{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma\ndługość 8 (zobacz rysunek).\nWtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek\nA. 27\n30\nα\n° <\n≤\n°\nB. 24\n27\nα\n° <\n≤\n°\nC. 21\n24\nα\n° <\n≤\n°\nD. 18\n21\nα\n° <\n≤\n°\nPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek A. 27° < α ≤ 30°; B. 24° < α ≤ 27°; C. 21° < α ≤ 24°; D. 18° < α ≤ 21°.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający korzysta\nz przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych - odczytanych z tablic\n(6.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n**Przedział: \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\)**\n\n## Sposób 1 - Sinus kąta z definicji (sinus = przeciwległa/przeciwprostokątna)\n\nW trójkącie prostokątnym \\(KLM\\) kąt prosty leży przy wierzchołku \\(M\\) (bo \\(KL\\) jest przeciwprostokątną).\n\nSzukamy kąta \\(\\alpha = \\angle LKM\\) przy wierzchołku \\(K\\).\n\n**Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\):**\n- Bok naprzeciwko \\(\\alpha\\): \\(LM = 3\\)\n- Przeciwprostokątna: \\(KL = 8\\)\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{LM}{KL} = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\]\n\nTeraz sprawdzamy wartości sinusa dla kątów z poszczególnych przedziałów, korzystając z tablicy (karta CKE s. 34) lub wzorów:\n\n| Kąt | Wartość sinusa |\n| \\(18^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}309\\) |\n| \\(21^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}358\\) |\n| \\(22^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}375\\) |\n| \\(23^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}391\\) |\n| \\(24^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}407\\) |\n| \\(27^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}454\\) |\n\nMamy \\(\\sin\\alpha = 0{,}375\\), a sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych.\n\nPonieważ:\n\\[\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358 < 0{,}375 < 0{,}391 \\approx \\sin 23^\\circ\\]\n\nwynika stąd, że \\(21^\\circ < \\alpha < 23^\\circ\\).\n\n**Zatem \\(\\alpha\\) należy do przedziału \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\), czyli odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Tangens kąta (przez obliczenie drugiej przyprostokątnej)\n\nWyznaczamy długość boku \\(KM\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[KM = \\sqrt{KL^2 - LM^2} = \\sqrt{8^2 - 3^2} = \\sqrt{64 - 9} = \\sqrt{55}\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\sqrt{55} \\approx 7{,}416\\]\n\nTangens kąta \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(K\\):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{LM}{KM} = \\frac{3}{\\sqrt{55}} \\approx \\frac{3}{7{,}416} \\approx 0{,}4045\\]\n\nSprawdzamy w tablicy (karta CKE s. 34):\n\n| Kąt | Wartość tangensa |\n| \\(21^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}384\\) |\n| \\(22^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}404\\) |\n| \\(23^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}424\\) |\n| \\(24^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}445\\) |\n\nPonieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha \\approx 0{,}4045\\) jest między \\(\\operatorname{tg}22^\\circ\\) a \\(\\operatorname{tg}23^\\circ\\), mamy:\n\\[22^\\circ < \\alpha < 23^\\circ\\]\n\nOba sposoby potwierdzają: \\(\\mathbf{21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ}\\), **odpowiedź C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\\]\nUżyliśmy tych definicji bezpośrednio do wyznaczenia wartości \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{8}\\) i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{55}}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(KM = \\sqrt{55}\\).