{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r\ni jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.\nObjętość tej bryły jest równa\nA.\n3\n5 π\n3 r\nB.\n3\n4 π\n3 r\nC.\n3\n2 π\n3 r\nD.\n3\n1 π\n3 r\nr\nr\nr\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nNa rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa A. 5/3πr^3; B. 4/3πr^3; C. 2/3πr^3; D. 1/3πr^3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość walca, stożka, kuli (G11.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{5}{3}\\pi r^3\\)\n\n## Sposób 1 - Suma objętości walca i półkuli\n\nBryła składa się z dwóch części: walca i półkuli. Obliczamy objętość każdej z nich osobno, a następnie dodajemy.\n\n**Dane:** wszystkie trzy wymiary są równe \\(r\\):\n- promień podstawy walca = \\(r\\)\n- wysokość walca = \\(r\\)\n- promień półkuli = \\(r\\)\n\n**Objętość walca:**\n\\[V_{\\text{walca}} = \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\\]\n\n**Objętość półkuli** (to połowa objętości kuli o promieniu \\(r\\)):\n\\[V_{\\text{półkuli}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{3}\\pi r^3 = \\frac{2}{3}\\pi r^3\\]\n\n**Objętość całej bryły:**\n\\[V = V_{\\text{walca}} + V_{\\text{półkuli}} = \\pi r^3 + \\frac{2}{3}\\pi r^3\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[V = \\frac{3}{3}\\pi r^3 + \\frac{2}{3}\\pi r^3 = \\boxed{\\frac{5}{3}\\pi r^3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nPodstawiamy \\(r = 1\\), żeby sprawdzić, czy wynik daje \\(\\dfrac{5}{3}\\pi\\).\n\n**Walec** (\\(r=1\\), \\(h=1\\)):\n\\[V_{\\text{walca}} = \\pi \\cdot 1^2 \\cdot 1 = \\pi\\]\n\n**Półkula** (\\(r=1\\)):\n\\[V_{\\text{półkuli}} = \\frac{2}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{2}{3}\\pi\\]\n\n**Suma:**\n\\[V = \\pi + \\frac{2}{3}\\pi = \\frac{3}{3}\\pi + \\frac{2}{3}\\pi = \\frac{5}{3}\\pi\\]\n\nDla \\(r=1\\) wynik wynosi \\(\\frac{5}{3}\\pi\\), co przy podstawieniu do odpowiedzi A daje \\(\\frac{5}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{5}{3}\\pi\\). ✓\n\nŻadna inna odpowiedź nie pasuje: B daje \\(\\frac{4}{3}\\pi\\), C daje \\(\\frac{2}{3}\\pi\\), D daje \\(\\frac{1}{3}\\pi\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nObjętość walca:\n\\[V_{\\text{walca}} = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy z \\(h = r\\), co dało \\(\\pi r^3\\).\n\nObjętość kuli:\n\\[V_{\\text{kuli}} = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nObjętość półkuli to połowa tej wartości: \\(\\dfrac{2}{3}\\pi r^3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\(\\left(\\frac{4}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń dodaje objętość walca \\(\\pi r^3\\) i pełnej kuli \\(\\frac{4}{3}\\pi r^3\\) zamiast **półkuli** - zapomina podzielić przez 2 |\n| C \\(\\left(\\frac{2}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń liczy tylko objętość półkuli, zapominając o walcu |\n| D \\(\\left(\\frac{1}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń stosuje wzór na objętość **stożka** \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) zamiast walca, i pomija półkulę lub myli bryły |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Półkula to **połowa kuli** - objętość wynosi \\(\\dfrac{2}{3}\\pi r^3\\), nie \\(\\dfrac{4}{3}\\pi r^3\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu wszystkie trzy wymiary (\\(r\\) walca, \\(h\\) walca, \\(r\\) półkuli) są **takie same i równe \\(r\\)**. Warto to wyraźnie zapisać na początku rozwiązania, żeby nie pogubić się w obliczeniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bryła jest **złożona** - nie ma wzoru na jej objętość wprost. Zawsze rozkładaj takie bryły na znane składowe i sumuj ich objętości.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Sumowanie objętości\nWzory z karty wzorów (Stereometria, bryły obrotowe):\n- Walec: \\(V_w = \\pi r^2 H\\)\n- Kula: \\(V_k = \\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\), więc półkula: \\(V_{pk} = \\tfrac{2}{3}\\pi r^3\\)\n\nDla tej bryły \\(H = r\\) (wysokość walca = promień):\n\\[V_w = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\\]\n\\[V_{\\text{bryły}} = V_w + V_{pk} = \\pi r^3 + \\tfrac{2}{3}\\pi r^3 = \\tfrac{3}{3}\\pi r^3 + \\tfrac{2}{3}\\pi r^3 = \\tfrac{5}{3}\\pi r^3.