Zadanie 16. (0-1)
Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są
oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek
111
α
β
° . Wynika stąd, że
A.
74
α =
°
B.
76
α =
°
C.
70
α =
°
D.
72
α =
°
Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że A. α = 74°; B. α = 76°; C. α = 70°; D. α = 72°.
Zadanie 16. (0-1)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
między kątem środkowym i kątem wpisanym
(7.1).
Wersja
I
Wersja
II
A
B
Kluczowe spostrzeżenie: Oba kąty opierają się na tym samym łuku \\(KL\\).
\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku:
\n\\[\\alpha = 2\\beta\\]
\n(Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.)
\nPodstawiamy do warunku z zadania:
\n\\[\\alpha + \\beta = 111^\\circ\\]
\\[2\\beta + \\beta = 111^\\circ\\]
\\[3\\beta = 111^\\circ\\]
\\[\\beta = 37^\\circ\\]
Wyznaczamy \\(\\alpha\\):
\n\\[\\alpha = 2\\beta = 2 \\cdot 37^\\circ = \\boxed{74^\\circ}\\]
\nSprawdzamy, czy odpowiedź \\(\\alpha = 74^\\circ\\) jest spójna z warunkiem zadania.
\nJeśli \\(\\alpha = 74^\\circ\\), to z zależności \\(\\alpha = 2\\beta\\):
\n\\[\\beta = \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{74^\\circ}{2} = 37^\\circ\\]
\nSprawdzamy warunek:
\n\\[\\alpha + \\beta = 74^\\circ + 37^\\circ = 111^\\circ \\checkmark\\]
\nWarunek jest spełniony - odpowiedź A jest poprawna.
\nDział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:
\nKąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n
Oznacza to:
\\[\\angle\\text{środkowy} = 2 \\cdot \\angle\\text{wpisany}\\]
To jest najważniejszy wzór użyty w tym zadaniu. Znajdziesz go w sekcji o kole, przy opisie kątów wpisanych.
\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Przyjęto \\(\\beta = 2\\alpha\\) (zamiana ról kąta środkowego i wpisanego). Wtedy \\(\\alpha + 2\\alpha = 111^\\circ\\), \\(\\alpha = 37^\\circ\\) - to jest \\(\\beta\\), nie \\(\\alpha\\) |
| C | Błędnie założono \\(\\alpha = \\beta\\) (kąty równe), wtedy \\(2\\alpha = 111^\\circ\\), \\(\\alpha = 55{,}5^\\circ\\) - nie wychodzi okrągła liczba, więc uczeń "zaokrągla" do 70° |
| D | Podobny błąd jak w C - zgadywanie zamiast stosowania twierdzenia. Różnica \\(\\alpha - \\beta = 2 \\cdot 37° - 37° = 37°\\), nie 35° |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zamiana: kąt wpisany = 2 × środkowy (odwrotnie). Zapamiętaj: środkowy jest WIĘKSZY, bo bliżej centrum.\n
⚠️ Uwaga: Twierdzenie działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na tym samym łuku i wierzchołek kąta wpisanego leży po tej samej stronie cięciwy co środek - sprawdź rysunek w zadaniu!\n
⚠️ Uwaga: \\(\\alpha + \\beta = 111^\\circ\\) to nie jest suma kątów trójkąta ani inna standardowa zależność - nie stosuj tu wzorów z trójkąta. Jedyna zależność to \\(\\alpha = 2\\beta\\) z twierdzenia o kącie środkowym.\n
Poprawna odpowiedź: A
\nKąt \\(\\alpha = \\angle KSL\\) to kąt środkowy oparty na łuku \\(KL\\).
Kąt \\(\\beta = \\angle KML\\) to kąt wpisany oparty na tym samym łuku.
Twierdzenie (karta wzorów, Planimetria): kąt środkowy = 2 × kąt wpisany oparty na tym samym łuku:
\\[\\alpha = 2\\beta.\\]
Podstawiamy do warunku \\(\\alpha + \\beta = 111^\\circ\\):
\\[2\\beta + \\beta = 111^\\circ \\Rightarrow 3\\beta = 111^\\circ \\Rightarrow \\beta = 37^\\circ\\]
\\[\\alpha = 2\\cdot 37^\\circ = 74^\\circ.\\]
Z zależności \\(\\alpha = 2\\beta\\) mamy \\(\\alpha + \\tfrac{\\alpha}{2} = 111^\\circ\\), czyli \\(\\tfrac{3\\alpha}{2} = 111^\\circ\\), stąd \\(\\alpha = 74^\\circ\\).
\nKluczowa zasada: kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego.
\nPoprawna odpowiedź: A
\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Relacja między kątami wpisanymi i środkowymi)
\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Relacja między kątami wpisanych i środkowymi)
\nW obu sposobach, kąt środkowy oparty na łuku KL ma miarę 111 stopni, a kąty wpisane KSL i KML mają miary 55.5 stopni każda. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ miary kątów wpisanych i środkowych są równoważne.
"}]}