ir oznacza wyrzucenie orła (O) albo\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nwyrzucenie reszki (R) w i-tym rzucie , dla\n1, 2, 3, 4\ni =\n. Jest to model klasyczny i liczba\nwszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n42\n16\nΩ =\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że w tych czterech rzutach wypadnie więcej\norłów niż reszek. Oznacza to, że otrzymamy cztery orły albo trzy orły i jedną reszkę.\nZdarzeniu A sprzyja zatem 5 zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n, , ,\nO O O R , (\n)\n, , ,\nO O R O (\n)\n, , ,\nO R O O , (\n)\n, , ,\nR O O O , (\n)\n,\n,\nO,O O O .\nSzukane prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest więc równe:\n( )\n5\n16\nA\nP A\nΩ\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest równa\n42\n16\nalbo\nwypisze poprawnie 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe 5","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Dane są liczby:
1
4
4
2
1
log 8,
log 8,
log 2
a
b
c
. Liczby te spełniają warunek
A. a
b
c

\n

\n

B. b
a
c

\n

\n

C. c
b
a

\n

\n

D. b
c
a

\n

\n

Dane są liczby: a = log_{1/2} 8, b = log_4 8, c = log_4 1/2. Liczby te spełniają warunek A. a > b > c, B. b > a > c, C. c > b > a, D. b > c > a.

","answer_text_html":"

2 cos
1
0
α -
,
zatem rozwiązaniem tego równania jest
2
cos
2
α =
Stąd
2
sin
2
α =
Następnie korzystamy ze związku między funkcjami tego samego kąta
sin
tg
cos
α
α
α
i przekształcamy wyrażenie
1
tg
tg
α
α
Otrzymujemy
2
2
1
sin
cos
2
2
tg
2
tg
cos
sin
2
2
2
2
α
α
α
α
α
α
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• przekształci wyrażenie
1
tg
tg
α
α
do postaci sin
cos
cos
sin
α
α
α
α
,
albo
• wyznaczy wartość
2
cos
2
α =
i
2
sin
2
α =
,
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy wartość wyrażenia
1
tg
tg
α
α : 2.
Zadanie 31. (0-2)
Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy
liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba
uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Rozwiązanie (I sposób)
Zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego zawiera wszystkie ciągi
czteroelementowe, postaci (
)
1
2
3
4
, , ,
r r r r
, w których ir oznacza wyrzucenie orła (O) albo
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
wyrzucenie reszki (R) w i-tym rzucie , dla
1, 2, 3, 4
i =
. Jest to model klasyczny i liczba
wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
42
16
Ω =
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że w tych czterech rzutach wypadnie więcej
orłów niż reszek. Oznacza to, że otrzymamy cztery orły albo trzy orły i jedną reszkę.
Zdarzeniu A sprzyja zatem 5 zdarzeń elementarnych:
(
)
, , ,
O O O R , (
)
, , ,
O O R O (
)
, , ,
O R O O , (
)
, , ,
R O O O , (
)
,
,
O,O O O .
Szukane prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest więc równe:
( )
5
16
A
P A
Ω
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zapisze, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest równa
42
16
albo
wypisze poprawnie 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy i zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe 5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg"}]}