{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPunkt\n(\n)\n2, 2\nK =\njest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM\nLM\nOdcinek MN jest wysokością trójkąta i\n(\n)\n4, 3\nN =\n. Zatem\nA.\n(\n)\n5, 3\nL =\nB.\n(\n)\n6, 4\nL =\nC.\n(\n)\n3, 5\nL =\nD.\n(\n)\n4, 6\nL =\nPunkt K=(2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM|=|LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N=(4,3). Zatem A. L=(5,3); B. L=(6,4); C. L=(3,5); D. L=(4,6).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.5).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(L = (6, 4)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka (własność trójkąta równoramiennego)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W trójkącie \\(KLM\\) mamy \\(|KM| = |LM|\\), czyli ramiona wychodzą z \\(M\\). Podstawą trójkąta jest odcinek \\(KL\\). Punkt \\(N\\) to stopa wysokości opuszczonej z \\(M\\) na podstawę \\(KL\\).\n\n**Dlaczego \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\)?** Wysokość z wierzchołka \\(M\\) w trójkącie równoramiennym pada prostopadle na podstawę i **bisekuje ją** - to klasyczna własność symetrii. Zatem:\n\n\\[N = \\text{środek } KL \\implies N = \\left(\\frac{x_K + x_L}{2},\\ \\frac{y_K + y_L}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(K = (2, 2)\\) i \\(N = (4, 3)\\):\n\n\\[\\frac{2 + x_L}{2} = 4 \\implies x_L = 6\\]\n\n\\[\\frac{2 + y_L}{2} = 3 \\implies y_L = 4\\]\n\n**Zatem \\(L = (6, 4)\\).**\n\n## Sposób 2 - Odbicie punktu \\(K\\) względem \\(N\\)\n\nSkoro \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\), to \\(L\\) jest **symetrycznym obrazem \\(K\\) względem \\(N\\)**. Wektor przesunięcia z \\(K\\) do \\(N\\):\n\n\\[\\vec{KN} = [4-2,\\ 3-2] = [2,\\ 1]\\]\n\nPunkt \\(L\\) leży dokładnie tyle samo „dalej\" za \\(N\\):\n\n\\[L = N + \\vec{KN} = (4+2,\\ 3+1) = (6,\\ 4)\\]\n\n**Weryfikacja:** Środek odcinka \\(KL\\):\n\\[\\left(\\frac{2+6}{2},\\ \\frac{2+4}{2}\\right) = (4,\\ 3) = N\\ \\checkmark\\]\n\nWysokość \\(MN\\) jest prostopadła do \\(KL\\). Kierunek \\(KL\\): \\([4, 2]\\), nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\). Nachylenie \\(MN\\) musi być \\(-2\\). To jest spełnione dla dowolnego punktu \\(M\\) na prostej \\(y = -2x + 11\\) przechodzącej przez \\(N\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - wiedząc, że \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\), wyznaczamy \\(L\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((5,3)\\) | Błędne zastosowanie wzoru na środek: np. \\(x_L = N_x + \\frac{N_x - K_x}{2} = 4 + 1 = 5\\) zamiast \\(2N_x - K_x = 6\\). Uczeń dodaje tylko połowę odległości zamiast całej. |\n| **C** \\((3,5)\\) | Zamiana osi - obliczono prawidłowo, ale zamieniono współrzędne \\(x\\) i \\(y\\) miejscami: \\((6, 4) \\to (4, 6)\\) albo błędna interpretacja, że \\(K\\) odbijamy względem punktu z zamienionymi składowymi. |\n| **D** \\((4,6)\\) | Zamiana składowych wektora przesunięcia: uczeń liczy \\(\\vec{KN} = [2, 1]\\), ale stosuje go jako \\([1, 2]\\), więc \\(L = (4+0, 2+4) = (4, 6)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które boki są równe - tu \\(|KM| = |LM|\\), więc to \\(M\\) jest wierzchołkiem między ramionami, a podstawą jest \\(KL\\). Gdyby zamiast tego \\(|KL| = |KM|\\), sytuacja byłaby zupełnie inna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek odcinka rozwiązujemy w odwrotnym kierunku - znamy środek \\(N\\) i jeden koniec \\(K\\), szukamy drugiego końca \\(L\\). Tu używamy: \\(x_L = 2x_N - x_K\\), nie \\(x_N = \\frac{x_K + x_L}{2}\\) (choć to ten sam wzór, tylko przestawiony).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość w trójkącie równoramiennym bisekuje podstawę tylko gdy wysokość jest opuszczona z wierzchołka między ramionami (tu \\(M\\)). Nie należy tej własności stosować do innych wierzchołków.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wysokość = środkowa w trójkącie równoramiennym\nW trójkącie równoramiennym z \\(|KM| = |LM|\\) wysokość z wierzchołka \\(M\\) jest równocześnie **środkową** do boku \\(KL\\). Zatem \\(N\\) jest środkiem odcinka \\(KL\\):\n\\[N = \\left(\\tfrac{x_K+x_L}{2}, \\tfrac{y_K+y_L}{2}\\right).