Zadanie 10. (0-1)
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej
( )
f x
ax
b
(
)
3,
2
M =
należy
do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
A. 1
B.
3
2
C.
2
3
D.
1
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=ax+b, a punkt M=(3,-2) należy do wykresu tej funkcji. Wspołczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy A. 1; B. 3/2; C. -3/2; D. -1.
Zadanie 10. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji
liniowej na podstawie informacji o funkcji lub
o jej wykresie (4.6).
Wersja
I
Wersja
II
D
A
Współczynnik \\(a = -1\\).
\nWiemy, że:
\nPodstawiamy do wzoru \\(f(x) = ax + b\\):
\n\\[f(1) = 0 \\implies a \\cdot 1 + b = 0 \\implies a + b = 0\\]
\n\\[f(3) = -2 \\implies a \\cdot 3 + b = -2 \\implies 3a + b = -2\\]
\nMamy układ równań:
\\[\\begin{cases} a + b = 0 \\\\ 3a + b = -2 \\end{cases}\\]
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(b\\)):
\\[(3a + b) - (a + b) = -2 - 0\\]
\\[2a = -2\\]
\\[\\boxed{a = -1}\\]
Z pierwszego równania: \\(b = -a = 1\\), więc \\(f(x) = -x + 1\\). Sprawdzenie: \\(f(1) = 0\\) ✓, \\(f(3) = -3 + 1 = -2\\) ✓
\nSkoro \\(f(1) = 0\\), to mamy dwa punkty na prostej: \\((1, 0)\\) i \\((3, -2)\\).
\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty to:
\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{-2 - 0}{3 - 1} = \\frac{-2}{2} = \\boxed{-1}\\]
To bezpośrednio daje odpowiedź bez układu równań.
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego i podstawowe własności funkcji liniowej. Wzór na współczynnik kierunkowy \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) można powiązać z działem 11 (Geometria analityczna, s. 22-25), gdzie omówione jest równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\).
\n| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((a = 1)\\) | Uczeń myśli, że skoro miejsce zerowe to \\(x = 1\\), to \\(a = 1\\). Pomylenie miejsca zerowego z wartością współczynnika. |
| B \\(\\left(a = \\frac{3}{2}\\right)\\) | Błąd znaku lub kolejności odejmowania: \\(\\frac{-2 - 0}{1 - 3} = \\frac{-2}{-2} = 1\\) - tu błąd zamienny, albo \\(\\frac{0-(-2)}{3-1} = \\frac{2}{2} = 1\\). Wynik \\(\\frac{3}{2}\\) pojawia się gdy ktoś liczy \\(\\frac{3}{2}\\) bez sensu z samych danych \\(x=3, y=-2\\). |
| C \\(\\left(a = -\\frac{3}{2}\\right)\\) | Błędny mianownik - np. \\(\\frac{-2-0}{3-\\frac{3}{2}}\\) lub pomieszanie \\(x_1, y_1\\) z samymi współrzędnymi punktu \\(M\\) bez uwzględnienia miejsca zerowego. |
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe \\(x_0 = 1\\) oznacza \\(f(1) = 0\\) - to daje punkt \\((1, 0)\\) na wykresie, NIE to, że \\(a = 1\\).\n
⚠️ Uwaga: We wzorze \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) kolejność punktów musi być spójna - jeśli w liczniku bierzesz \\(y_2 - y_1\\), to w mianowniku musisz brać \\(x_2 - x_1\\) (te same indeksy!). Zamiana kolejności tylko w jednym miejscu zmienia znak.\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(a\\) warto zawsze sprawdzić \\(b\\) i podstawić oba warunki - to zajmuje 10 sekund i eliminuje ryzyko błędu przy odpisywaniu.\n
Poprawna odpowiedź: D
\nMamy dwa warunki:
\nOdejmujemy pierwsze od drugiego:
\\[2a = -2 \\Rightarrow a = -1.\\]
Miejsce zerowe \\(x=1\\) oznacza punkt \\((1,0)\\). Drugi punkt: \\((3,-2)\\).
\\[a = \\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \\tfrac{-2-0}{3-1} = \\tfrac{-2}{2} = -1.\\]
Poprawna odpowiedź: D
\nZatem funkcja ma postać f(x) = -x + 1. Współczynnik a wynosi -1.
\n📖 Karta wzorów: Wzory funkcji (strona 7)
\nZatem funkcja ma postać f(x) = -x + 1. Współczynnik a wynosi -1.
\n📖 Karta wzorów: Wzory funkcji (strona 7)
\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnego obliczenia współczynnika 'a' w funkcji liniowej. Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie obu informacji: miejsca zerowego i współrzędnych punktu M.
"}]}