{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest trójkąt o bokach długości:\n5\n2\n,\n5\n3\n,\n5\n4\n. Trójkątem podobnym do tego trójkąta\njest trójkąt, którego boki mają długości\nA. 10, 15, 20\nB. 20, 45, 80\nC.\n2,\n3,\n4\nD.\n5, 2 5, 3 5\nK\nL\nM\n3\n8\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nDany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20; B. 20, 45, 80; C. √2, √3, √4; D. √5, 2√5, 3√5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty\npodobne i wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów (7.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie współczynnika podobieństwa\n\n**Krok 1: Zauważamy, że boki trójkąta wyjściowego mają wspólny czynnik.**\n\nBoki: \\(2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5},\\ 4\\sqrt{5}\\).\n\nKażdy bok jest postaci \\(k\\sqrt{5}\\), więc możemy wyciągnąć \\(\\sqrt{5}\\) przed nawias:\n\\[\\sqrt{5} \\cdot 2,\\quad \\sqrt{5} \\cdot 3,\\quad \\sqrt{5} \\cdot 4\\]\n\nStosunek boków (po uproszczeniu) wynosi:\n\\[2 : 3 : 4\\]\n\n**Krok 2: Trójkąty podobne mają boki proporcjonalne - muszą być w tym samym stosunku \\(2 : 3 : 4\\).**\n\nSzukamy odpowiedzi, w której boki dają stosunek \\(2 : 3 : 4\\).\n\n**Sprawdzamy odpowiedź A:** \\(10,\\ 15,\\ 20\\)\n\\[\\frac{10}{2} = 5,\\quad \\frac{15}{3} = 5,\\quad \\frac{20}{4} = 5\\]\n\nKażdy bok jest \\(5\\) razy większy niż odpowiadający bok w stosunku \\(2:3:4\\). Współczynnik podobieństwa \\(k = 5\\).\n\n**Trójkąt A jest podobny do danego.** ✓\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie porównanie z trójkątem wyjściowym\n\nBoki wyjściowe: \\(2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5},\\ 4\\sqrt{5}\\).\n\nSzukamy liczby \\(k > 0\\) takiej, że po pomnożeniu każdego boku przez \\(k\\) dostaniemy boki z jednej z odpowiedzi.\n\nSpróbujmy dla odpowiedzi A: \\(10,\\ 15,\\ 20\\).\n\nSprawdzamy ilorazy:\n\\[\\frac{10}{2\\sqrt{5}} = \\frac{10}{2\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\frac{5\\sqrt{5}}{5} = \\sqrt{5}\\]\n\\[\\frac{15}{3\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]\n\\[\\frac{20}{4\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]\n\nWszystkie ilorazy są równe \\(\\sqrt{5}\\), czyli współczynnik podobieństwa \\(k = \\sqrt{5}\\). **Trójkąt A jest podobny.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja podobieństwa trójkątów: dwa trójkąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są **proporcjonalne** (w stałym stosunku \\(k\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Boki | Sprawdzenie stosunku | Błąd |\n| B | \\(20,\\ 45,\\ 80\\) | \\(\\frac{20}{2}=10,\\ \\frac{45}{3}=15,\\ \\frac{80}{4}=20\\) - ilorazy **różne** | Boki mają stosunek \\(20:45:80 = 4:9:16\\), nie \\(2:3:4\\); uczeń mógł pomylić podobieństwo z potęgowaniem boków (\\(2^2 : 3^2 : 4^2\\)) |\n| C | \\(\\sqrt{2},\\ \\sqrt{3},\\ \\sqrt{4}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{3}}{3},\\ \\frac{\\sqrt{4}}{4}\\) - ilorazy **różne** | Boki \\(\\sqrt{2}:\\sqrt{3}:\\sqrt{4} \\neq 2:3:4\\); podobna \"forma\" z pierwiastkami myląco sugeruje podobieństwo |\n| D | \\(\\sqrt{5},\\ 2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5}\\) | Stosunek \\(1:2:3\\), a wymagany \\(2:3:4\\) - **różne** | Boki wyglądają podobnie (też mają \\(\\sqrt{5}\\)), ale stosunek jest inny; uczeń może nie sprawdzić dokładnie proporcji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo to proporcjonalność **wszystkich trzech** boków jednocześnie - nie wystarczy, że jeden lub dwa boki pasują do proporcji. Zawsze sprawdzaj **wszystkie** ilorazy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(20, 45, 80\\)) kusi, bo wygląda jak \"pomnożone przez większą liczbę\". W rzeczywistości \\(4:9:16 = 2^2:3^2:4^2\\) - to efekt **kwadratowania** boków, nie skalowania. Taki trójkąt **nie** jest podobny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Aby uprościć obliczenia, zawsze wyciągaj wspólny czynnik z boków i sprowadzaj do najprostszego stosunku (tu: \\(2:3:4\\)). Potem szukasz odpowiedzi dającej ten sam stosunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Stosunki boków\nBoki danego trójkąta są w stosunku \\(2:3:4\\) (współczynnik \\(\\sqrt{5}\\) jest wspólny i skraca się).\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n- **A.** \\(10:15:20 = 2:3:4\\) ✓\n- **B.** \\(20:45:80 = 4:9:16\\) ✗\n- **C.** \\(\\sqrt{2}:\\sqrt{3}:\\sqrt{4} \\approx 1{,}41:1{,}73:2\\), stosunek \\(\\ne 2:3:4\\) ✗\n- **D.** \\(\\sqrt{5}:2\\sqrt{5}:3\\sqrt{5} = 1:2:3\\) ✗\n\nTylko **A** ma ten sam stosunek boków (skala \\(k = \\tfrac{10}{2\\sqrt{5}} = \\tfrac{\\sqrt{5}}{1}\\cdot\\tfrac{1}{1} = \\sqrt{5}\\) - każdy bok pomnożony przez \\(\\sqrt{5}\\)).\n\n### Sposób 2 - Cecha podobieństwa BBB\nDwa trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne (cecha bok-bok-bok). Wystarczy sprawdzić, czy \\(\\tfrac{a'}{a} = \\tfrac{b'}{b} = \\tfrac{c'}{c}\\).\n- **A.** \\(\\tfrac{10}{2\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\), \\(\\tfrac{15}{3\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\), \\(\\tfrac{20}{4\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\) - wszystkie równe ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Boki są w stosunku \\(4:9:16\\) (kwadraty \\(2,3,4\\)). Ktoś pomnożył zamiast zachować proporcje.\n- **C.** Ktoś wziął pierwiastki z liczb \\(2, 3, 4\\) - stosunek jest zupełnie inny.\n- **D.** Trójkąt w stosunku \\(1:2:3\\); takich trójkątów nawet nie istnieje geometrycznie (nierówność trójkąta: \\(1+2 = 3\\) - trójkąt zdegenerowany!).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów\nTen trójkąt jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Podobieństwo trójkątów oznacza, że odpowiadające sobie kąty są równe, a stosunek długości boków jest stały. Zatem możemy zapisać:\n\n* 2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)\n* 3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)\n* 4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)\n\nRozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:\n\n* 2x = 50 => x = 25\n* 3x = 75 => x = 25\n* 4x = 100 => x = 25\n\nZatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.\n\n📖 Karta wzorów: \\[Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\\] , strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie proporcji i wzoru na pole trójkąta\nZauważamy, że trójkąt o bokach 2, 5, 4,5 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Zatem stosunek długości boków jest równy:\n\n2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)\n3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)\n4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)\n\nRozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:\n\n* 2x = 50 => x = 25\n* 3x = 75 => x = 25\n* 4x = 100 => x = 25\n\nZatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.\n\n📖 Karta wzorów: \\[Pole trójk: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\\] , strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 20, 45, 80:** W tym przypadku stosunek długości boków nie jest równy 2/5, 3/5, 4/5. Trójkąt o bokach 20, 45, 80 nie jest podobny do danego trójkąta.\n* **C. √2, √3, √4:** Długości boków są wyrażone pierwiastkami z liczb, a nie liczbami całkowitymi. Ponadto, stosunek długości boków nie jest równy 2/5, 3/5, 4/5.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Dany jest trójkąt o bokach długości:
5
2
,
5
3
,
5
4
. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości
A. 10, 15, 20
B. 20, 45, 80
C.
2,
3,
4
D.
5, 2 5, 3 5
K
L
M
3
8

