{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDla ciągu arytmetycznego (\n)\nna\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest spełniony warunek\n4\n5\n6\n12\na\na\na\nWtedy\nA.\n5\n4\na =\nB.\n5\n3\na =\nC.\n5\n6\na =\nD.\n5\n5\na =\nDla ciągu arytmetycznego (a_n) określonego dla n≥1, jest spełniony warunek a_4 + a_5 + a_6 = 12. Wtedy A. a_5 = 4; B. a_5 = 3; C. a_5 = 6; D. a_5 = 5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_5 = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\n\nW ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy \\(a_{n-1}, a_n, a_{n+1}\\) mają sumę równą \\(3a_n\\), bo środkowy wyraz jest ich średnią arytmetyczną.\n\nWprost z definicji ciągu arytmetycznego (różnica \\(r\\)):\n\\[a_4 = a_5 - r, \\quad a_6 = a_5 + r\\]\n\nPodstawiamy do warunku:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = (a_5 - r) + a_5 + (a_5 + r) = 3a_5\\]\n\nRóżnica \\(r\\) się **redukuje**! Zatem:\n\\[3a_5 = 12\\]\n\\[\\boxed{a_5 = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pierwszy wyraz i różnicę\n\nWyrażamy każdy wyraz przez \\(a_1\\) i różnicę \\(r\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r, \\quad a_5 = a_1 + 4r, \\quad a_6 = a_1 + 5r\\]\n\nSumujemy:\n\\[(a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) + (a_1 + 5r) = 3a_1 + 12r = 12\\]\n\nDzielimy przez 3:\n\\[a_1 + 4r = 4\\]\n\nAle \\(a_1 + 4r\\) to dokładnie wzór na \\(a_5\\)! Zatem:\n\\[\\boxed{a_5 = 4}\\]\n\nNie musimy znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - wystarczy ich kombinacja \\(a_1 + 4r\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, by wyrazić \\(a_4, a_5, a_6\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nTo znaczy, że \\(a_{n-1} + a_n + a_{n+1} = 3a_n\\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń dzieli 12 przez 4 zamiast przez 3 - np. liczy \\(\\frac{12}{4} = 3\\) myląc liczbę wyrazów z indeksem środkowego |\n| C | Uczeń sumuje tylko dwa wyrazy: \\(a_4 + a_6 = 12\\), skąd \\(a_5 = 6\\) - gubi \\(a_5\\) z sumy |\n| D | Brak typowego błędu obliczeniowego prowadzącego do 5 - może wynikać z błędnego podstawienia \\(a_5 = a_1 + 5r\\) i pominięcia jednego wyrazu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowa obserwacja to **redukcja różnicy** - \\(r\\) znika przy sumowaniu trzech kolejnych wyrazów. Nie potrzebujesz żadnych dodatkowych danych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczać \\(a_1\\) i \\(r\\) osobno - masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi, więc to **niemożliwe**. Ale też zbędne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapamiętaj regułę ogólną: suma \\(k\\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa \\(k\\) razy wyraz środkowy (gdy \\(k\\) nieparzyste). Tu \\(k=3\\), wyraz środkowy to \\(a_5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów:\n\\[a_5 = \\tfrac{a_4 + a_6}{2}.\\]\nZatem \\(a_4 + a_6 = 2a_5\\), więc:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 = 12 \\;\\Longrightarrow\\; a_5 = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyrażenie przez \\(a_1\\) i \\(r\\)\n\\(a_4 = a_1+3r\\), \\(a_5 = a_1+4r\\), \\(a_6 = a_1+5r\\).\n\\[(a_1+3r)+(a_1+4r)+(a_1+5r) = 3a_1 + 12r = 3(a_1+4r) = 3a_5 = 12.\\]\nStąd \\(a_5 = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(a_5 = 3\\)** - ktoś podzielił \\(12\\) przez \\(4\\) (myśląc, że są cztery wyrazy).\n- **C. \\(a_5 = 6\\)** - ktoś podzielił \\(12\\) przez \\(2\\) (tylko dwóch \"sąsiadów\").\n- **D. \\(a_5 = 5\\)** - ktoś zapomniał podzielić i dopisał 12 minus coś, albo przyjął inne założenie.\n\n**Zapamiętaj:** suma trzech kolejnych wyrazów arytmetycznego = 3× środkowy wyraz. To trik ratujący czas.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\nW zadaniu podano, że \\(a_4 + a_5 + a_6 = 12\\). Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:\n\\[S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\]\nMożemy również użyć tego faktu, aby obliczyć \\(a_4 + a_5 + a_6\\). Zauważmy, że \\(a_4, a_5, a_6\\) to 3 ostatnie wyrazy ciągu arytmetycznego. Możemy użyć wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Zatem:\n* \\(a_4 = a_1 + 3r\\)\n* \\(a_5 = a_1 + 4r\\)\n* \\(a_6 = a_1 + 5r\\)\n\nDodając te wyrażenia otrzymujemy:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = 3a_1 + 12r = 12\\]\n\\[a_1 + 4r = 4\\]\nZatem \\(a_1 = 4 - 4r\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego z wykorzystaniem sumy n wyrazów\nMożemy również użyć wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, ale w nieco inny sposób. Wzór ten to:\n\\[S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\]\nW naszym przypadku, \\(a_4 + a_5 + a_6\\) to suma 3 ostatnich wyrazów. Możemy również to wyrazić jako sumę 6 pierwszych wyrazów pomniejszoną o 3 pierwsze. Zatem:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = S_6 - S_3\\]\nWzór na \\(S_6\\) to:\n\\[S_6 = \\frac{6}{2}(2a_1 + (6-1)r) = 3(2a_1 + 5r) = 6a_1 + 15r\\]\nWzór na \\(S_3\\) to:\n\\[S_3 = \\frac{3}{2}(2a_1 + (3-1)r) = \\frac{3}{2}(2a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\\]\nZatem:\n\\[a_4 + a_5 + a_6 = (6a_1 + 15r) - (3a_1 + 3r) = 3a_1 + 12r = 12\\]\n\\[3a_1 + 12r = 12\\]\n\\[a_1 + 4r = 4\\]\n\\[a_1 = 4 - 4r\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2;\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B:** Nie wykorzystuje żadnego wzoru na ciąg arytmetyczny.\n* **C:** Podobnie jak B, nie wykorzystuje wzoru na ciąg arytmetyczny.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie prowadzi do rozwiązania zadania.\n\nPodsumowując, oba sposoby prowadzą do tego samego równania: \\(a_1 + 4r = 4\\), co jest równoważne \\(a_1 = 4 - 4r\\). To pozwala nam znaleźć wartość \\(a_1\\) i \\(r\\), a następnie sprawdzić, czy spełniają one warunki zadania.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Dla ciągu arytmetycznego (
)
na
, określonego dla
1
n ≥, jest spełniony warunek
4
5
6
12
a
a
a
Wtedy
A.
5
4
a =
B.
5
3
a =
C.
5
6
a =
D.
5
5
a =
Dla ciągu arytmetycznego (a_n) określonego dla n≥1, jest spełniony warunek a_4 + a_5 + a_6 = 12. Wtedy A. a_5 = 4; B. a_5 = 3; C. a_5 = 6; D. a_5 = 5.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz
\n