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)** - wartości funkcji trygonometrycznych co \\(1^\\circ\\); kluczowe przy określeniu, w jakim przedziale leży \\(\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\), co odpowiada ok. \\(22^\\circ\\) - uczeń mógł mylnie odczytać tablicę lub pomylić zakresy |\n| **B** | Wynik \\(22^\\circ\\) leży w przedziale \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\), ale uczeń mógł błędnie zakwalifikować go do \\((24^\\circ, 27^\\circ]\\) lub odwrócić nierówności |\n| **D** | Powstaje, gdy ktoś pomyli, który kąt liczy - np. policzy kąt \\(\\angle KLM\\) zamiast \\(\\angle LKM\\), lub odwróci stosunek: \\(\\sin\\alpha = \\frac{8}{3}\\) (co jest niemożliwe, ale typowy błąd \"bok/bok\") |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić, który bok jest \"naprzeciwko\" kąta \\(\\alpha\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(K\\), więc naprzeciwko niego leży \\(LM = 3\\), a nie \\(KM\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sinus jest rosnący dla kątów \\(0^\\circ\\) do \\(90^\\circ\\) - im większy kąt, tym większy sinus. Pilnuj kierunku nierówności przy odczycie z tablicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tablicę trygonometryczną (s. 34 karty CKE) masz na egzaminie - nie musisz pamiętać dokładnych wartości co \\(1^\\circ\\). Wystarczy sprawdzić kilka wartości i porównać z obliczonym \\(\\sin\\alpha = 0{,}375\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Funkcja sinus + tablice\nW trójkącie prostokątnym \\(KLM\\) z kątem prostym przy \\(M\\), kąt ostry \\(\\alpha\\) jest przy \\(K\\). Przyprostokątna \\(LM=3\\) jest **naprzeciw** kąta \\(\\alpha\\), przeciwprostokątna \\(KL=8\\).\n\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{LM}{KL} = \\tfrac{3}{8} = 0{,}375.\\]\nZ tablic: \\(\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358\\), \\(\\sin 22^\\circ \\approx 0{,}375\\), \\(\\sin 24^\\circ \\approx 0{,}407\\).\nZatem \\(\\alpha \\approx 22^\\circ\\), czyli \\(21^\\circ < \\alpha \\le 24^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Odrzucanie przez granice\nSprawdzamy \\(\\sin\\) dla punktów brzegowych:\n- \\(\\sin 18^\\circ \\approx 0{,}309\\) → \\(0{,}375 > 0{,}309\\), więc \\(\\alpha > 18^\\circ\\) ✓ (ale to mało precyzyjne)\n- \\(\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358\\) → \\(0{,}375 > 0{,}358\\), więc \\(\\alpha > 21^\\circ\\) → odrzucamy D.\n- \\(\\sin 24^\\circ \\approx 0{,}407\\) → \\(0{,}375 < 0{,}407\\), więc \\(\\alpha < 24^\\circ\\) → odrzucamy B i A (A bo tam też \\(\\alpha > 27^\\circ\\)).\n\nPozostaje **C**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B.** Ktoś użył \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{8}\\) (myląc który bok jest naprzeciw) → \\(\\alpha \\approx 68^\\circ\\), albo złą tablicę.\n- **D.** Niedokładne odczytanie z tablic lub pomylenie wartości \\(\\sin\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego i funkcji trygonometrycznych\n\nKrok 1: Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie KLM mamy:\n\\[LM^2 + KM^2 = KL^2\\]\n\\[3^2 + KM^2 = 8^2\\]\n\\[9 + KM^2 = 64\\]\n\\[KM^2 = 55\\]\n\\[KM = \\sqrt{55}\\]\nTo jest błąd w zadaniu, ponieważ podano, że KM = 3. Zatem, zakładamy, że KM = 3.\n\nKrok 2: Znajdźmy wartość kąta K. W trójkącie KLM, mamy:\n\\[sin(K) = \\frac{KM}{KL} = \\frac{3}{8}\\]\n\\[K = arcsin(\\frac{3}{8}) \\approx 22.02^\\circ\\]\n\nKrok 3: Obliczmy kąt LKM. Kąt LKM to kąt między KM a KL. Zatem, kąt LKM to \\(180^\\circ - K - \\angle KLM\\).\nPonieważ KLM jest trójkątem prostokątnym, \\( \\angle KLM = 90^\\circ\\).\n\\[\\angle LKM = 180^\\circ - 90^\\circ - \\arcsin(\\frac{3}{8}) \\approx 180^\\circ - 90^\\circ - 22.02^\\circ = 67.98^\\circ\\]\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nKrok 4: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Jeśli przyjmiemy, że KM = 3 i KL = 8, to \\( \\sin(K) = \\frac{3}{8}\\) i \\(K \\approx 22.02^\\circ\\). Wtedy kąt LKM to \\(180^\\circ - 90^\\circ - 22.02^\\circ = 67.98^\\circ\\).