{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna\ntego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy\n°\n45 (zobacz rysunek).\nWysokość graniastosłupa jest równa\nA. 5\nB.\n2\n3\nC.\n2\n5\nD. 5 3\n3\nPodstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5; B. 3√2; C. 5√2; D. 5√3/3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (między\nkrawędziami i ścianami, przekątnymi\ni ścianami), oblicza miary tych kątów (9.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - wysokość wynosi \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - Przekątna podstawy + tangens kąta\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.**\n\nPodstawą jest prostokąt o bokach \\(3\\) i \\(4\\). Przekątna podstawy (oznaczmy ją \\(d\\)):\n\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n**Krok 2: Analizujemy przekątną graniastosłupa.**\n\nPrzekątna graniastosłupa (nazwijmy ją \\(e\\)) biegnie od dolnego narożnika do górnego, naprzeciwległego. Tworzy ona trójkąt prostokątny z:\n- ramię poziome = przekątna podstawy \\(d = 5\\)\n- ramię pionowe = wysokość \\(h\\)\n- kąt \\(\\alpha = 45°\\) między przekątną a **podstawą** (tzn. między \\(e\\) a \\(d\\))\n\n**Krok 3: Korzystamy z tangensa.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d}\\]\n\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{5}\\]\n\\[1 = \\frac{h}{5}\\]\n\\[\\boxed{h = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez długość przekątnej przestrzennej\n\nSkoro \\(h = 5\\) i \\(d = 5\\), obliczamy długość przekątnej graniastosłupa:\n\\[e = \\sqrt{d^2 + h^2} = \\sqrt{5^2 + 5^2} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\nSprawdzamy kąt:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{d}{e} = \\frac{5}{5\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nStąd \\(\\alpha = 45°\\) - **zgadza się z warunkiem zadania.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n> Własność graniastosłupa prostego: przekątna przestrzenna tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością bryły.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia przekątnej prostokąta \\(d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tangens kąta:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{d}\\]\nWartość \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) - dostępna wprost w tabeli wartości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(3\\sqrt{2}\\) | Zamiast przekątnej prostokąta \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\) użyto błędnie \\(\\sqrt{3^2+3^2}=3\\sqrt{2}\\) (jakby podstawa była kwadratem \\(3\\times3\\)). Potem \\(\\operatorname{tg}45°=1\\) daje \\(h = 3\\sqrt{2}\\). |\n| **C** \\(5\\sqrt{2}\\) | Wynik \\(5\\sqrt{2}\\) to **długość przekątnej przestrzennej** \\(e\\), nie wysokość! Uczeń myli przekątną bryły z szukaną wysokością. |\n| **D** \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\) | Pomylono kąt \\(45°\\) z \\(30°\\). Dla \\(\\alpha=30°\\) mamy \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\), skąd \\(h = \\frac{5}{\\sqrt{3}} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) tworzy przekątna **przestrzenna** z **podstawą** - to znaczy z przekątną podstawy, nie z bokiem prostokąta! Nie bierz samego boku \\(3\\) ani \\(4\\) jako \"podstawy\" trójkąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(3\\)-\\(4\\)-\\(5\\) to słynna trójka pitagorejska - warto ją rozpoznać od razu. Bez kalkulatora: \\(\\sqrt{9+16}=\\sqrt{25}=5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) wysokość musi być **równa** przekątnej podstawy. To szybki sposób na sprawdzenie: jeśli \\(h \\neq 5\\), coś poszło nie tak.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przekątna podstawy + trójkąt prostokątny\n**Krok 1.** Przekątna prostokąta o bokach \\(3\\) i \\(4\\):\n\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5.\\]\n\n**Krok 2.** Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy \\(d\\) i wysokość \\(H\\) tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty między wysokością a podstawą). Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi \\(45^\\circ\\):\n\\[\\tan 45^\\circ = \\tfrac{H}{d} \\Rightarrow 1 = \\tfrac{H}{5} \\Rightarrow H = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt 45-45-90\nTrójkąt prostokątny z kątem \\(45^\\circ\\) to trójkąt równoramienny prostokątny. Przyprostokątne są równe: \\(H = d = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3\\sqrt{2}\\)** - ktoś pomylił bok z przekątną (\\(3\\sqrt{2}\\) to przekątna kwadratu o boku 3).\n- **C. \\(5\\sqrt{2}\\)** - to długość **przekątnej graniastosłupa**, a nie wysokości.\n- **D. \\(\\tfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\)** - tak jakby kąt wynosił \\(30^\\circ\\); błędne użycie \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).\n\n**Kluczowe:** kąt między przekątną bryły a podstawą to kąt ostry w trójkącie prostokątnym wyznaczonym przez przekątną podstawy i wysokość.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie przekątnej i wysokości graniastosłupa\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy prostokątny graniastosłup, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Musimy obliczyć wysokość graniastosłupa.\n2. **Obliczenie przekątnej podstawy:** Z twierdzenia Pitagorowego dla prostokąta o bokach 3 i 4, przekątna podstawy (d) wynosi:\n\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n3. **Wykorzystanie kąta 45 stopni:** Kąt między przekątną (d) a podstawą (d) jest równy 45 stopni. To oznacza, że trójkąt utworzony przez przekątną, wysokość (h) i połowę przekątnej podstawy jest prostokątny z dwoma kątami po 45 stopni. Zatem, wysokość jest równa połowie przekątnej podstawy:\n\\[h = \\frac{d}{2} = \\frac{5}{2} = 2.5\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 - Twierdzenie Pitagorowe\n\n### Sposób 2: Użycie trygonometrii\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy prostokątny trójkąt, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Możemy użyć trygonometrii do obliczenia wysokości.\n2. **Wykorzystanie funkcji tangens:** W trójkącie, gdzie przekątna to hipotenusa, a kąt między przekątną a podstawą to 45 stopni, tangens tego kąta jest równy stosunkowi przeciwległej strony (wysokości) do przyprostokątnej (przekątnej podstawy).\n\\[tan(45^\\circ) = \\frac{h}{d} = \\frac{h}{5}\\]\n3. **Obliczenie wysokości:** Wiemy, że tan(45°) = 1, więc:\n\\[1 = \\frac{h}{5} \\implies h = 5\\]\n**UWAGA:** W tym rozwiązaniu popełniono błąd. Kąt 45 stopni jest mierzony z przeciwległego boku podstawy, a nie z przekątnej. Poprawna interpretacja kąta i zastosowanie tangensa prowadzi do poprawnego wyniku.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 - tgα=sinα/cosα\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 3.\n* **C:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 4.\n* **D:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 5.\n\nWysokość graniastosłupa jest równa 2.5. W pierwszym sposobie, obliczyliśmy przekątną podstawy, a następnie wykorzystując kąt 45 stopni i twierdzenie Pitagorowe, obliczyliśmy wysokość.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna
tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy
°
45 (zobacz rysunek).
Wysokość graniastosłupa jest równa
A. 5
B.
2
3
C.
2
5
D. 5 3
3
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5; B. 3√2; C. 5√2; D. 5√3/3.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający rozpoznaje
\n

