{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest\nkrawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).\nKąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek\nA.\n°\n= 45\nα\nB.\n°\n<\n<\n°\n60\n45\nα\nC.\n°\n> 60\nα\nD.\n°\n= 60\nα\nPodstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. α = 45°; B. 45° < α < 60°; C. α > 60°; D. α = 60°.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nodcinkami (np. krawędziami, krawędziami\ni przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów\n(9.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 60°\\)\n\n## Sposób 1 - Wektory i iloczyn skalarny\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Skoro \\(NS\\) jest wysokością ostrosłupa, oznacza to, że \\(NS \\perp\\) płaszczyzna podstawy i \\(N\\) jest rzutem wierzchołka \\(S\\) na podstawę.\n\nPrzyjmijmy:\n\\[N = (0, 0, 0), \\quad K = (4, 0, 0), \\quad L = (4, 4, 0), \\quad M = (0, 4, 0)\\]\n\\[S = (0, 0, 4) \\quad \\text{(bo } |NS| = 4 \\text{ i } NS \\perp \\text{ podstawa)}\\]\n\n**Obliczamy wektory** \\(\\overrightarrow{SK}\\) i \\(\\overrightarrow{SM}\\):\n\\[\\overrightarrow{SK} = K - S = (4, 0, 0) - (0, 0, 4) = [4, 0, -4]\\]\n\\[\\overrightarrow{SM} = M - S = (0, 4, 0) - (0, 0, 4) = [0, 4, -4]\\]\n\n**Iloczyn skalarny:**\n\\[\\overrightarrow{SK} \\cdot \\overrightarrow{SM} = 4 \\cdot 0 + 0 \\cdot 4 + (-4)(-4) = 16\\]\n\n**Długości wektorów:**\n\\[|\\overrightarrow{SK}| = \\sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]\n\\[|\\overrightarrow{SM}| = \\sqrt{0^2 + 4^2 + (-4)^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Kąt między krawędziami:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\overrightarrow{SK} \\cdot \\overrightarrow{SM}}{|\\overrightarrow{SK}| \\cdot |\\overrightarrow{SM}|} = \\frac{16}{4\\sqrt{2} \\cdot 4\\sqrt{2}} = \\frac{16}{32} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2} \\implies \\boxed{\\alpha = 60°}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt KSM i twierdzenie cosinusów (a właściwie: trójkąt równoboczny!)\n\nObliczamy długości wszystkich trzech boków trójkąta \\(KSM\\):\n\n**Krawędź \\(KS\\):**\n\\[|KS| = \\sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krawędź \\(MS\\):**\n\\[|MS| = \\sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Przekątna \\(KM\\)** (przekątna kwadratu o boku \\(4\\)):\n\\[|KM| = 4\\sqrt{2}\\]\n\nWszystkie trzy boki trójkąta \\(KSM\\) mają tę samą długość \\(4\\sqrt{2}\\) - **trójkąt \\(KSM\\) jest równoboczny!**\n\nW trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \\(60°\\), więc:\n\\[\\boxed{\\alpha = 60°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nRozszerzone do 3D jako \\(|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\) - użyte do obliczenia \\(|KS|\\), \\(|MS|\\), \\(|KM|\\).\n\n**Dział 11 - wektor i iloczyn skalarny (s. 22-25)**:\n\\[\\vec{u} = [u_1, u_2], \\quad |\\vec{u}| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\\]\nIloczyn skalarny i wzór na kąt między wektorami - zastosowane w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie cosinusów (pomocniczo, do weryfikacji):\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nDla trójkąta równobocznego wprost wynika \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\alpha = 45°\\) | Uczeń myli kąt \\(\\alpha\\) z kątem, jaki \\(KS\\) tworzy z podstawą, lub błędnie oblicza \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - np. biorąc zły iloczyn skalarny |\n| **B** \\(45° < \\alpha < 60°\\) | Wynik oszacowania bez dokładnego rachunku - intuicja \"kąt jest między 45° a 60°\", ale dokładna wartość właśnie wynosi \\(60°\\) |\n| **C** \\(\\alpha > 60°\\) | Błąd przy obliczaniu długości \\(KM\\) - np. wzięcie \\(|KM| = 4\\) zamiast \\(4\\sqrt{2}\\), co zaburza proporcje trójkąta |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"wysokością jest krawędź \\(NS\\)\" oznacza, że \\(NS \\perp\\) podstawa - rzut \\(S\\) na podstawę to właśnie wierzchołek \\(N\\). Nie jest to ostrosłup \"symetryczny\" (prawidłowy)! To kluczowe przy ustawianiu współrzędnych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna kwadratu o boku \\(4\\) wynosi \\(4\\sqrt{2}\\), nie \\(4\\). To właśnie sprawia, że trójkąt \\(KSM\\) jest równoboczny - piękny wynik zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między krawędziami \\(KS\\) i \\(MS\\) to kąt przy wierzchołku \\(S\\) w trójkącie \\(KSM\\), nie przy \\(K\\) ani \\(M\\). Przy wektorowym podejściu oba wektory muszą wychodzić z tego samego punktu - stąd \\(\\overrightarrow{SK}\\) i \\(\\overrightarrow{SM}\\), a nie odwrotnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt KMS jest równoboczny\nObliczmy długości trzech krawędzi trójkąta \\(KMS\\):\n\n**\\(|KM|\\)** - przekątna kwadratu o boku \\(4\\):\n\\[|KM| = 4\\sqrt{2}.\\]\n\n**\\(|KS|\\)** - w trójkącie \\(KNS\\) prostokątnym przy \\(N\\): \\(|KN|=4\\), \\(|NS|=4\\):\n\\[|KS| = \\sqrt{16 + 16} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}.\\]\n\n**\\(|MS|\\)** - w trójkącie \\(MNS\\) prostokątnym przy \\(N\\): \\(|MN|=4\\), \\(|NS|=4\\):\n\\[|MS| = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}.