\n\nKrok 5: Ponieważ zadanie ma na celu sprawdzenie, czy spełniony jest warunek, musimy znaleźć kąt \\(\\alpha\\) taki, że \\(21^\\circ < \\alpha \\leq 24^\\circ\\). To jest sprzeczne z naszym obliczeniem.\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia cosinusów\n\nKrok 1: Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta KLM:\n\\[KL^2 = KM^2 + LM^2 - 2 \\cdot KM \\cdot LM \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[8^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[64 = 9 + 9 - 18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[64 = 18 - 18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[46 = -18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]\n\\[\\cos(\\angle KML) = -\\frac{46}{18} = -\\frac{23}{9}\\]\nPonieważ wartość cosinusów musi być w przedziale [-1, 1], to jest błąd w zadaniu.\n\nKrok 2: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Z twierdzenia cosinusów nie możemy rozwiązać tego zadania.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(27^{\\circ} < \\alpha \\leq 30^{\\circ}\\)**: Kąt LKM nie może być większy niż \\(30^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.\n* **B. \\(24^{\\circ} < \\alpha \\leq 27^{\\circ}\\)**: Kąt LKM nie może być większy niż \\(27^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.\n* **D. \\(18^{\\circ} < \\alpha \\leq 21^{\\circ}\\)**: Kąt LKM nie może być mniejszy niż \\(18^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, strona 15","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma<br>długość 8 (zobacz rysunek).<br>Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek<br>A. 27<br>30<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>B. 24<br>27<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>C. 21<br>24<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>D. 18<br>21<br>α<br>° &lt;<br>≤<br>°<br>Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek A. 27° &lt; α ≤ 30°; B. 24° &lt; α ≤ 27°; C. 21° &lt; α ≤ 24°; D. 18° &lt; α ≤ 21°.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający korzysta</li></ol>\n<p>z przybliżonych wartości funkcji<br>trygonometrycznych - odczytanych z tablic<br>(6.2).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p><strong>Przedział: \\(21^\\circ &lt; \\alpha \\leq 24^\\circ\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - Sinus kąta z definicji (sinus = przeciwległa/przeciwprostokątna)</h4>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(KLM\\) kąt prosty leży przy wierzchołku \\(M\\) (bo \\(KL\\) jest przeciwprostokątną).</p>\n<p>Szukamy kąta \\(\\alpha = \\angle LKM\\) przy wierzchołku \\(K\\).</p>\n<p><strong>Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\):</strong></p>\n<ul><li>Bok naprzeciwko \\(\\alpha\\): \\(LM = 3\\)</li><li>Przeciwprostokątna: \\(KL = 8\\)</li></ul>\n<p>Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{LM}{KL} = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\]</p>\n<p>Teraz sprawdzamy wartości sinusa dla kątów z poszczególnych przedziałów, korzystając z tablicy (karta CKE s. 34) lub wzorów:</p>\n<p>| Kąt | Wartość sinusa |<br>| \\(18^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}309\\) |<br>| \\(21^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}358\\) |<br>| \\(22^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}375\\) |<br>| \\(23^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}391\\) |<br>| \\(24^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}407\\) |<br>| \\(27^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}454\\) |</p>\n<p>Mamy \\(\\sin\\alpha = 0{,}375\\), a sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych.</p>\n<p>Ponieważ:<br>\\[\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358 &lt; 0{,}375 &lt; 0{,}391 \\approx \\sin 23^\\circ\\]</p>\n<p>wynika stąd, że \\(21^\\circ &lt; \\alpha &lt; 23^\\circ\\).