i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego (5.3).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(a_5 = 4\\)

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu

\n

W ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy \\(a_{n-1}, a_n, a_{n+1}\\) mają sumę równą \\(3a_n\\), bo środkowy wyraz jest ich średnią arytmetyczną.

\n

Wprost z definicji ciągu arytmetycznego (różnica \\(r\\)):
\\[a_4 = a_5 - r, \\quad a_6 = a_5 + r\\]

\n

Podstawiamy do warunku:
\\[a_4 + a_5 + a_6 = (a_5 - r) + a_5 + (a_5 + r) = 3a_5\\]

\n

Różnica \\(r\\) się redukuje! Zatem:
\\[3a_5 = 12\\]
\\[\\boxed{a_5 = 4}\\]

\n

Sposób 2 - Przez pierwszy wyraz i różnicę

\n

Wyrażamy każdy wyraz przez \\(a_1\\) i różnicę \\(r\\):
\\[a_4 = a_1 + 3r, \\quad a_5 = a_1 + 4r, \\quad a_6 = a_1 + 5r\\]

\n

Sumujemy:
\\[(a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) + (a_1 + 5r) = 3a_1 + 12r = 12\\]

\n

Dzielimy przez 3:
\\[a_1 + 4r = 4\\]

\n

Ale \\(a_1 + 4r\\) to dokładnie wzór na \\(a_5\\)! Zatem:
\\[\\boxed{a_5 = 4}\\]