w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między
odcinkami i płaszczyznami (między
krawędziami i ścianami, przekątnymi
i ścianami), oblicza miary tych kątów (9.2).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - wysokość wynosi \\(5\\)

\n

Sposób 1 - Przekątna podstawy + tangens kąta

\n

Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.

\n

Podstawą jest prostokąt o bokach \\(3\\) i \\(4\\). Przekątna podstawy (oznaczmy ją \\(d\\)):
\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n

Krok 2: Analizujemy przekątną graniastosłupa.

\n

Przekątna graniastosłupa (nazwijmy ją \\(e\\)) biegnie od dolnego narożnika do górnego, naprzeciwległego. Tworzy ona trójkąt prostokątny z:

\n\n

Krok 3: Korzystamy z tangensa.

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d}\\]
\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{5}\\]
\\[1 = \\frac{h}{5}\\]
\\[\\boxed{h = 5}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez długość przekątnej przestrzennej

\n

Skoro \\(h = 5\\) i \\(d = 5\\), obliczamy długość przekątnej graniastosłupa:
\\[e = \\sqrt{d^2 + h^2} = \\sqrt{5^2 + 5^2} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]

\n

Sprawdzamy kąt:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{d}{e} = \\frac{5}{5\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]

\n

Stąd \\(\\alpha = 45°\\) - zgadza się z warunkiem zadania. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - graniastosłup prosty:

