Zadanie 13. (0-1)
Dany jest ciąg geometryczny (
)
n
a
, określony dla
1
n ≥, w którym
1
2
a =
,
2
2 2
a
,
3
4 2
a
. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
A.
(
)
2
n
na
B.
2
2
n
na
C.
2
2
=
n
na
D.
(
)
2
2
n
na
Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n ≥ 1, w którym a_1=√2$, a_2=2√2, a_3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać A. a_n = (√2)^n; B. a_n = 2^n/√2; C. a_n = (√2/2)^n; D. a_n = (√2)^n / 2.
Zadanie 13. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.
i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego (5.4).
Wersja
I
Wersja
II
B
A
Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu.
\nIloraz \\(q\\) obliczamy jako:
\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\]
Weryfikacja: \\(\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}} = 2\\) ✓
\nKrok 2: Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.
\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = \\sqrt{2} \\cdot 2^{n-1}\\]
\nKrok 3: Upraszczamy - sprowadzamy do jednej potęgi dwójki.
\n\\[a_n = \\sqrt{2} \\cdot 2^{n-1} = \\frac{\\sqrt{2} \\cdot 2^n}{2} = \\frac{2^n \\cdot \\sqrt{2}}{2}\\]
\nKorzystamy z faktu, że \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\):
\n\\[\\boxed{a_n = \\frac{2^n}{\\sqrt{2}}}\\]
\nTo odpowiedź B.
\nZapisujemy wszystko jako potęgi liczby 2, używając \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\):
\n\\[a_1 = \\sqrt{2} = 2^{1/2}\\]
\\[a_2 = 2\\sqrt{2} = 2^1 \\cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}\\]
\\[a_3 = 4\\sqrt{2} = 2^2 \\cdot 2^{1/2} = 2^{5/2}\\]
Widać wzorzec: wykładniki to \\(\\frac{1}{2},\\ \\frac{3}{2},\\ \\frac{5}{2}, \\ldots\\) - czyli \\(n - \\frac{1}{2}\\) dla kolejnych \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)
\nZatem:
\\[a_n = 2^{n - \\frac{1}{2}} = \\frac{2^n}{2^{1/2}} = \\frac{2^n}{\\sqrt{2}}\\]
Ten sam wynik - odpowiedź B.
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 jako punkt wyjścia.
Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad \\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]
Użyliśmy ich w obu sposobach przy upraszczaniu wyrażeń z \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\).
| Odp. | Wzór | Błąd | Sprawdzenie dla \\(n=2\\) |
| A | \\((\\sqrt{2})^n\\) | Błędny iloraz: ktoś przyjął \\(q = \\sqrt{2}\\) zamiast \\(q = 2\\) - np. zobaczył "\\(\\sqrt{2}\\)" w każdym wyrazie i uznał, że to iloraz | \\((\\sqrt{2})^2 = 2 \\neq 2\\sqrt{2}\\) ✗ |
| C | \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^n\\) | Odwrócony iloraz: \\(q = \\dfrac{a_1}{a_2} = \\dfrac{1}{2}\\) zamiast \\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = 2\\) - ciąg wychodzi malejący | \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = \\dfrac{1}{2} \\neq 2\\sqrt{2}\\) ✗ |
| D | \\(\\dfrac{(\\sqrt{2})^n}{2}\\) | Błędny iloraz (\\(q = \\sqrt{2}\\)) i błąd przy upraszczaniu; np. błędne przekształcenie \\(\\sqrt{2} \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\) | \\(\\dfrac{(\\sqrt{2})^2}{2} = 1 \\neq 2\\sqrt{2}\\) ✗ |
⚠️ Uwaga: Iloraz liczymy zawsze jako \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), nigdy odwrotnie. Zamiana mianownika z licznikiem daje \\(q < 1\\) i ciąg malejący - od razu widzisz, że coś jest nie tak.\n
⚠️ Uwaga: Wyrazy \\(\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 4\\sqrt{2}\\) mają wspólny czynnik \\(\\sqrt{2}\\), ale to nie jest iloraz! Iloraz to stosunek sąsiednich wyrazów: \\(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu wyniku pamiętaj, że \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\) - ta równość wynika z \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\). Pomylenie jej kierunku to najczęstszy błąd przy porównywaniu odpowiedzi A, B i D.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nIloraz: \\(q = \\tfrac{a_2}{a_1} = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).
Wzór: \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = \\sqrt{2}\\cdot 2^{n-1} = \\tfrac{2^{n-1}\\cdot 2}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}/\\sqrt{2}} = \\tfrac{2^n}{\\sqrt{2}}.\\)
Dokładniej: \\(a_n = \\sqrt{2}\\cdot 2^{n-1} = 2^{1/2}\\cdot 2^{n-1} = 2^{n-1/2} = \\tfrac{2^n}{2^{1/2}} = \\tfrac{2^n}{\\sqrt{2}}.\\)
\nSprawdzamy każdy wzór dla \\(n=2\\) (ma dać \\(2\\sqrt{2}\\)):
\nPoprawna odpowiedź: B
\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 9
\nPonieważ w treści zadania podano, że a_3 = 4√2, a w pierwszym sposobie otrzymaliśmy a_3 = 4, to musimy zmodyfikować wzór. Zatem, przyjmując, że a_3 = 4, to wzór na a_n to: \\(a_n = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\).
\n📖 Karta wzorów: s.9, strona 9
\nPodsumowanie: Poprawna odpowiedź B jest zgodna z tym, że ciąg jest geometryczny, a jego iloraz to \\(\\sqrt{2}\\) i wzór na n-ty wyraz to \\(a_n = 2 \\cdot (\\sqrt{2})^{n-1}\\).
"}]}