{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\n3\ny\nm\nx\n+ oraz\n(\n)\n2\n1\n3\ny\nm\nx\n- są równoległe, gdy\nA.\n2\nm =\nB.\n3\nm =\nC.\n0\nm =\nD.\n1\nm =\nS\nK\nL\nM\nL\nK\nM\nN\na\nb\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nProste o równaniach y = (m+2)x + 3 oraz y = (2m-1)x-3 są równoległe, gdy A. m=2; B. m=3; C. m=0; D. m=1.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (m = 3)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)\n\nDwie proste w postaci \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nWspółczynniki kierunkowe obu prostych:\n- Prosta 1: \\(y = (m+2)x + 3\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_1 = m+2\\)\n- Prosta 2: \\(y = (2m-1)x - 3\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_2 = 2m-1\\)\n\n**Warunek równoległości:**\n\\[a_1 = a_2\\]\n\\[m + 2 = 2m - 1\\]\n\\[2 + 1 = 2m - m\\]\n\\[3 = m\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame to nie równoległe!):\n\nDla \\(m = 3\\): wyraz wolny pierwszej prostej to \\(3\\), drugiej to \\(-3\\). Ponieważ \\(3 \\neq -3\\), proste są **równoległe, ale nie tożsame**. ✓\n\n**Odpowiedź: \\(m = 3\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem\n\nDla \\(m = 3\\) obie proste mają postać:\n\\[y = (3+2)x + 3 = 5x + 3\\]\n\\[y = (2\\cdot3-1)x - 3 = 5x - 3\\]\n\nObie mają współczynnik kierunkowy \\(5\\), ale różne wyrazy wolne (\\(3\\) i \\(-3\\)).\n\nDla pewności sprawdzamy, że przy żadnej innej odpowiedzi warunek nie jest spełniony:\n\n| \\(m\\) | \\(a_1 = m+2\\) | \\(a_2 = 2m-1\\) | Równoległe? |\n| \\(m=2\\) | \\(4\\) | \\(3\\) | ✗ |\n| **\\(m=3\\)** | **\\(5\\)** | **\\(5\\)** | **✓** |\n| \\(m=0\\) | \\(2\\) | \\(-1\\) | ✗ |\n| \\(m=1\\) | \\(3\\) | \\(1\\) | ✗ |\n\nJedyna poprawna odpowiedź to \\(m = 3\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego warunku, żeby postawić równanie \\(m+2 = 2m-1\\) i go rozwiązać.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(m=2\\)) | Może wynikać z pomylenia wzoru: ktoś przyrównał \\(m\\) z \\(m+2\\) (bez stałej) - błędne ustawienie równania |\n| C (\\(m=0\\)) | Może wynikać z przyrównania wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych: \\(3 + (-3) = 0\\) - ale to nie jest warunek równoległości! |\n| D (\\(m=1\\)) | Może wynikać z błędu rachunkowego: np. \\(m+2 = 2m-1 \\Rightarrow 2 = m-1 \\Rightarrow m = 3\\) zapisano jako \\(m=1\\) przez odejmowanie zamiast dodawania |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste równoległe to NIE to samo co proste tożsame (identyczne). Zawsze sprawdź, czy wyrazy wolne są różne - gdy \\(b_1 = b_2\\) przy równych współczynnikach kierunkowych, proste nakładają się na siebie i nie są równoległe w sensie geometrycznym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić warunek równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległość: \\(a_1 = a_2\\). Prostopadłość: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\). To dwa różne warunki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(m+2 = 2m-1\\) rozwiązuj ostrożnie - przenosząc \\(m\\) na jedną stronę, a liczby na drugą. Częsty błąd: zgubienie znaku przy przeniesieniu \\(-1\\) na lewą stronę.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste \\(y = a_1x + b_1\\) i \\(y = a_2x + b_2\\) są równoległe \\(\\iff a_1 = a_2\\) oraz \\(b_1 \\ne b_2\\) (inaczej to ta sama prosta).