{"id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest przedział ( 10,k\n, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma\nwszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.\nStąd wynika, że\nA.\n9\nk =\nB.\n11\nk =\nC.\n21\nk =\nD.\n31\nk =\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiony jest przedział (-10,k>, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. A. k=9, B. k=11, C. k=21, D. k=31","answer":"B","answer_text":"5. Jeżeli zdający zapisuje błędną zależność wynikającą z definicji cosinusa danego kąta, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\n6. Jeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy\nrachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do\nkońca, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty.\nZadanie 33. (0-4)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna , określonym dla liczb naturalnych\n1\nn ≥\n, wyraz szósty jest\nliczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego\nciągu jest równa\n10\n15\n4\nS\n. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.\nRozwiązanie (I sposób)\nOznaczmy rozpatrywany ciąg arytmetyczny przez (\n)\nna\n, gdzie\n1\nn ≥, a różnicę tego ciągu\nprzez r .\nZapisujemy zależność między wyrazami piątym i szóstym:\n5\n6\n2a\na =\n. Stąd\n(\n)\nr\na\nr\na\n4\n2\n5\n1\n1\n, czyli\nr\na\n3\n1\nZapisujemy kolejną zależność\n1\n10\n10\n15\n10\n2\n4\na\na\nS\n⋅\n,\na stąd\n(\n)\n1\n15\n5 2\n9\n4\na\nr\n, czyli\n1\n3\n2\n9\n4\na\nr\nZapisujemy równanie z jedną niewiadomą,\n(\n)\n3\n2\n3\n9\n4\nr\nr\n⋅-\n, skąd otrzymujemy\n1\n4\nr =\nOstatecznie więc\n1\n4\nr =\ni\n1\n3\n4\na = -\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n1a i r , np.\n(\n)\nr\na\nr\na\n4\n2\n5\n1\n1\nlub\n1\n2\n9\n15\n10\n2\n4\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi\n1a i r ,\nnp.\n(\n)\nr\na\nr\na\n4\n2\n5\n1\n1\ni\n1\n2\n9\n15\n10\n2\n4\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą np.\n(\n)\n3\n2\n3\n9\n4\nr\nr\n⋅-\ni na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze, że\n1\n4\nr =\ni\n1\n3\n4\na = -\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy\nrachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do końca,\nto może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nRozwiązanie (II sposób)\nOznaczmy rozpatrywany ciąg arytmetyczny przez (\n)\nna\n, gdzie\n1\nn ≥, a różnicę tego ciągu\nprzez r .\nZapisujemy zależność między wyrazami piątym i szóstym:\n5\n6\n2a\na =\n. Stąd\n5\n5\n2\na\nr\na\n, czyli\n5a\nr\nZauważamy, że\n1\n5\n4\na\na\nr\noraz\n10\n5\n5\na\na\nr\ni zapisujemy kolejną zależność\n1\n10\n5\n5\n10\n4\n5\n15\n10\n10\n2\n2\n4\na\na\na\nr\na\nr\nS\n⋅\n⋅\nPo uwzględnieniu zależności\n5a\nr\n, mamy\n3\n6\n15\n10\n2\n4\nr\nr\n⋅\n, czyli\n1\n4\nr =\nStąd wynika, że\n1\n5\n1\n3\n4\n4\n3\n3 4\n4\na\na\nr\nr\nr\nr\n= -⋅\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n5a i r , np.\n5\n5\n2\na\nr\na\nlub równanie\n5\n5\n4\n5\n15\n10\n2\n4\na\nr\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi\n5a i r ,\nnp.\n5\n5\n2\na\nr\na\ni równanie\n5\n5\n4\n5\n15\n10\n2\n4\na\nr\na\nr\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą np.\n3\n6\n15\n10\n2\n4\nr\nr\n⋅\nlub\n5\n5\n5\n3\n2\n2\n4\na\na\na\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze, że\n1\n4\nr =\ni\n1\n3\n4\na = -\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy\nrachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do końca,\nto może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\nZadanie 34. (0-4)\nPunkty\n(\n)\n1,1\nA = -\ni\n(\n)\n1,9\nC =\nsą wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nAC\nBC\n. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu\n3\n1\n2\n2\ny\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołka B tego trójkąta.\nRozwiązanie (I sposób)\nProsta przechodząca przez punkt\n(\n)\n1,9\nC =\ni prostopadła do prostej AB zawiera wysokość CD\ntrójkąta ABC. Współczynnik kierunkowy\nCD\na\ntej prostej jest równy\n1\n2\n1\n1\n2\nCD\nAB\na\na\nZatem prosta CD ma równanie postaci\n(\n)\n2\n1\n9\ny\nx\n,\n2\n11\ny\nx\nObliczmy współrzędne spodka D wysokości CD, rozwiązując układ równań\n3\n1\n2\n2\ny\nx\noraz\n2\n11\ny\nx\nStąd otrzymujemy\n3\n1\n2\n11\n2\n2\nx\nx\n,\n5\n19\n2\n2\nx =\n,\n19\n5\nx =\nZatem\n19\n17\n5\n5\n2\n11\ny = -⋅\n, więc\n(\n)\n(\n)\n19 17\n5\n5\n4\n2\n,\n3\n,3\n3,8; 3,4\n5\n5\nD\n\n\n\n\n\n\nPonieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AC\nBC\n, więc punkt D jest środkiem\npodstawy AB tego trójkąta. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka otrzymujemy\n2\nA\nB\nD\nx\nx\nx\noraz\n2\nA\nB\nD\ny\ny\ny\n,\n1\n19\n2\n5\nB\nx\noraz 1\n17\n2\n5\nB\ny\n,\n43\n3\n5\n5\n8\nB\nx =\noraz\n29\n4\n5\n5\n5\nB\ny =\nZatem\n(\n) (\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Na rysunku przedstawiony jest przedział ( 10,k
, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma
wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.
Stąd wynika, że
A.
9
k =
B.
11
k =
C.
21
k =
D.
31
k =
x