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20; B. 20, 45, 80; C. √2, √3, √4; D. √5, 2√5, 3√5.

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty
\n

podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa
trójkątów (7.3).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie współczynnika podobieństwa

\n

Krok 1: Zauważamy, że boki trójkąta wyjściowego mają wspólny czynnik.

\n

Boki: \\(2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5},\\ 4\\sqrt{5}\\).

\n

Każdy bok jest postaci \\(k\\sqrt{5}\\), więc możemy wyciągnąć \\(\\sqrt{5}\\) przed nawias:
\\[\\sqrt{5} \\cdot 2,\\quad \\sqrt{5} \\cdot 3,\\quad \\sqrt{5} \\cdot 4\\]

\n

Stosunek boków (po uproszczeniu) wynosi:
\\[2 : 3 : 4\\]

\n

Krok 2: Trójkąty podobne mają boki proporcjonalne - muszą być w tym samym stosunku \\(2 : 3 : 4\\).

\n

Szukamy odpowiedzi, w której boki dają stosunek \\(2 : 3 : 4\\).

\n

Sprawdzamy odpowiedź A: \\(10,\\ 15,\\ 20\\)
\\[\\frac{10}{2} = 5,\\quad \\frac{15}{3} = 5,\\quad \\frac{20}{4} = 5\\]

\n

Każdy bok jest \\(5\\) razy większy niż odpowiadający bok w stosunku \\(2:3:4\\). Współczynnik podobieństwa \\(k = 5\\).