\n\\[m + 2 = 2m - 1\\]\n\\[3 = m\\]\nSprawdzamy wyrazy wolne: \\(b_1 = 3\\), \\(b_2 = -3\\) - różne, więc proste są **różne i równoległe** ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie wariantów\nDla każdego \\(m\\) liczymy współczynniki kierunkowe:\n- \\(m=2\\): \\(a_1 = 4\\), \\(a_2 = 3\\) - nie równe.\n- \\(m=3\\): \\(a_1 = 5\\), \\(a_2 = 5\\) ✓\n- \\(m=0\\): \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = -1\\) - nie.\n- \\(m=1\\): \\(a_1 = 3\\), \\(a_2 = 1\\) - nie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=2\\)** - ktoś pomylił równoległość z czymś innym albo źle rozwiązał równanie.\n- **C. \\(m=0\\)** - ktoś przyjął, że wyrazy wolne mają być zerowe lub nic niestosownego.\n- **D. \\(m=1\\)** - typowy błąd rachunkowy: \\(m+2 = 2m-1 \\Rightarrow m = 1\\) zamiast \\(m=3\\).\n\n**Uwaga:** gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby identyczne, nie równoległe. W tym zadaniu \\(3\\ne -3\\), więc warunek rozdzielności jest automatycznie spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Porównanie współczynników pionowych\nAby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x) oraz tę samą wyraz wolny (stałą).\n\n1. **Zapisanie równań w postaci kierunkowej:**\nRównanie prostej y = (m + 2)x + 3 można zapisać jako y = mx + 2x + 3.\nRównanie prostej y = (2m - 1)x - 3 można zapisać jako y = 2mx - x - 3.\n\n2. **Porównanie współczynników pionowych:**\nWspółczynnik pionowy pierwszej prostej to m + 2.\nWspółczynnik pionowy drugiej prostej to 2m - 1.\nDla równoległości, m + 2 = 2m - 1.\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\nm + 2 = 2m - 1\n2 + 1 = 2m - m\n3 = m\n\n4. **Sprawdzenie wyrazu wolnego:**\nWyraz wolny pierwszej prostej to 3.\nWyraz wolny drugiej prostej to -3.\nWspółczynnik pionowy musi być równy, a wyraz wolny musi być równy, aby proste były równoległe. W tym przypadku m=3, więc proste są równoległe.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 1\n\n### Sposób 2: Użycie warunku równoległości\nDwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b jest równy a.\n\n1. **Zapisanie równań w postaci ogólnej:**\ny = (m + 2)x + 3 => y = mx + 2x + 3\ny = (2m - 1)x - 3 => y = 2mx - x - 3\n\n2. **Porównanie współczynników:**\nWspółczynnik przy x w obu równaniach to m+2 oraz 2m-1.\nDla równoległości, m+2 = 2m-1.\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\nm+2 = 2m-1\nm = 3\n\n4. **Weryfikacja:**\nProste są równoległe, gdy m=3.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź sugeruje porównanie wyrazów wolnych, co jest błędne. Równoległe proste muszą mieć ten sam współczynnik pionowy.\n* **C:** Ta odpowiedź używa m=0, co jest nieprawidłowe. Współczynnik pionowy zależy od wartości m.\n* **D:** Ta odpowiedź nie zawiera żadnego uzasadnienia i jest bezsensowna.\n\n**Uwaga:** W tym zadaniu kluczowe jest zrozumienie, że równoległe proste mają ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x). Wyraz wolny może być różny.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Proste o równaniach<br>(<br>)<br>2<br>3<br>y<br>m<br>x</p>\n<ul><li>oraz</li></ul>\n<p>(<br>)<br>2<br>1<br>3<br>y<br>m<br>x</p>\n<ul><li>są równoległe, gdy</li></ul>\n<p>A.<br>2<br>m =<br>B.<br>3<br>m =<br>C.<br>0<br>m =<br>D.<br>1<br>m =<br>S<br>K<br>L<br>M<br>L<br>K<br>M<br>N<br>a<br>b</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Proste o równaniach y = (m+2)x + 3 oraz y = (2m-1)x-3 są równoległe, gdy A. m=2; B. m=3; C. m=0; D. m=1.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający bada równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.2).