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Na rysunku przedstawiony jest przedział (-10,k>, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. A. k=9, B. k=11, C. k=21, D. k=31

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający zapisuje błędną zależność wynikającą z definicji cosinusa danego kąta, to za
\n

całe rozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy
\n

rachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do
końca, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty.
Zadanie 33. (0-4)
W ciągu arytmetycznym (
)
na , określonym dla liczb naturalnych
1
n ≥
, wyraz szósty jest
liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego
ciągu jest równa
10
15
4
S
. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Rozwiązanie (I sposób)
Oznaczmy rozpatrywany ciąg arytmetyczny przez (
)
na
, gdzie
1
n ≥, a różnicę tego ciągu
przez r .
Zapisujemy zależność między wyrazami piątym i szóstym:
5
6
2a
a =
. Stąd
(
)
r
a
r
a
4
2
5
1
1
, czyli
r
a
3
1
Zapisujemy kolejną zależność
1
10
10
15
10
2
4
a
a
S
⋅
,
a stąd
(
)
1
15
5 2
9
4
a
r
, czyli
1
3
2
9
4
a
r
Zapisujemy równanie z jedną niewiadomą,
(
)
3
2
3
9
4
r
r
⋅-
, skąd otrzymujemy
1
4
r =
Ostatecznie więc
1
4
r =
i
1
3
4
a = -
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi
1a i r , np.
(
)
r
a
r
a
4
2
5
1
1
lub
1
2
9
15
10
2
4
a
r
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi
1a i r ,
np.
(
)
r
a
r
a
4
2
5
1
1
i
1
2
9
15
10
2
4
a
r
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą np.
(
)
3
2
3
9
4
r
r
⋅-
i na tym zakończy lub
dalej popełni błędy.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy i zapisze, że
1
4
r =
i
1
3
4
a = -
Uwaga:
Jeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy
rachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do końca,
to może otrzymać maksymalnie 3 punkty.
Rozwiązanie (II sposób)
Oznaczmy rozpatrywany ciąg arytmetyczny przez (
)
na
, gdzie
1
n ≥, a różnicę tego ciągu
przez r .
Zapisujemy zależność między wyrazami piątym i szóstym:
5
6
2a
a =
. Stąd
5
5
2
a
r
a
, czyli
5a
r
Zauważamy, że
1
5
4
a
a
r
oraz
10
5
5
a
a
r
i zapisujemy kolejną zależność
1
10
5
5
10
4
5
15
10
10
2
2
4
a
a
a
r
a
r
S
⋅
⋅
Po uwzględnieniu zależności
5a
r
, mamy
3
6
15
10
2
4
r
r
⋅
, czyli
1
4
r =
Stąd wynika, że
1
5
1
3
4
4
3
3 4
4
a
a
r
r
r
r
= -⋅
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi
5a i r , np.
5
5
2
a
r
a
lub równanie
5
5
4
5
15
10
2
4
a
r
a
r
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi
5a i r ,
np.
5
5
2
a
r
a
i równanie
5
5
4
5
15
10
2
4
a
r
a
r
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą np.
3
6
15
10
2
4
r
r
⋅
lub
5
5
5
3
2
2
4
a
a
a






i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy i zapisze, że
1
4
r =
i
1
3
4
a = -
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Uwaga:
Jeżeli zdający popełnia błędy nieprzekreślające poprawności rozumowania, np.: błędy
rachunkowe, błędy w przepisywaniu, itp. i doprowadza rozwiązanie konsekwentnie do końca,
to może otrzymać maksymalnie 3 punkty.
Zadanie 34. (0-4)
Punkty
(
)
1,1
A = -
i
(
)
1,9
C =
są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym
AC
BC
. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
3
1
2
2
y
x
. Oblicz
współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.
Rozwiązanie (I sposób)
Prosta przechodząca przez punkt
(
)
1,9
C =
i prostopadła do prostej AB zawiera wysokość CD
trójkąta ABC. Współczynnik kierunkowy
CD
a
tej prostej jest równy
1
2
1
1
2
CD
AB
a
a
Zatem prosta CD ma równanie postaci
(
)
2
1
9
y
x
,
2
11
y
x
Obliczmy współrzędne spodka D wysokości CD, rozwiązując układ równań
3
1
2
2
y
x
oraz
2
11
y
x
Stąd otrzymujemy
3
1
2
11
2
2
x
x
,
5
19
2
2
x =
,
19
5
x =
Zatem
19
17
5
5
2
11
y = -⋅
, więc
(
)
(
)
19 17
5
5
4
2
,
3
,3
3,8; 3,4
5
5
D






Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AC
BC
, więc punkt D jest środkiem
podstawy AB tego trójkąta. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka otrzymujemy
2
A
B
D
x
x
x
oraz
2
A
B
D
y
y
y
,
1
19
2
5
B
x
oraz 1
17
2
5
B
y
,
43
3
5
5
8
B
x =
oraz
29
4
5
5
5
B
y =
Zatem
(
) (
)

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg"}]}