\\]\nPodstawiamy:\n\\[\\tfrac{2+x_L}{2} = 4 \\Rightarrow x_L = 6\\]\n\\[\\tfrac{2+y_L}{2} = 3 \\Rightarrow y_L = 4\\]\nStąd \\(L = (6, 4)\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor KN i jego podwojenie\n\\(L\\) jest symetryczny do \\(K\\) względem \\(N\\). Wektor \\(\\vec{KN} = N - K = (4-2, 3-2) = (2, 1)\\).\n\\(L = N + \\vec{KN} = (4+2, 3+1) = (6, 4)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((5,3)\\)** - ktoś dodał tylko różnicę \\(x\\)-ową, zapomniał podwoić.\n- **C. \\((3,5)\\)** - zamiana współrzędnych \\(x\\) i \\(y\\).\n- **D. \\((4,6)\\)** - ktoś podstawił \\(N\\) jako \\(L\\) lub zamienił osie.\n\n**Kluczowe:** w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka symetrii jest też osią symetrii, środkową i dwusieczną - wszystko naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie Twierdzenia o Występnym Wzroście i Twierdzenia Pitagorowego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trójkąt równoramienny KLM, gdzie KM = LM. MN jest wysokością opuszczoną z wierzchołka M na podstawę KL. Wiemy, że KM = LM i |KM| = |LM| = 6. Mamy również współrzędne punktu N (4, 3).\n\n2. **Znalezienie współrzędnych punktu L:** Ponieważ MN jest wysokością, to MN jest prostopadła do KL. Punkt N dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Ponieważ |KM| = 6, a K = (2, 2) i N = (4, 3), obliczmy długość KN:\n\\[KN = \\sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \\sqrt{2^2 + 1^2} = \\sqrt{5}\\]\nZatem |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Ponieważ L leży na prostej KL, a N jest punktem na KL, to współrzędne L są takie, że |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).\n\n3. **Zastosowanie Twierdzenia o Występnym Wzroście:** Ponieważ MN jest wysokością trójkąta równoramiennego, to MN dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Zatem, |KN| = \\(\\sqrt{5}\\) i |LN| = \\(\\sqrt{5}\\).\n\n4. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorowego:** W trójkącie MKL, MN jest wysokością, a KL jest podstawą. Możemy obliczyć długość KM:\n\\[KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 * KL * LM * cos(\\angle KLM)\\]\nPonieważ KM = LM, to:\n\\[KM^2 = KL^2 + KM^2 - 2 * KL * KM * cos(\\angle KLM)\\]\n\\[0 = KL^2 - 2 * KL * KM * cos(\\angle KLM)\\]\n\\[2 * KL * KM * cos(\\angle KLM) = KL^2\\]\n\\[cos(\\angle KLM) = \\frac{2 * KL}{KL * KM} = \\frac{2}{KM}\\]\n\n5. **Wzory z karty wzorów:**\n* Twierdzenie Pitagorowe: \\(a² + b² = c²\\), strona 15\n* Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie Odległości i Współrzędnych\n\n1. **Znalezienie współrzędnych punktu L:** Znamy współrzędne K(2, 2) i N(4, 3). Wiemy, że |KN| = \\(\\sqrt{5}\\). Ponieważ KL jest podstawą trójkąta równoramiennego, a N jest jej środkiem, to współrzędne L będą takie, że |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).\n\n2. **Sprawdzenie warunków trójkąta równoramiennego:** Sprawdźmy, czy trójkąt KLM jest równoramienny, tzn. czy KM = LM. Obliczamy odległości KM i LM:\n\\[KM = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\\[LM = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\nZatem KM = LM, co potwierdza, że trójkąt KLM jest trójkątem równoramiennym.\n\n3. **Wzory z karty wzorów:**\n* Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. L = (5, 3):** Sprawdźmy, czy |KN| = \\(\\sqrt{(5-2)^2 + (3-2)^2} = \\sqrt{3^2 + 1^2} = \\sqrt{10}\\), co nie jest równe \\(\\sqrt{5}\\).\n* **C. L = (3, 5):** Sprawdźmy, czy |KN| = \\(\\sqrt{(3-2)^2 + (5-2)^2} = \\sqrt{1^2 + 3^2} = \\sqrt{10}\\), co nie jest równe \\(\\sqrt{5}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Punkt
(
)
2, 2
K =
jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM
LM
Odcinek MN jest wysokością trójkąta i
(
)
4, 3
N =
. Zatem
A.
(
)
5, 3
L =
B.
(
)
6, 4
L =
C.
(
)
3, 5
L =
D.
(
)
4, 6
L =
Punkt K=(2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM|=|LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N=(4,3). Zatem A. L=(5,3); B. L=(6,4); C. L=(3,5); D. L=(4,6).