\n

Trójkąt A jest podobny do danego. ✓

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie porównanie z trójkątem wyjściowym

\n

Boki wyjściowe: \\(2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5},\\ 4\\sqrt{5}\\).

\n

Szukamy liczby \\(k > 0\\) takiej, że po pomnożeniu każdego boku przez \\(k\\) dostaniemy boki z jednej z odpowiedzi.

\n

Spróbujmy dla odpowiedzi A: \\(10,\\ 15,\\ 20\\).

\n

Sprawdzamy ilorazy:
\\[\\frac{10}{2\\sqrt{5}} = \\frac{10}{2\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\frac{5\\sqrt{5}}{5} = \\sqrt{5}\\]
\\[\\frac{15}{3\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]
\\[\\frac{20}{4\\sqrt{5}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]

\n

Wszystkie ilorazy są równe \\(\\sqrt{5}\\), czyli współczynnik podobieństwa \\(k = \\sqrt{5}\\). Trójkąt A jest podobny. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja podobieństwa trójkątów: dwa trójkąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są proporcjonalne (w stałym stosunku \\(k\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Boki | Sprawdzenie stosunku | Błąd |
| B | \\(20,\\ 45,\\ 80\\) | \\(\\frac{20}{2}=10,\\ \\frac{45}{3}=15,\\ \\frac{80}{4}=20\\) - ilorazy różne | Boki mają stosunek \\(20:45:80 = 4:9:16\\), nie \\(2:3:4\\); uczeń mógł pomylić podobieństwo z potęgowaniem boków (\\(2^2 : 3^2 : 4^2\\)) |
| C | \\(\\sqrt{2},\\ \\sqrt{3},\\ \\sqrt{4}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{3}}{3},\\ \\frac{\\sqrt{4}}{4}\\) - ilorazy różne | Boki \\(\\sqrt{2}:\\sqrt{3}:\\sqrt{4} \\neq 2:3:4\\); podobna "forma" z pierwiastkami myląco sugeruje podobieństwo |
| D | \\(\\sqrt{5},\\ 2\\sqrt{5},\\ 3\\sqrt{5}\\) | Stosunek \\(1:2:3\\), a wymagany \\(2:3:4\\) - różne | Boki wyglądają podobnie (też mają \\(\\sqrt{5}\\)), ale stosunek jest inny; uczeń może nie sprawdzić dokładnie proporcji |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Podobieństwo to proporcjonalność wszystkich trzech boków jednocześnie - nie wystarczy, że jeden lub dwa boki pasują do proporcji. Zawsze sprawdzaj wszystkie ilorazy.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B (\\(20, 45, 80\\)) kusi, bo wygląda jak "pomnożone przez większą liczbę". W rzeczywistości \\(4:9:16 = 2^2:3^2:4^2\\) - to efekt kwadratowania boków, nie skalowania. Taki trójkąt nie jest podobny.
\n
⚠️ Uwaga: Aby uprościć obliczenia, zawsze wyciągaj wspólny czynnik z boków i sprowadzaj do najprostszego stosunku (tu: \\(2:3:4\\)). Potem szukasz odpowiedzi dającej ten sam stosunek.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Stosunki boków
\n

Boki danego trójkąta są w stosunku \\(2:3:4\\) (współczynnik \\(\\sqrt{5}\\) jest wspólny i skraca się).
Sprawdzamy każdą odpowiedź:

\n\n

Tylko A ma ten sam stosunek boków (skala \\(k = \\tfrac{10}{2\\sqrt{5}} = \\tfrac{\\sqrt{5}}{1}\\cdot\\tfrac{1}{1} = \\sqrt{5}\\) - każdy bok pomnożony przez \\(\\sqrt{5}\\)).

\n
Sposób 2 - Cecha podobieństwa BBB
\n

Dwa trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne (cecha bok-bok-bok). Wystarczy sprawdzić, czy \\(\\tfrac{a'}{a} = \\tfrac{b'}{b} = \\tfrac{c'}{c}\\).

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów
\n

Ten trójkąt jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Podobieństwo trójkątów oznacza, że odpowiadające sobie kąty są równe, a stosunek długości boków jest stały. Zatem możemy zapisać:

\n\n

Rozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:

\n\n

Zatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.

\n

📖 Karta wzorów: \\[Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\\] , strona 4

\n
Sposób 2: Użycie proporcji i wzoru na pole trójkąta
\n

Zauważamy, że trójkąt o bokach 2, 5, 4,5 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Zatem stosunek długości boków jest równy:

\n

2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)
3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)
4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)

\n

Rozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:

\n\n

Zatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.

\n

📖 Karta wzorów: \\[Pole trójk: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\\] , strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}