</p>\n<p><strong>Zatem \\(\\alpha\\) należy do przedziału \\(21^\\circ &lt; \\alpha \\leq 24^\\circ\\), czyli odpowiedź C.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Tangens kąta (przez obliczenie drugiej przyprostokątnej)</h4>\n<p>Wyznaczamy długość boku \\(KM\\) z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[KM = \\sqrt{KL^2 - LM^2} = \\sqrt{8^2 - 3^2} = \\sqrt{64 - 9} = \\sqrt{55}\\]</p>\n<p>Obliczamy:<br>\\[\\sqrt{55} \\approx 7{,}416\\]</p>\n<p>Tangens kąta \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(K\\):<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{LM}{KM} = \\frac{3}{\\sqrt{55}} \\approx \\frac{3}{7{,}416} \\approx 0{,}4045\\]</p>\n<p>Sprawdzamy w tablicy (karta CKE s. 34):</p>\n<p>| Kąt | Wartość tangensa |<br>| \\(21^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}384\\) |<br>| \\(22^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}404\\) |<br>| \\(23^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}424\\) |<br>| \\(24^\\circ\\) | \\(\\approx 0{,}445\\) |</p>\n<p>Ponieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha \\approx 0{,}4045\\) jest między \\(\\operatorname{tg}22^\\circ\\) a \\(\\operatorname{tg}23^\\circ\\), mamy:<br>\\[22^\\circ &lt; \\alpha &lt; 23^\\circ\\]</p>\n<p>Oba sposoby potwierdzają: \\(\\mathbf{21^\\circ &lt; \\alpha \\leq 24^\\circ}\\), <strong>odpowiedź C</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - definicja sinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\\]<br>Użyliśmy tych definicji bezpośrednio do wyznaczenia wartości \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{8}\\) i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{55}}\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(KM = \\sqrt{55}\\).</p>\n<p><strong>Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)</strong> - wartości funkcji trygonometrycznych co \\(1^\\circ\\); kluczowe przy określeniu, w jakim przedziale leży \\(\\alpha\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> | \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{8} = 0{,}375\\), co odpowiada ok. \\(22^\\circ\\) - uczeń mógł mylnie odczytać tablicę lub pomylić zakresy |<br>| <strong>B</strong> | Wynik \\(22^\\circ\\) leży w przedziale \\(21^\\circ &lt; \\alpha \\leq 24^\\circ\\), ale uczeń mógł błędnie zakwalifikować go do \\((24^\\circ, 27^\\circ]\\) lub odwrócić nierówności |<br>| <strong>D</strong> | Powstaje, gdy ktoś pomyli, który kąt liczy - np. policzy kąt \\(\\angle KLM\\) zamiast \\(\\angle LKM\\), lub odwróci stosunek: \\(\\sin\\alpha = \\frac{8}{3}\\) (co jest niemożliwe, ale typowy błąd &quot;bok/bok&quot;) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić, który bok jest &quot;naprzeciwko&quot; kąta \\(\\alpha\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(K\\), więc naprzeciwko niego leży \\(LM = 3\\), a nie \\(KM\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sinus jest rosnący dla kątów \\(0^\\circ\\) do \\(90^\\circ\\) - im większy kąt, tym większy sinus. Pilnuj kierunku nierówności przy odczycie z tablicy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tablicę trygonometryczną (s. 34 karty CKE) masz na egzaminie - nie musisz pamiętać dokładnych wartości co \\(1^\\circ\\). Wystarczy sprawdzić kilka wartości i porównać z obliczonym \\(\\sin\\alpha = 0{,}375\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Funkcja sinus + tablice</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(KLM\\) z kątem prostym przy \\(M\\), kąt ostry \\(\\alpha\\) jest przy \\(K\\). Przyprostokątna \\(LM=3\\) jest <strong>naprzeciw</strong> kąta \\(\\alpha\\), przeciwprostokątna \\(KL=8\\).<br>\\[\\sin\\alpha = \\tfrac{LM}{KL} = \\tfrac{3}{8} = 0{,}375.\\]<br>Z tablic: \\(\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358\\), \\(\\sin 22^\\circ \\approx 0{,}375\\), \\(\\sin 24^\\circ \\approx 0{,}407\\).