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający wyznacza współrzędne środka
odcinka (8.5).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\(L = (6, 4)\\)

\n

Sposób 1 - Środek odcinka (własność trójkąta równoramiennego)

\n

Kluczowe spostrzeżenie: W trójkącie \\(KLM\\) mamy \\(|KM| = |LM|\\), czyli ramiona wychodzą z \\(M\\). Podstawą trójkąta jest odcinek \\(KL\\). Punkt \\(N\\) to stopa wysokości opuszczonej z \\(M\\) na podstawę \\(KL\\).

\n

Dlaczego \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\)? Wysokość z wierzchołka \\(M\\) w trójkącie równoramiennym pada prostopadle na podstawę i bisekuje ją - to klasyczna własność symetrii. Zatem:

\n

\\[N = \\text{środek } KL \\implies N = \\left(\\frac{x_K + x_L}{2},\\ \\frac{y_K + y_L}{2}\\right)\\]

\n

Podstawiamy \\(K = (2, 2)\\) i \\(N = (4, 3)\\):

\n

\\[\\frac{2 + x_L}{2} = 4 \\implies x_L = 6\\]

\n

\\[\\frac{2 + y_L}{2} = 3 \\implies y_L = 4\\]

\n

Zatem \\(L = (6, 4)\\).

\n

Sposób 2 - Odbicie punktu \\(K\\) względem \\(N\\)

\n

Skoro \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\), to \\(L\\) jest symetrycznym obrazem \\(K\\) względem \\(N\\). Wektor przesunięcia z \\(K\\) do \\(N\\):

\n

\\[\\vec{KN} = [4-2,\\ 3-2] = [2,\\ 1]\\]

\n

Punkt \\(L\\) leży dokładnie tyle samo „dalej" za \\(N\\):

\n

\\[L = N + \\vec{KN} = (4+2,\\ 3+1) = (6,\\ 4)\\]

\n

Weryfikacja: Środek odcinka \\(KL\\):
\\[\\left(\\frac{2+6}{2},\\ \\frac{2+4}{2}\\right) = (4,\\ 3) = N\\ \\checkmark\\]

\n

Wysokość \\(MN\\) jest prostopadła do \\(KL\\). Kierunek \\(KL\\): \\([4, 2]\\), nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\). Nachylenie \\(MN\\) musi być \\(-2\\). To jest spełnione dla dowolnego punktu \\(M\\) na prostej \\(y = -2x + 11\\) przechodzącej przez \\(N\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - wiedząc, że \\(N\\) jest środkiem \\(KL\\), wyznaczamy \\(L\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \\((5,3)\\) | Błędne zastosowanie wzoru na środek: np. \\(x_L = N_x + \\frac{N_x - K_x}{2} = 4 + 1 = 5\\) zamiast \\(2N_x - K_x = 6\\). Uczeń dodaje tylko połowę odległości zamiast całej. |
| C \\((3,5)\\) | Zamiana osi - obliczono prawidłowo, ale zamieniono współrzędne \\(x\\) i \\(y\\) miejscami: \\((6, 4) \\to (4, 6)\\) albo błędna interpretacja, że \\(K\\) odbijamy względem punktu z zamienionymi składowymi. |
| D \\((4,6)\\) | Zamiana składowych wektora przesunięcia: uczeń liczy \\(\\vec{KN} = [2, 1]\\), ale stosuje go jako \\([1, 2]\\), więc \\(L = (4+0, 2+4) = (4, 6)\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, które boki są równe - tu \\(|KM| = |LM|\\), więc to \\(M\\) jest wierzchołkiem między ramionami, a podstawą jest \\(KL\\). Gdyby zamiast tego \\(|KL| = |KM|\\), sytuacja byłaby zupełnie inna.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór na środek odcinka rozwiązujemy w odwrotnym kierunku - znamy środek \\(N\\) i jeden koniec \\(K\\), szukamy drugiego końca \\(L\\). Tu używamy: \\(x_L = 2x_N - x_K\\), nie \\(x_N = \\frac{x_K + x_L}{2}\\) (choć to ten sam wzór, tylko przestawiony).
\n
⚠️ Uwaga: Wysokość w trójkącie równoramiennym bisekuje podstawę tylko gdy wysokość jest opuszczona z wierzchołka między ramionami (tu \\(M\\)). Nie należy tej własności stosować do innych wierzchołków.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wysokość = środkowa w trójkącie równoramiennym
\n