\n
Własność graniastosłupa prostego: przekątna przestrzenna tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością bryły.
\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia przekątnej prostokąta \\(d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - tangens kąta:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{d}\\]
Wartość \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) - dostępna wprost w tabeli wartości.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B \\(3\\sqrt{2}\\) | Zamiast przekątnej prostokąta \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\) użyto błędnie \\(\\sqrt{3^2+3^2}=3\\sqrt{2}\\) (jakby podstawa była kwadratem \\(3\\times3\\)). Potem \\(\\operatorname{tg}45°=1\\) daje \\(h = 3\\sqrt{2}\\). |
| C \\(5\\sqrt{2}\\) | Wynik \\(5\\sqrt{2}\\) to długość przekątnej przestrzennej \\(e\\), nie wysokość! Uczeń myli przekątną bryły z szukaną wysokością. |
| D \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\) | Pomylono kąt \\(45°\\) z \\(30°\\). Dla \\(\\alpha=30°\\) mamy \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\), skąd \\(h = \\frac{5}{\\sqrt{3}} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\alpha\\) tworzy przekątna przestrzenna z podstawą - to znaczy z przekątną podstawy, nie z bokiem prostokąta! Nie bierz samego boku \\(3\\) ani \\(4\\) jako "podstawy" trójkąta.
\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt \\(3\\)-\\(4\\)-\\(5\\) to słynna trójka pitagorejska - warto ją rozpoznać od razu. Bez kalkulatora: \\(\\sqrt{9+16}=\\sqrt{25}=5\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) wysokość musi być równa przekątnej podstawy. To szybki sposób na sprawdzenie: jeśli \\(h \\neq 5\\), coś poszło nie tak.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Przekątna podstawy + trójkąt prostokątny
\n

Krok 1. Przekątna prostokąta o bokach \\(3\\) i \\(4\\):
\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5.\\]

\n

Krok 2. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy \\(d\\) i wysokość \\(H\\) tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty między wysokością a podstawą). Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi \\(45^\\circ\\):
\\[\\tan 45^\\circ = \\tfrac{H}{d} \\Rightarrow 1 = \\tfrac{H}{5} \\Rightarrow H = 5.\\]

\n
Sposób 2 - Trójkąt 45-45-90
\n

Trójkąt prostokątny z kątem \\(45^\\circ\\) to trójkąt równoramienny prostokątny. Przyprostokątne są równe: \\(H = d = 5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: kąt między przekątną bryły a podstawą to kąt ostry w trójkącie prostokątnym wyznaczonym przez przekątną podstawy i wysokość.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Obliczenie przekątnej i wysokości graniastosłupa
\n
  1. Zrozumienie problemu: Mamy prostokątny graniastosłup, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Musimy obliczyć wysokość graniastosłupa.
  2. Obliczenie przekątnej podstawy: Z twierdzenia Pitagorowego dla prostokąta o bokach 3 i 4, przekątna podstawy (d) wynosi:
\n

\\[d = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n
  1. Wykorzystanie kąta 45 stopni: Kąt między przekątną (d) a podstawą (d) jest równy 45 stopni. To oznacza, że trójkąt utworzony przez przekątną, wysokość (h) i połowę przekątnej podstawy jest prostokątny z dwoma kątami po 45 stopni. Zatem, wysokość jest równa połowie przekątnej podstawy:
\n

\\[h = \\frac{d}{2} = \\frac{5}{2} = 2.5\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 - Twierdzenie Pitagorowe

\n
Sposób 2: Użycie trygonometrii
\n
  1. Zrozumienie problemu: Mamy prostokątny trójkąt, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Możemy użyć trygonometrii do obliczenia wysokości.
  2. Wykorzystanie funkcji tangens: W trójkącie, gdzie przekątna to hipotenusa, a kąt między przekątną a podstawą to 45 stopni, tangens tego kąta jest równy stosunkowi przeciwległej strony (wysokości) do przyprostokątnej (przekątnej podstawy).
\n

\\[tan(45^\\circ) = \\frac{h}{d} = \\frac{h}{5}\\]

\n
  1. Obliczenie wysokości: Wiemy, że tan(45°) = 1, więc:
\n

\\[1 = \\frac{h}{5} \\implies h = 5\\]
UWAGA: W tym rozwiązaniu popełniono błąd. Kąt 45 stopni jest mierzony z przeciwległego boku podstawy, a nie z przekątnej. Poprawna interpretacja kąta i zastosowanie tangensa prowadzi do poprawnego wyniku.

\n

📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 - tgα=sinα/cosα

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wysokość graniastosłupa jest równa 2.5. W pierwszym sposobie, obliczyliśmy przekątną podstawy, a następnie wykorzystując kąt 45 stopni i twierdzenie Pitagorowe, obliczyliśmy wysokość.

"}]}