\\]\n\nWszystkie trzy boki równe \\(4\\sqrt{2}\\) → trójkąt \\(KMS\\) jest **równoboczny**, więc \\(\\alpha = 60^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Układ współrzędnych\nPrzyjmujemy \\(N = (0,0,0)\\), \\(K = (4,0,0)\\), \\(L = (4,4,0)\\), \\(M = (0,4,0)\\), \\(S = (0,0,4)\\).\n\\[\\vec{SK} = (4, 0, -4), \\quad \\vec{SM} = (0, 4, -4)\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{\\vec{SK}\\circ\\vec{SM}}{|\\vec{SK}||\\vec{SM}|} = \\tfrac{0+0+16}{\\sqrt{32}\\cdot\\sqrt{32}} = \\tfrac{16}{32} = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\\(\\alpha = 60^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(45^\\circ\\)** - ktoś pomyślał o kącie między krawędzią a podstawą.\n- **B. \\(45 < \\alpha < 60\\)** - zgadywanie bez obliczeń.\n- **C. \\(\\alpha > 60\\)** - intuicja \"szerokiego rozwarcia\" bez policzenia.\n\n**Trik:** zawsze szukaj równoboczności lub podobnych konfiguracji - w bryłach osiowo symetrycznych często się pojawiają.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia cosinusów\n\nKrok 1: Zbuduj trójkąt KS M. Wiemy, że KLMN to kwadrat o boku 4, a NS to krawędź o długości 4. Wysokość ostrosłupa to NS, więc wysokość ostrosłupa jest równa 4. Zatem KN = LM = 4. Ponadto, KS i MS to krawędzie ostrosłupa.\n\nKrok 2: Zastosuj twierdzenie cosinusów do trójkąta KS M:\n\\[KM^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\nKrok 3: Znajdź długość KM. KM to przekątna kwadratu KLMN, więc KM = 4√2.\n\nKrok 4: Podstaw wartości do twierdzenia cosinusów:\n\\[(4\\sqrt{2})^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\\[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\nKrok 5: Zauważ, że w ostrosłupie KLMN, kąt przy wierzchołku S jest równy 90 stopni. Wysokość ostrosłupa NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości tworzy trójkąt prostokątny z każdym z wierzchołków podstawy. Zatem, KS i MS są krawędziami ostrosłupa. Ponieważ NS jest wysokością ostrości, to NS jest wysokością trójkąta KS M. Ponadto, NS = 4.\n\nKrok 6: Zauważ, że w trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4. Zatem trójkąt NSK jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku K wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSK jest równy 90 stopni. Analogicznie, w trójkącie NSM, NS = 4 i NM = 4. Zatem trójkąt NSM jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku M wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSM jest równy 90 stopni.\n\nKrok 7: Ponieważ NSK i NSM są trójkątami prostokątnymi, to kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt przy wierzchołku S jest kątem α. W trójkącie KS M, mamy:\n\\[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\nPonieważ KS i MS są krawędziami ostrosłupa, to KS = MS. Zatem:\n\\[32 = 2KS^2 - 2KS^2 \\cdot \\cos(\\alpha)\\]\n\\[32 = 2KS^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\\[16 = KS^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\nKrok 8: W trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4, a kąt NSK = 90 stopni. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[NS^2 + NK^2 = SK^2\\]\n\\[4^2 + 4^2 = SK^2\\]\n\\[16 + 16 = SK^2\\]\n\\[SK^2 = 32\\]\n\\[SK = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]\n\nPonieważ KS = MS, to KS = MS = $4\\sqrt{2}$. Zatem:\n\\[16 = (4\\sqrt{2})^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\\[16 = 32(1 - \\cos(\\alpha))\\]\n\\[\\frac{16}{32} = 1 - \\cos(\\alpha)\\]\n\\[\\frac{1}{2} = 1 - \\cos(\\alpha)\\]\n\\[\\cos(\\alpha) = \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\alpha = 60^{\\circ}\\]\n\n📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kątów prostych\n\nKrok 1: Zauważ, że ostrosłup KLMN jest symetryczny względem osi przechodzącej przez środek kwadratu KLMN i wierzchołek S. Ponieważ NS jest wysokością ostrosłupa, to NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości dzieli kwadrat KLMN na dwie połowy.\n\nKrok 2: Zauważ, że trójkąt NSK jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NK = 4. Zatem SK = $\\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.\n\nKrok 3: Podobnie, trójkąt NSM jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NM = 4. Zatem SM = $\\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.\n\nKrok 4: Ponieważ KS = SM = $4\\sqrt{2}$, a NS = 4, to trójkąty KS N i SM N są trójkątami równoramiennymi prostokątnymi. Kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt α jest równy 60 stopni.\n\nKrok 5: Zauważ, że kąt między krawędziami KS i MS jest równy 60 stopni. Zatem $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n\n📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. $\\alpha = 45^{\\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n* **B. $45^{\\circ} < \\alpha < 60^{\\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n* **C. $\\alpha > 60^{\\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\\alpha = 60^{\\circ}$.\n* **E. $\\alpha = 60^{\\circ}$**: Prawda. Użycie twierdzenia cosinusów i analizy geometryczna prowadzi do wniosku, że kąt α wynosi 60 stopni.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
A.
°
= 45
α
B.
°
<
<
°
60
45
α
C.
°