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (m = 3)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)</h4>\n<p>Dwie proste w postaci \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> i <strong>różne wyrazy wolne</strong>.</p>\n<p>Współczynniki kierunkowe obu prostych:</p>\n<ul><li>Prosta 1: \\(y = (m+2)x + 3\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_1 = m+2\\)</li><li>Prosta 2: \\(y = (2m-1)x - 3\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_2 = 2m-1\\)</li></ul>\n<p><strong>Warunek równoległości:</strong><br>\\[a_1 = a_2\\]<br>\\[m + 2 = 2m - 1\\]<br>\\[2 + 1 = 2m - m\\]<br>\\[3 = m\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame</strong> (bo tożsame to nie równoległe!):</p>\n<p>Dla \\(m = 3\\): wyraz wolny pierwszej prostej to \\(3\\), drugiej to \\(-3\\). Ponieważ \\(3 \\neq -3\\), proste są <strong>równoległe, ale nie tożsame</strong>. ✓</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(m = 3\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem</h4>\n<p>Dla \\(m = 3\\) obie proste mają postać:<br>\\[y = (3+2)x + 3 = 5x + 3\\]<br>\\[y = (2\\cdot3-1)x - 3 = 5x - 3\\]</p>\n<p>Obie mają współczynnik kierunkowy \\(5\\), ale różne wyrazy wolne (\\(3\\) i \\(-3\\)).</p>\n<p>Dla pewności sprawdzamy, że przy żadnej innej odpowiedzi warunek nie jest spełniony:</p>\n<p>| \\(m\\) | \\(a_1 = m+2\\) | \\(a_2 = 2m-1\\) | Równoległe? |<br>| \\(m=2\\) | \\(4\\) | \\(3\\) | ✗ |<br>| <strong>\\(m=3\\)</strong> | <strong>\\(5\\)</strong> | <strong>\\(5\\)</strong> | <strong>✓</strong> |<br>| \\(m=0\\) | \\(2\\) | \\(-1\\) | ✗ |<br>| \\(m=1\\) | \\(3\\) | \\(1\\) | ✗ |</p>\n<p>Jedyna poprawna odpowiedź to \\(m = 3\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:<br>\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego warunku, żeby postawić równanie \\(m+2 = 2m-1\\) i go rozwiązać.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(m=2\\)) | Może wynikać z pomylenia wzoru: ktoś przyrównał \\(m\\) z \\(m+2\\) (bez stałej) - błędne ustawienie równania |<br>| C (\\(m=0\\)) | Może wynikać z przyrównania wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych: \\(3 + (-3) = 0\\) - ale to nie jest warunek równoległości! |<br>| D (\\(m=1\\)) | Może wynikać z błędu rachunkowego: np. \\(m+2 = 2m-1 \\Rightarrow 2 = m-1 \\Rightarrow m = 3\\) zapisano jako \\(m=1\\) przez odejmowanie zamiast dodawania |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proste równoległe to NIE to samo co proste tożsame (identyczne). Zawsze sprawdź, czy wyrazy wolne są różne - gdy \\(b_1 = b_2\\) przy równych współczynnikach kierunkowych, proste nakładają się na siebie i nie są równoległe w sensie geometrycznym.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić warunek równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległość: \\(a_1 = a_2\\). Prostopadłość: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\). To dwa różne warunki!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie \\(m+2 = 2m-1\\) rozwiązuj ostrożnie - przenosząc \\(m\\) na jedną stronę, a liczby na drugą. Częsty błąd: zgubienie znaku przy przeniesieniu \\(-1\\) na lewą stronę.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek równoległości</h5>\n<p>Proste \\(y = a_1x + b_1\\) i \\(y = a_2x + b_2\\) są równoległe \\(\\iff a_1 = a_2\\) oraz \\(b_1 \\ne b_2\\) (inaczej to ta sama prosta).