{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n4\nlog\n6\nlog\n2\n3\n3\njest równa\nA. 4\nB. 2\nC.\n2\nlog\n2\n3\nD.\n8\nlog3\nLiczba 2log_3 6 - log_3 4 jest równa A. 4, B. 2, C. 2log_3 2, D. log_3 8.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (2)\n\n## Sposób 1 - Własności logarytmów krok po kroku\n\nUpraszczamy wyrażenie \\(2\\log_3 6 - \\log_3 4\\) korzystając ze wzorów na logarytm potęgi i różnicy.\n\n**Krok 1:** Używamy wzoru \\(r \\cdot \\log_a x = \\log_a x^r\\), żeby \"wciągnąć\" współczynnik 2 do środka:\n\\[2\\log_3 6 = \\log_3 6^2 = \\log_3 36\\]\n\n**Krok 2:** Teraz mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie. Używamy wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\):\n\\[\\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9\\]\n\n**Krok 3:** Obliczamy \\(\\log_3 9\\). Pytamy się: \"3 do jakiej potęgi daje 9?\"\n\\[3^2 = 9 \\implies \\log_3 9 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(\\log_3 9 = \\mathbf{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozłożenie 6 na czynniki\n\nZamiast od razu wciągać dwójkę, rozkładamy logarytm sumy na składniki.\n\n**Krok 1:** Rozkładamy \\(\\log_3 6 = \\log_3(2 \\cdot 3) = \\log_3 2 + \\log_3 3 = \\log_3 2 + 1\\)\n\n**Krok 2:** Podstawiamy do wyrażenia:\n\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = 2(\\log_3 2 + 1) - \\log_3 4\\]\n\\[= 2\\log_3 2 + 2 - \\log_3 4\\]\n\n**Krok 3:** Upraszczamy \\(\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\):\n\\[= 2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2\\]\n\\[= 2\\]\n\n**Wynik: \\(\\mathbf{2}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nUżyliśmy trzech własności logarytmów:\n\n1. Logarytm potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 (krok 1) i Sposobie 2 (krok 3) - \"wciąganie\" lub \"wyciąganie\" współczynnika.\n\n2. Logarytm ilorazu:\n\\[\\log_a \\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 (krok 2) - scalenie różnicy w jeden logarytm.\n\n3. Logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 (krok 1) - rozkład \\(\\log_3 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (4) | Uczeń liczy \\(2 \\cdot \\log_3 6 - \\log_3 4\\) błędnie jako \\(\\log_3(2 \\cdot 6 - 4) = \\log_3 8\\) albo myli \\(\\log_3 81 = 4\\) po innych pomyłkach rachunkowych |\n| C (\\(2\\log_3 2\\)) | Uczeń poprawnie dochodzi do \\(2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2\\), ale **zapomina uprościć** i zostawia \\(2\\log_3 2\\) zamiast obliczyć, że człony z \\(\\log_3 2\\) się zerują - zostaje samo \\(2\\) |\n| D (\\(\\log_3 8\\)) | Uczeń stosuje wzór \\(\\log x - \\log y = \\log(x-y)\\) zamiast \\(\\log\\frac{x}{y}\\), albo błędnie liczy \\(\\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3(36-4) = \\log_3 32\\) lub po prostu myli działania na logarytmach z działaniami na liczbach |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm różnicy to **NIE** różnica logarytmów! \\(\\log_a(x - y) \\neq \\log_a x - \\log_a y\\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przed logarytmem \\(r \\cdot \\log_a x\\) wchodzi do środka jako **wykładnik**: \\(\\log_a x^r\\). Nie mnożymy przez argument, tylko potęgujemy argument!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zastosowaniu wzorów zawsze sprawdź, czy nie możesz wyliczyć konkretnej wartości. \\(\\log_3 9 = 2\\) bo \\(3^2 = 9\\) - nie zostawiaj logarytmu, jeśli możesz go policzyć!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności logarytmu (potęga + różnica)\nKorzystamy z dwóch wzorów z karty wzorów (Dział 1, s. 4):\n\\[n\\log_a x = \\log_a x^n, \\qquad \\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\]\nWtedy:\n\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\tfrac{36}{4} = \\log_3 9 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie \\(\\log_3 6\\)\n\\[2\\log_3 6 = 2\\log_3(2\\cdot 3) = 2(\\log_3 2 + \\log_3 3) = 2\\log_3 2 + 2\\]\n\\[\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\]\n\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = 2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2 = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 4** - wynik \\(2\\cdot\\log_3 6 \\cdot (-\\log_3 4)\\) jako mnożenie; błędne zastosowanie praw logarytmów.\n- **C. \\(2\\log_3 2\\)** - pułapka: ktoś zapisał \\(\\log_3\\tfrac{6^2}{4\\cdot 3}\\) albo pomylił 2 wyłączone z logarytmu.\n- **D. \\(\\log_3 8\\)** - ktoś pomylił \\(2\\log_3 6 = \\log_3 12\\), a potem \\(\\log_3 12 - \\log_3 4 = \\log_3 3 = 1\\), ale zapisał 8.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie logarytmu o podstawie 3\nRozwińmy wyrażenie \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4\\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:\n\\[ \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 \\]\nTeraz, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:\n\\[ \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 \\]\nWiemy, że \\(9 = 3^2\\), więc:\n\\[ \\log_3 3^2 = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 6\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm iloczynu i ilorazu\nRozwińmy wyrażenie \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4\\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:\n\\[ 2 \\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 \\]\nZgodnie z właściwością logarytmów, logarytm iloczynu można zapisać jako sumę logarytmów:\n\\[ \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 (6 \\cdot 6) - \\log_3 4 = \\log_3 (6 \\cdot 6) - \\log_3 4 \\]\nZnowu, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:\n\\[ \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 \\]\nWiemy, że \\(9 = 3^2\\), więc:\n\\[ \\log_3 3^2 = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log(xy)=logx+logy\\), strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** Wynik nie jest równy 4.\n* **C. 2log₃ 2:** To jest nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje właściwości logarytmów w celu uproszczenia wyrażenia.\n* **D. (na zdjęciu - nie podano)** Ta odpowiedź nie jest podana na zdjęciu.\n\nPodsumowując, prawidłową odpowiedzią jest 2, ponieważ \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 = \\log_3 3^2 = 2\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
4
log
6
log
2
3
3
jest równa
A. 4
B. 2
C.
2
log
2
3
D.
8
log3
Liczba 2log_3 6 - log_3 4 jest równa A. 4, B. 2, C. 2log_3 2, D. log_3 8.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
Poprawna
odp. (1 p.)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje
\n

definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach
wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym
(1.6).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B (2)

\n

Sposób 1 - Własności logarytmów krok po kroku

\n

Upraszczamy wyrażenie \\(2\\log_3 6 - \\log_3 4\\) korzystając ze wzorów na logarytm potęgi i różnicy.

\n

Krok 1: Używamy wzoru \\(r \\cdot \\log_a x = \\log_a x^r\\), żeby "wciągnąć" współczynnik 2 do środka:
\\[2\\log_3 6 = \\log_3 6^2 = \\log_3 36\\]

\n

Krok 2: Teraz mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie. Używamy wzoru \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\):
\\[\\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9\\]

\n

Krok 3: Obliczamy \\(\\log_3 9\\). Pytamy się: "3 do jakiej potęgi daje 9?"
\\[3^2 = 9 \\implies \\log_3 9 = 2\\]

\n

Wynik: \\(\\log_3 9 = \\mathbf{2}\\)

\n

Sposób 2 - Rozłożenie 6 na czynniki

\n

Zamiast od razu wciągać dwójkę, rozkładamy logarytm sumy na składniki.

\n

Krok 1: Rozkładamy \\(\\log_3 6 = \\log_3(2 \\cdot 3) = \\log_3 2 + \\log_3 3 = \\log_3 2 + 1\\)

\n

Krok 2: Podstawiamy do wyrażenia:
\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = 2(\\log_3 2 + 1) - \\log_3 4\\]
\\[= 2\\log_3 2 + 2 - \\log_3 4\\]

\n

Krok 3: Upraszczamy \\(\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\):
\\[= 2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2\\]
\\[= 2\\]

\n

Wynik: \\(\\mathbf{2}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Użyliśmy trzech własności logarytmów:

\n
  1. Logarytm potęgi:
\n

\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 (krok 1) i Sposobie 2 (krok 3) - "wciąganie" lub "wyciąganie" współczynnika.