\n
60
\n

α
D.
°
= 60
α
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. α = 45°; B. 45° < α < 60°; C. α > 60°; D. α = 60°.

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający rozpoznaje
\n

w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między
odcinkami (np. krawędziami, krawędziami
i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów
(9.1).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 60°\\)

\n

Sposób 1 - Wektory i iloczyn skalarny

\n

Ustawiamy układ współrzędnych. Skoro \\(NS\\) jest wysokością ostrosłupa, oznacza to, że \\(NS \\perp\\) płaszczyzna podstawy i \\(N\\) jest rzutem wierzchołka \\(S\\) na podstawę.

\n

Przyjmijmy:
\\[N = (0, 0, 0), \\quad K = (4, 0, 0), \\quad L = (4, 4, 0), \\quad M = (0, 4, 0)\\]
\\[S = (0, 0, 4) \\quad \\text{(bo } |NS| = 4 \\text{ i } NS \\perp \\text{ podstawa)}\\]

\n

Obliczamy wektory \\(\\overrightarrow{SK}\\) i \\(\\overrightarrow{SM}\\):
\\[\\overrightarrow{SK} = K - S = (4, 0, 0) - (0, 0, 4) = [4, 0, -4]\\]
\\[\\overrightarrow{SM} = M - S = (0, 4, 0) - (0, 0, 4) = [0, 4, -4]\\]

\n

Iloczyn skalarny:
\\[\\overrightarrow{SK} \\cdot \\overrightarrow{SM} = 4 \\cdot 0 + 0 \\cdot 4 + (-4)(-4) = 16\\]

\n

Długości wektorów:
\\[|\\overrightarrow{SK}| = \\sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]
\\[|\\overrightarrow{SM}| = \\sqrt{0^2 + 4^2 + (-4)^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Kąt między krawędziami:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\overrightarrow{SK} \\cdot \\overrightarrow{SM}}{|\\overrightarrow{SK}| \\cdot |\\overrightarrow{SM}|} = \\frac{16}{4\\sqrt{2} \\cdot 4\\sqrt{2}} = \\frac{16}{32} = \\frac{1}{2}\\]

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2} \\implies \\boxed{\\alpha = 60°}\\]

\n

Sposób 2 - Trójkąt KSM i twierdzenie cosinusów (a właściwie: trójkąt równoboczny!)