<br>\\[m + 2 = 2m - 1\\]<br>\\[3 = m\\]<br>Sprawdzamy wyrazy wolne: \\(b_1 = 3\\), \\(b_2 = -3\\) - różne, więc proste są <strong>różne i równoległe</strong> ✓.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzanie wariantów</h5>\n<p>Dla każdego \\(m\\) liczymy współczynniki kierunkowe:</p>\n<ul><li>\\(m=2\\): \\(a_1 = 4\\), \\(a_2 = 3\\) - nie równe.</li><li>\\(m=3\\): \\(a_1 = 5\\), \\(a_2 = 5\\) ✓</li><li>\\(m=0\\): \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = -1\\) - nie.</li><li>\\(m=1\\): \\(a_1 = 3\\), \\(a_2 = 1\\) - nie.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m=2\\)</strong> - ktoś pomylił równoległość z czymś innym albo źle rozwiązał równanie.</li><li><strong>C. \\(m=0\\)</strong> - ktoś przyjął, że wyrazy wolne mają być zerowe lub nic niestosownego.</li><li><strong>D. \\(m=1\\)</strong> - typowy błąd rachunkowy: \\(m+2 = 2m-1 \\Rightarrow m = 1\\) zamiast \\(m=3\\).</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby identyczne, nie równoległe. W tym zadaniu \\(3\\ne -3\\), więc warunek rozdzielności jest automatycznie spełniony.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Porównanie współczynników pionowych</h5>\n<p>Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x) oraz tę samą wyraz wolny (stałą).</p>\n<ol><li><strong>Zapisanie równań w postaci kierunkowej:</strong></li></ol>\n<p>Równanie prostej y = (m + 2)x + 3 można zapisać jako y = mx + 2x + 3.<br>Równanie prostej y = (2m - 1)x - 3 można zapisać jako y = 2mx - x - 3.</p>\n<ol><li><strong>Porównanie współczynników pionowych:</strong></li></ol>\n<p>Współczynnik pionowy pierwszej prostej to m + 2.<br>Współczynnik pionowy drugiej prostej to 2m - 1.<br>Dla równoległości, m + 2 = 2m - 1.</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong></li></ol>\n<p>m + 2 = 2m - 1<br>2 + 1 = 2m - m<br>3 = m</p>\n<ol><li><strong>Sprawdzenie wyrazu wolnego:</strong></li></ol>\n<p>Wyraz wolny pierwszej prostej to 3.<br>Wyraz wolny drugiej prostej to -3.<br>Współczynnik pionowy musi być równy, a wyraz wolny musi być równy, aby proste były równoległe. W tym przypadku m=3, więc proste są równoległe.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 1</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie warunku równoległości</h5>\n<p>Dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b jest równy a.</p>\n<ol><li><strong>Zapisanie równań w postaci ogólnej:</strong></li></ol>\n<p>y = (m + 2)x + 3 =&gt; y = mx + 2x + 3<br>y = (2m - 1)x - 3 =&gt; y = 2mx - x - 3</p>\n<ol><li><strong>Porównanie współczynników:</strong></li></ol>\n<p>Współczynnik przy x w obu równaniach to m+2 oraz 2m-1.<br>Dla równoległości, m+2 = 2m-1.</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong></li></ol>\n<p>m+2 = 2m-1<br>m = 3</p>\n<ol><li><strong>Weryfikacja:</strong></li></ol>\n<p>Proste są równoległe, gdy m=3.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Ta odpowiedź sugeruje porównanie wyrazów wolnych, co jest błędne. Równoległe proste muszą mieć ten sam współczynnik pionowy.</li><li><strong>C:</strong> Ta odpowiedź używa m=0, co jest nieprawidłowe. Współczynnik pionowy zależy od wartości m.</li><li><strong>D:</strong> Ta odpowiedź nie zawiera żadnego uzasadnienia i jest bezsensowna.</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> W tym zadaniu kluczowe jest zrozumienie, że równoległe proste mają ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x). Wyraz wolny może być różny.</p>"}]}