Zadanie 17. (0-1)
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL
a
, MN
b
,
a > b . Kąt KLM ma miarę
°
60 . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
A.
b
a -
B.
(
)
b
a -
2
C.
b
a
2
1
D.
2
b
a +
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b. Kąt KLM ma miarę 60°. Długość ramienia LM tego trapezu jest równa A. a-b; B. 2(a-b); C. a + 1/2b; D. a+b/2.
Zadanie 17. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.
funkcji trygonometrycznych w łatwych
obliczeniach geometrycznych (7.4).
Wersja
I
Wersja
II
B
D
Rysunek sytuacyjny. Trapez prostokątny KLMN: podstawa \\(KL = a\\) (dolna), \\(MN = b\\) (górna), kąt prosty przy \\(N\\) (ramię \\(KN \\perp KL\\)). Szukamy długości ramienia \\(LM\\).
\nKrok 1 - opuszczamy prostopadłą z M na KL.
\nNiech \\(P\\) będzie stopą prostopadłej z \\(M\\) na prostą \\(KL\\). Ponieważ \\(MN \\parallel KL\\) i \\(|MN| = b\\), punkt \\(P\\) leży między \\(K\\) a \\(L\\), w odległości \\(b\\) od \\(K\\). Stąd:
\n\\[|LP| = |KL| - |KP| = a - b\\]
\nKrok 2 - kąt w trójkącie prostokątnym LPM.
\nTrójkąt \\(LPM\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(P\\), bo \\(MP \\perp KL\\)). Kąt przy \\(L\\) to właśnie \\(\\angle KLM = 60°\\) (K, P, L są współliniowe - P leży między K a L, więc kierunek do P i do K jest ten sam).
\n\\[
\\cos 60° = \\frac{|LP|}{|LM|} = \\frac{a-b}{|LM|}
\\]
Krok 3 - wyznaczamy \\(|LM|\\).
\n\\[
\\frac{1}{2} = \\frac{a-b}{|LM|}
\\]
\\[
\\boxed{|LM| = 2(a-b)}
\\]
Sprawdzamy spójność: wyznaczamy wysokość \\(h\\) i kontrolujemy, czy układ jest geometrycznie poprawny.
\nZ trójkąta prostokątnego \\(LPM\\), kąt przy \\(P = 90°\\), kąt przy \\(L = 60°\\):
\n\\[
h = |MP| = |LM| \\cdot \\sin 60° = 2(a-b) \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = (a-b)\\sqrt{3}
\\]
Sprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa:
\n\\[
|LM|^2 = |LP|^2 + |MP|^2 = (a-b)^2 + 3(a-b)^2 = 4(a-b)^2
\\]
\\[
|LM| = 2(a-b) \\checkmark
\\]
Wynik zgodny - odpowiedź B jest poprawna.
\nDział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:
\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
\nW naszym przypadku: \\(\\cos 60° = \\frac{a-b}{|LM|}\\), co dało nam \\(|LM| = \\frac{a-b}{\\cos 60°} = \\frac{a-b}{\\frac{1}{2}} = 2(a-b)\\).
\nTablica wartości (s. 14): \\(\\cos 60° = \\dfrac{1}{2}\\) - wartość kluczowa w tym zadaniu.
\n| Odp. | Typowy błąd |
| A | \\(a - b\\) - policzono \\(\\|LP\\|\\) (rzut na podstawę), ale zapomniano podzielić przez \\(\\cos 60°\\); wzięto rzut zamiast ramienia |
| C | \\(a + \\frac{1}{2}b\\) - błędne dodawanie zamiast odejmowania; mylenie długości podstaw |
| D | \\(\\frac{a+b}{2}\\) - stosowanie wzoru na medianę trapezu zamiast trygonometrii; mediana trapezu nie ma tu związku z \\(|LM|\\) |
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\angle KLM = 60°\\) to kąt między podstawą a ramieniem, nie kąt wewnętrzny trapezu przy górnej podstawie! W trapezach prostokątnych łatwo się pomylić, który kąt jest "przy której podstawie".\n
⚠️ Uwaga: W trapezach prostokątnych kąty przy dłuższej podstawie sumują się z kątami przy krótszej do \\(180°\\) po każdej stronie - przy nodze prostopadłej (tu \\(KN\\)) mamy \\(90°\\), a kąt \\(\\angle KLM = 60°\\), więc kąt \\(\\angle NML = 180° - 60° = 120°\\). Nie mylić tych kątów.\n
⚠️ Uwaga: \\(\\cos 60° = \\dfrac{1}{2}\\), a nie \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)! Ten błąd (zamiana \\(\\sin 60°\\) z \\(\\cos 60°\\)) jest jednym z najczęstszych na maturze - dałby \\(|LM| = \\dfrac{2(a-b)}{\\sqrt{3}}\\), czyli odpowiedź spoza listy.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nW trapezie prostokątnym KLMN ramię NK jest prostopadłe do podstaw KL i MN. Rzutuję M na KL, oznaczam rzut jako \\(P\\). Wtedy:
\nTrójkąt \\(MPL\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(P\\)), z kątem \\(60^\\circ\\) przy \\(L\\).
\\[\\cos 60^\\circ = \\tfrac{|PL|}{|ML|} \\Rightarrow \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{a-b}{|ML|} \\Rightarrow |ML| = 2(a-b).\\]
W trójkącie \\(MPL\\) kąty to \\(90^\\circ\\), \\(60^\\circ\\), \\(30^\\circ\\). Stosunek boków:
\nPoprawna odpowiedź: B
\n\\[ \\frac{LM}{\\sin(\\angle KLM)} = \\frac{KL}{\\sin(\\angle LMN)} \\]
Zatem:
\\[ \\frac{b}{\\sin(60^\\circ)} = \\frac{a}{\\sin(\\angle LMN)} \\]
\\[ \\sin(\\angle LMN) = \\frac{a \\cdot \\sin(60^\\circ)}{b} = \\frac{a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}}{b} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2b} \\]
\\[ \\angle LMN = \\arcsin\\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2b}\\right) \\]
\n\\[ \\angle KMN = 180^\\circ - 60^\\circ - \\arcsin\\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2b}\\right) \\]
\nPonieważ trapez jest prostokątny, \\( \\angle K = 90^\\circ \\). Zatem \\( \\angle KLM = 60^\\circ \\) i \\( \\angle LMN = 30^\\circ \\).
Wtedy \\( \\sin(\\angle LMN) = \\sin(30^\\circ) = \\frac{1}{2} \\).
Zatem:
\\[ \\frac{a}{\\sin(30^\\circ)} = \\frac{b}{\\sin(60^\\circ)} \\]
\\[ \\frac{a}{1/2} = \\frac{b}{\\sqrt{3}/2} \\]
\\[ 2a = \\frac{2b}{\\sqrt{3}} \\]
\\[ a = \\frac{b}{\\sqrt{3}} \\]
\\[ a \\approx 0.577b \\]
Z treści zadania \\( a > b \\), więc to się zgadza.
📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15
\n\\[ LM^2 = KL^2 + KM^2 \\]
\\[ b^2 = a^2 + KM^2 \\]
\\[ KM^2 = b^2 - a^2 \\]
\\[ KM = \\sqrt{b^2 - a^2} \\]
\\[ P = \\frac{1}{2}(KL + MN) \\cdot KM \\]
\\[ P = \\frac{1}{2}(a + b) \\cdot \\sqrt{b^2 - a^2} \\]
\\[ P = \\frac{1}{2}(a + b) \\cdot \\sqrt{b^2 - a^2} \\]
\n📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15
\n