\n
  1. Logarytm ilorazu:
\n

\\[\\log_a \\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 (krok 2) - scalenie różnicy w jeden logarytm.

\n
  1. Logarytm iloczynu:
\n

\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 (krok 1) - rozkład \\(\\log_3 6\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (4) | Uczeń liczy \\(2 \\cdot \\log_3 6 - \\log_3 4\\) błędnie jako \\(\\log_3(2 \\cdot 6 - 4) = \\log_3 8\\) albo myli \\(\\log_3 81 = 4\\) po innych pomyłkach rachunkowych |
| C (\\(2\\log_3 2\\)) | Uczeń poprawnie dochodzi do \\(2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2\\), ale zapomina uprościć i zostawia \\(2\\log_3 2\\) zamiast obliczyć, że człony z \\(\\log_3 2\\) się zerują - zostaje samo \\(2\\) |
| D (\\(\\log_3 8\\)) | Uczeń stosuje wzór \\(\\log x - \\log y = \\log(x-y)\\) zamiast \\(\\log\\frac{x}{y}\\), albo błędnie liczy \\(\\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3(36-4) = \\log_3 32\\) lub po prostu myli działania na logarytmach z działaniami na liczbach |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Logarytm różnicy to NIE różnica logarytmów! \\(\\log_a(x - y) \\neq \\log_a x - \\log_a y\\). Różnica logarytmów to logarytm ilorazu: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik przed logarytmem \\(r \\cdot \\log_a x\\) wchodzi do środka jako wykładnik: \\(\\log_a x^r\\). Nie mnożymy przez argument, tylko potęgujemy argument!
\n
⚠️ Uwaga: Po zastosowaniu wzorów zawsze sprawdź, czy nie możesz wyliczyć konkretnej wartości. \\(\\log_3 9 = 2\\) bo \\(3^2 = 9\\) - nie zostawiaj logarytmu, jeśli możesz go policzyć!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Własności logarytmu (potęga + różnica)
\n

Korzystamy z dwóch wzorów z karty wzorów (Dział 1, s. 4):
\\[n\\log_a x = \\log_a x^n, \\qquad \\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\tfrac{x}{y}\\]
Wtedy:
\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\tfrac{36}{4} = \\log_3 9 = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Rozbicie \\(\\log_3 6\\)
\n

\\[2\\log_3 6 = 2\\log_3(2\\cdot 3) = 2(\\log_3 2 + \\log_3 3) = 2\\log_3 2 + 2\\]
\\[\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\]
\\[2\\log_3 6 - \\log_3 4 = 2\\log_3 2 + 2 - 2\\log_3 2 = 2.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Użycie logarytmu o podstawie 3
\n

Rozwińmy wyrażenie \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4\\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:
\\[ \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 \\]
Teraz, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:
\\[ \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 \\]
Wiemy, że \\(9 = 3^2\\), więc:
\\[ \\log_3 3^2 = 2 \\]

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 6

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm iloczynu i ilorazu
\n

Rozwińmy wyrażenie \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4\\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:
\\[ 2 \\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 6^2 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 \\]
Zgodnie z właściwością logarytmów, logarytm iloczynu można zapisać jako sumę logarytmów:
\\[ \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 (6 \\cdot 6) - \\log_3 4 = \\log_3 (6 \\cdot 6) - \\log_3 4 \\]
Znowu, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:
\\[ \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 \\]
Wiemy, że \\(9 = 3^2\\), więc:
\\[ \\log_3 3^2 = 2 \\]

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log(xy)=logx+logy\\), strona 6

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowując, prawidłową odpowiedzią jest 2, ponieważ \\(2 \\log_3 6 - \\log_3 4 = \\log_3 36 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{36}{4} = \\log_3 9 = \\log_3 3^2 = 2\\).

"}]}