<br>Zatem \\(\\alpha \\approx 22^\\circ\\), czyli \\(21^\\circ &lt; \\alpha \\le 24^\\circ\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Odrzucanie przez granice</h5>\n<p>Sprawdzamy \\(\\sin\\) dla punktów brzegowych:</p>\n<ul><li>\\(\\sin 18^\\circ \\approx 0{,}309\\) → \\(0{,}375 &gt; 0{,}309\\), więc \\(\\alpha &gt; 18^\\circ\\) ✓ (ale to mało precyzyjne)</li><li>\\(\\sin 21^\\circ \\approx 0{,}358\\) → \\(0{,}375 &gt; 0{,}358\\), więc \\(\\alpha &gt; 21^\\circ\\) → odrzucamy D.</li><li>\\(\\sin 24^\\circ \\approx 0{,}407\\) → \\(0{,}375 &lt; 0{,}407\\), więc \\(\\alpha &lt; 24^\\circ\\) → odrzucamy B i A (A bo tam też \\(\\alpha &gt; 27^\\circ\\)).</li></ul>\n<p>Pozostaje <strong>C</strong>.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B.</strong> Ktoś użył \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{8}\\) (myląc który bok jest naprzeciw) → \\(\\alpha \\approx 68^\\circ\\), albo złą tablicę.</li><li><strong>D.</strong> Niedokładne odczytanie z tablic lub pomylenie wartości \\(\\sin\\).</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego i funkcji trygonometrycznych</h5>\n<p>Krok 1: Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie KLM mamy:<br>\\[LM^2 + KM^2 = KL^2\\]<br>\\[3^2 + KM^2 = 8^2\\]<br>\\[9 + KM^2 = 64\\]<br>\\[KM^2 = 55\\]<br>\\[KM = \\sqrt{55}\\]<br>To jest błąd w zadaniu, ponieważ podano, że KM = 3. Zatem, zakładamy, że KM = 3.</p>\n<p>Krok 2: Znajdźmy wartość kąta K. W trójkącie KLM, mamy:<br>\\[sin(K) = \\frac{KM}{KL} = \\frac{3}{8}\\]<br>\\[K = arcsin(\\frac{3}{8}) \\approx 22.02^\\circ\\]</p>\n<p>Krok 3: Obliczmy kąt LKM. Kąt LKM to kąt między KM a KL. Zatem, kąt LKM to \\(180^\\circ - K - \\angle KLM\\).<br>Ponieważ KLM jest trójkątem prostokątnym, \\( \\angle KLM = 90^\\circ\\).<br>\\[\\angle LKM = 180^\\circ - 90^\\circ - \\arcsin(\\frac{3}{8}) \\approx 180^\\circ - 90^\\circ - 22.02^\\circ = 67.98^\\circ\\]<br>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Krok 4: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Jeśli przyjmiemy, że KM = 3 i KL = 8, to \\( \\sin(K) = \\frac{3}{8}\\) i \\(K \\approx 22.02^\\circ\\). Wtedy kąt LKM to \\(180^\\circ - 90^\\circ - 22.02^\\circ = 67.98^\\circ\\).</p>\n<p>Krok 5: Ponieważ zadanie ma na celu sprawdzenie, czy spełniony jest warunek, musimy znaleźć kąt \\(\\alpha\\) taki, że \\(21^\\circ &lt; \\alpha \\leq 24^\\circ\\). To jest sprzeczne z naszym obliczeniem.</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie twierdzenia cosinusów</h5>\n<p>Krok 1: Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta KLM:<br>\\[KL^2 = KM^2 + LM^2 - 2 \\cdot KM \\cdot LM \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]<br>\\[8^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]<br>\\[64 = 9 + 9 - 18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]<br>\\[64 = 18 - 18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]<br>\\[46 = -18 \\cdot \\cos(\\angle KML)\\]<br>\\[\\cos(\\angle KML) = -\\frac{46}{18} = -\\frac{23}{9}\\]<br>Ponieważ wartość cosinusów musi być w przedziale [-1, 1], to jest błąd w zadaniu.</p>\n<p>Krok 2: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Z twierdzenia cosinusów nie możemy rozwiązać tego zadania.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(27^{\\circ} &lt; \\alpha \\leq 30^{\\circ}\\)</strong>: Kąt LKM nie może być większy niż \\(30^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.</li><li><strong>B. \\(24^{\\circ} &lt; \\alpha \\leq 27^{\\circ}\\)</strong>: Kąt LKM nie może być większy niż \\(27^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.</li><li><strong>D. \\(18^{\\circ} &lt; \\alpha \\leq 21^{\\circ}\\)</strong>: Kąt LKM nie może być mniejszy niż \\(18^\\circ\\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.</li></ul>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, strona 15</p>"}]}