W trójkącie równoramiennym z \\(|KM| = |LM|\\) wysokość z wierzchołka \\(M\\) jest równocześnie środkową do boku \\(KL\\). Zatem \\(N\\) jest środkiem odcinka \\(KL\\):
\\[N = \\left(\\tfrac{x_K+x_L}{2}, \\tfrac{y_K+y_L}{2}\\right).\\]
Podstawiamy:
\\[\\tfrac{2+x_L}{2} = 4 \\Rightarrow x_L = 6\\]
\\[\\tfrac{2+y_L}{2} = 3 \\Rightarrow y_L = 4\\]
Stąd \\(L = (6, 4)\\).

\n
Sposób 2 - Wektor KN i jego podwojenie
\n

\\(L\\) jest symetryczny do \\(K\\) względem \\(N\\). Wektor \\(\\vec{KN} = N - K = (4-2, 3-2) = (2, 1)\\).
\\(L = N + \\vec{KN} = (4+2, 3+1) = (6, 4)\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka symetrii jest też osią symetrii, środkową i dwusieczną - wszystko naraz.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Użycie Twierdzenia o Występnym Wzroście i Twierdzenia Pitagorowego
\n
  1. Zrozumienie zadania: Mamy trójkąt równoramienny KLM, gdzie KM = LM. MN jest wysokością opuszczoną z wierzchołka M na podstawę KL. Wiemy, że KM = LM i |KM| = |LM| = 6. Mamy również współrzędne punktu N (4, 3).
\n
  1. Znalezienie współrzędnych punktu L: Ponieważ MN jest wysokością, to MN jest prostopadła do KL. Punkt N dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Ponieważ |KM| = 6, a K = (2, 2) i N = (4, 3), obliczmy długość KN:
\n

\\[KN = \\sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \\sqrt{2^2 + 1^2} = \\sqrt{5}\\]
Zatem |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Ponieważ L leży na prostej KL, a N jest punktem na KL, to współrzędne L są takie, że |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).

\n
  1. Zastosowanie Twierdzenia o Występnym Wzroście: Ponieważ MN jest wysokością trójkąta równoramiennego, to MN dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Zatem, |KN| = \\(\\sqrt{5}\\) i |LN| = \\(\\sqrt{5}\\).
\n
  1. Zastosowanie Twierdzenia Pitagorowego: W trójkącie MKL, MN jest wysokością, a KL jest podstawą. Możemy obliczyć długość KM:
\n

\\[KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 * KL * LM * cos(\\angle KLM)\\]
Ponieważ KM = LM, to:
\\[KM^2 = KL^2 + KM^2 - 2 * KL * KM * cos(\\angle KLM)\\]
\\[0 = KL^2 - 2 * KL * KM * cos(\\angle KLM)\\]
\\[2 * KL * KM * cos(\\angle KLM) = KL^2\\]
\\[cos(\\angle KLM) = \\frac{2 * KL}{KL * KM} = \\frac{2}{KM}\\]

\n
  1. Wzory z karty wzorów:
\n\n
Sposób 2: Wykorzystanie Odległości i Współrzędnych
\n
  1. Znalezienie współrzędnych punktu L: Znamy współrzędne K(2, 2) i N(4, 3). Wiemy, że |KN| = \\(\\sqrt{5}\\). Ponieważ KL jest podstawą trójkąta równoramiennego, a N jest jej środkiem, to współrzędne L będą takie, że |LN| = \\(\\sqrt{5}\\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).
\n
  1. Sprawdzenie warunków trójkąta równoramiennego: Sprawdźmy, czy trójkąt KLM jest równoramienny, tzn. czy KM = LM. Obliczamy odległości KM i LM:
\n

\\[KM = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]
\\[LM = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16+4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]
Zatem KM = LM, co potwierdza, że trójkąt KLM jest trójkątem równoramiennym.

\n
  1. Wzory z karty wzorów:
\n\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}