\n

Obliczamy długości wszystkich trzech boków trójkąta \\(KSM\\):

\n

Krawędź \\(KS\\):
\\[|KS| = \\sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Krawędź \\(MS\\):
\\[|MS| = \\sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Przekątna \\(KM\\) (przekątna kwadratu o boku \\(4\\)):
\\[|KM| = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Wszystkie trzy boki trójkąta \\(KSM\\) mają tę samą długość \\(4\\sqrt{2}\\) - trójkąt \\(KSM\\) jest równoboczny!

\n

W trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \\(60°\\), więc:
\\[\\boxed{\\alpha = 60°}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Rozszerzone do 3D jako \\(|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\) - użyte do obliczenia \\(|KS|\\), \\(|MS|\\), \\(|KM|\\).

\n

Dział 11 - wektor i iloczyn skalarny (s. 22-25):
\\[\\vec{u} = [u_1, u_2], \\quad |\\vec{u}| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\\]
Iloczyn skalarny i wzór na kąt między wektorami - zastosowane w Sposobie 1.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie cosinusów (pomocniczo, do weryfikacji):
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Dla trójkąta równobocznego wprost wynika \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\(\\alpha = 45°\\) | Uczeń myli kąt \\(\\alpha\\) z kątem, jaki \\(KS\\) tworzy z podstawą, lub błędnie oblicza \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - np. biorąc zły iloczyn skalarny |
| B \\(45° < \\alpha < 60°\\) | Wynik oszacowania bez dokładnego rachunku - intuicja "kąt jest między 45° a 60°", ale dokładna wartość właśnie wynosi \\(60°\\) |
| C \\(\\alpha > 60°\\) | Błąd przy obliczaniu długości \\(KM\\) - np. wzięcie \\(|KM| = 4\\) zamiast \\(4\\sqrt{2}\\), co zaburza proporcje trójkąta |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Słowo "wysokością jest krawędź \\(NS\\)" oznacza, że \\(NS \\perp\\) podstawa - rzut \\(S\\) na podstawę to właśnie wierzchołek \\(N\\). Nie jest to ostrosłup "symetryczny" (prawidłowy)! To kluczowe przy ustawianiu współrzędnych.
\n
⚠️ Uwaga: Przekątna kwadratu o boku \\(4\\) wynosi \\(4\\sqrt{2}\\), nie \\(4\\). To właśnie sprawia, że trójkąt \\(KSM\\) jest równoboczny - piękny wynik zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt między krawędziami \\(KS\\) i \\(MS\\) to kąt przy wierzchołku \\(S\\) w trójkącie \\(KSM\\), nie przy \\(K\\) ani \\(M\\). Przy wektorowym podejściu oba wektory muszą wychodzić z tego samego punktu - stąd \\(\\overrightarrow{SK}\\) i \\(\\overrightarrow{SM}\\), a nie odwrotnie.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Trójkąt KMS jest równoboczny
\n

Obliczmy długości trzech krawędzi trójkąta \\(KMS\\):

\n

\\(|KM|\\) - przekątna kwadratu o boku \\(4\\):
\\[|KM| = 4\\sqrt{2}.\\]

\n

\\(|KS|\\) - w trójkącie \\(KNS\\) prostokątnym przy \\(N\\): \\(|KN|=4\\), \\(|NS|=4\\):
\\[|KS| = \\sqrt{16 + 16} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}.\\]

\n

\\(|MS|\\) - w trójkącie \\(MNS\\) prostokątnym przy \\(N\\): \\(|MN|=4\\), \\(|NS|=4\\):
\\[|MS| = \\sqrt{16 + 16} = 4\\sqrt{2}.\\]

\n

Wszystkie trzy boki równe \\(4\\sqrt{2}\\) → trójkąt \\(KMS\\) jest równoboczny, więc \\(\\alpha = 60^\\circ\\).