\n

Nie musimy znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - wystarczy ich kombinacja \\(a_1 + 4r\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2, by wyrazić \\(a_4, a_5, a_6\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]
To znaczy, że \\(a_{n-1} + a_n + a_{n+1} = 3a_n\\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń dzieli 12 przez 4 zamiast przez 3 - np. liczy \\(\\frac{12}{4} = 3\\) myląc liczbę wyrazów z indeksem środkowego |
| C | Uczeń sumuje tylko dwa wyrazy: \\(a_4 + a_6 = 12\\), skąd \\(a_5 = 6\\) - gubi \\(a_5\\) z sumy |
| D | Brak typowego błędu obliczeniowego prowadzącego do 5 - może wynikać z błędnego podstawienia \\(a_5 = a_1 + 5r\\) i pominięcia jednego wyrazu |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kluczowa obserwacja to redukcja różnicy - \\(r\\) znika przy sumowaniu trzech kolejnych wyrazów. Nie potrzebujesz żadnych dodatkowych danych!
\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj wyznaczać \\(a_1\\) i \\(r\\) osobno - masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi, więc to niemożliwe. Ale też zbędne!
\n
⚠️ Uwaga: Zapamiętaj regułę ogólną: suma \\(k\\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa \\(k\\) razy wyraz środkowy (gdy \\(k\\) nieparzyste). Tu \\(k=3\\), wyraz środkowy to \\(a_5\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego
\n

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów:
\\[a_5 = \\tfrac{a_4 + a_6}{2}.\\]
Zatem \\(a_4 + a_6 = 2a_5\\), więc:
\\[a_4 + a_5 + a_6 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 = 12 \\;\\Longrightarrow\\; a_5 = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Wyrażenie przez \\(a_1\\) i \\(r\\)
\n

\\(a_4 = a_1+3r\\), \\(a_5 = a_1+4r\\), \\(a_6 = a_1+5r\\).
\\[(a_1+3r)+(a_1+4r)+(a_1+5r) = 3a_1 + 12r = 3(a_1+4r) = 3a_5 = 12.\\]
Stąd \\(a_5 = 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zapamiętaj: suma trzech kolejnych wyrazów arytmetycznego = 3× środkowy wyraz. To trik ratujący czas.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
\n

W zadaniu podano, że \\(a_4 + a_5 + a_6 = 12\\). Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:
\\[S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\]
Możemy również użyć tego faktu, aby obliczyć \\(a_4 + a_5 + a_6\\). Zauważmy, że \\(a_4, a_5, a_6\\) to 3 ostatnie wyrazy ciągu arytmetycznego. Możemy użyć wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Zatem:

\n\n

Dodając te wyrażenia otrzymujemy:
\\[a_4 + a_5 + a_6 = 3a_1 + 12r = 12\\]
\\[a_1 + 4r = 4\\]
Zatem \\(a_1 = 4 - 4r\\).

\n

📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego z wykorzystaniem sumy n wyrazów
\n

Możemy również użyć wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, ale w nieco inny sposób. Wzór ten to:
\\[S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\]
W naszym przypadku, \\(a_4 + a_5 + a_6\\) to suma 3 ostatnich wyrazów. Możemy również to wyrazić jako sumę 6 pierwszych wyrazów pomniejszoną o 3 pierwsze. Zatem:
\\[a_4 + a_5 + a_6 = S_6 - S_3\\]
Wzór na \\(S_6\\) to:
\\[S_6 = \\frac{6}{2}(2a_1 + (6-1)r) = 3(2a_1 + 5r) = 6a_1 + 15r\\]
Wzór na \\(S_3\\) to:
\\[S_3 = \\frac{3}{2}(2a_1 + (3-1)r) = \\frac{3}{2}(2a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\\]
Zatem:
\\[a_4 + a_5 + a_6 = (6a_1 + 15r) - (3a_1 + 3r) = 3a_1 + 12r = 12\\]
\\[3a_1 + 12r = 12\\]
\\[a_1 + 4r = 4\\]
\\[a_1 = 4 - 4r\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2;

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowując, oba sposoby prowadzą do tego samego równania: \\(a_1 + 4r = 4\\), co jest równoważne \\(a_1 = 4 - 4r\\). To pozwala nam znaleźć wartość \\(a_1\\) i \\(r\\), a następnie sprawdzić, czy spełniają one warunki zadania.

"}]}