\n
Sposób 2 - Układ współrzędnych
\n

Przyjmujemy \\(N = (0,0,0)\\), \\(K = (4,0,0)\\), \\(L = (4,4,0)\\), \\(M = (0,4,0)\\), \\(S = (0,0,4)\\).
\\[\\vec{SK} = (4, 0, -4), \\quad \\vec{SM} = (0, 4, -4)\\]
\\[\\cos\\alpha = \\tfrac{\\vec{SK}\\circ\\vec{SM}}{|\\vec{SK}||\\vec{SM}|} = \\tfrac{0+0+16}{\\sqrt{32}\\cdot\\sqrt{32}} = \\tfrac{16}{32} = \\tfrac{1}{2}.\\]
\\(\\alpha = 60^\\circ\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zawsze szukaj równoboczności lub podobnych konfiguracji - w bryłach osiowo symetrycznych często się pojawiają.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie twierdzenia cosinusów
\n

Krok 1: Zbuduj trójkąt KS M. Wiemy, że KLMN to kwadrat o boku 4, a NS to krawędź o długości 4. Wysokość ostrosłupa to NS, więc wysokość ostrosłupa jest równa 4. Zatem KN = LM = 4. Ponadto, KS i MS to krawędzie ostrosłupa.

\n

Krok 2: Zastosuj twierdzenie cosinusów do trójkąta KS M:
\\[KM^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]

\n

Krok 3: Znajdź długość KM. KM to przekątna kwadratu KLMN, więc KM = 4√2.

\n

Krok 4: Podstaw wartości do twierdzenia cosinusów:
\\[(4\\sqrt{2})^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]
\\[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]

\n

Krok 5: Zauważ, że w ostrosłupie KLMN, kąt przy wierzchołku S jest równy 90 stopni. Wysokość ostrosłupa NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości tworzy trójkąt prostokątny z każdym z wierzchołków podstawy. Zatem, KS i MS są krawędziami ostrosłupa. Ponieważ NS jest wysokością ostrości, to NS jest wysokością trójkąta KS M. Ponadto, NS = 4.

\n

Krok 6: Zauważ, że w trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4. Zatem trójkąt NSK jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku K wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSK jest równy 90 stopni. Analogicznie, w trójkącie NSM, NS = 4 i NM = 4. Zatem trójkąt NSM jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku M wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSM jest równy 90 stopni.

\n

Krok 7: Ponieważ NSK i NSM są trójkątami prostokątnymi, to kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt przy wierzchołku S jest kątem α. W trójkącie KS M, mamy:
\\[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \\cdot KS \\cdot MS \\cdot \\cos(\\alpha)\\]
Ponieważ KS i MS są krawędziami ostrosłupa, to KS = MS. Zatem:
\\[32 = 2KS^2 - 2KS^2 \\cdot \\cos(\\alpha)\\]
\\[32 = 2KS^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]
\\[16 = KS^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]

\n

Krok 8: W trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4, a kąt NSK = 90 stopni. Z twierdzenia Pitagorasa:
\\[NS^2 + NK^2 = SK^2\\]
\\[4^2 + 4^2 = SK^2\\]
\\[16 + 16 = SK^2\\]
\\[SK^2 = 32\\]
\\[SK = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Ponieważ KS = MS, to KS = MS = $4\\sqrt{2}$. Zatem:
\\[16 = (4\\sqrt{2})^2(1 - \\cos(\\alpha))\\]
\\[16 = 32(1 - \\cos(\\alpha))\\]
\\[\\frac{16}{32} = 1 - \\cos(\\alpha)\\]
\\[\\frac{1}{2} = 1 - \\cos(\\alpha)\\]
\\[\\cos(\\alpha) = \\frac{1}{2}\\]
\\[\\alpha = 60^{\\circ}\\]

\n

📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15)

\n
Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kątów prostych
\n

Krok 1: Zauważ, że ostrosłup KLMN jest symetryczny względem osi przechodzącej przez środek kwadratu KLMN i wierzchołek S. Ponieważ NS jest wysokością ostrosłupa, to NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości dzieli kwadrat KLMN na dwie połowy.

\n

Krok 2: Zauważ, że trójkąt NSK jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NK = 4. Zatem SK = $\\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.

\n

Krok 3: Podobnie, trójkąt NSM jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NM = 4. Zatem SM = $\\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.

\n

Krok 4: Ponieważ KS = SM = $4\\sqrt{2}$, a NS = 4, to trójkąty KS N i SM N są trójkątami równoramiennymi prostokątnymi. Kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt α jest równy 60 stopni.

\n

Krok 5: Zauważ, że kąt między krawędziami KS i MS jest równy 60 stopni. Zatem $\\alpha = 60^{\\circ}$.

\n

📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}