\\]\n\n### Sposób 2 - Wspólny mianownik od razu\n\\[V = \\pi r^3\\left(1 + \\tfrac{2}{3}\\right) = \\pi r^3\\cdot\\tfrac{5}{3} = \\tfrac{5}{3}\\pi r^3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\)** - to objętość całej **kuli**, bez walca i tylko pełna kula.\n- **C. \\(\\tfrac{2}{3}\\pi r^3\\)** - to objętość samej **półkuli**, bez walca.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^3\\)** - to objętość **stożka** o wysokości \\(r\\); pomyłka w rozpoznaniu bryły lub wzoru.\n\n**Pułapka:** walec ma objętość \\(\\pi r^2 H\\) (nie \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^2 H\\) - to stożek!).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie objętości walca i półkuli, a następnie ich sumy.\n\\[\n\\text{Objętość walca} = \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\n\\]\n\\[\n\\text{Objętość półkuli} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{3} \\pi r^3 = \\frac{2}{3} \\pi r^3\n\\]\n\\[\n\\text{Objętość bryły} = \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{3}{3} \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{5}{3} \\pi r^3\n\\]\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na objętość bryły składającej się z walca i półkuli.\nBryła składa się z walca o promieniu *r* i wysokości *r* oraz półkuli o promieniu *r*.\nObjętość walca to \\( \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3 \\).\nObjętość półkuli to \\( \\frac{2}{3} \\pi r^3 \\).\nCałkowita objętość to \\( \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{5}{3} \\pi r^3 \\).\n📖 Karta wzorów: Wzory: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(\\frac{4}{3} \\pi r^3\\)**: Ta odpowiedź wynikałaby z obliczenia objętości pełnego walca o promieniu *r* i wysokości *r* (czyli \\( \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3 \\)) i dodania do niej objętości półkuli o promieniu *r* (czyli \\( \\frac{2}{3} \\pi r^3 \\)). Ale to nie uwzględnia, że walec ma wysokość *r*, a półkula ma promień *r*.\n* **C. \\(\\frac{2}{3} \\pi r^3\\)**: Ta odpowiedź to tylko objętość półkuli, a nie cała bryły.\n* **D. \\(\\frac{1}{3} \\pi r^3\\)**: Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie odzwierciedla sumy objętości walca i półkuli.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r<br>i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.<br>Objętość tej bryły jest równa<br>A.<br>3<br>5 π<br>3 r<br>B.<br>3<br>4 π<br>3 r<br>C.<br>3<br>2 π<br>3 r<br>D.<br>3<br>1 π<br>3 r<br>r<br>r<br>r</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa A. 5/3πr^3; B. 4/3πr^3; C. 2/3πr^3; D. 1/3πr^3.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni<br>i objętość walca, stożka, kuli (G11.2).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{5}{3}\\pi r^3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Suma objętości walca i półkuli</h4>\n<p>Bryła składa się z dwóch części: walca i półkuli. Obliczamy objętość każdej z nich osobno, a następnie dodajemy.</p>\n<p><strong>Dane:</strong> wszystkie trzy wymiary są równe \\(r\\):</p>\n<ul><li>promień podstawy walca = \\(r\\)</li><li>wysokość walca = \\(r\\)</li><li>promień półkuli = \\(r\\)</li></ul>\n<p><strong>Objętość walca:</strong><br>\\[V_{\\text{walca}} = \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\\]</p>\n<p><strong>Objętość półkuli</strong> (to połowa objętości kuli o promieniu \\(r\\)):<br>\\[V_{\\text{półkuli}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{3}\\pi r^3 = \\frac{2}{3}\\pi r^3\\]</p>\n<p><strong>Objętość całej bryły:</strong><br>\\[V = V_{\\text{walca}} + V_{\\text{półkuli}} = \\pi r^3 + \\frac{2}{3}\\pi r^3\\]</p>\n<p>Sprowadzamy do wspólnego mianownika:<br>\\[V = \\frac{3}{3}\\pi r^3 + \\frac{2}{3}\\pi r^3 = \\boxed{\\frac{5}{3}\\pi r^3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości</h4>\n<p>Podstawiamy \\(r = 1\\), żeby sprawdzić, czy wynik daje \\(\\dfrac{5}{3}\\pi\\).</p>\n<p><strong>Walec</strong> (\\(r=1\\), \\(h=1\\)):<br>\\[V_{\\text{walca}} = \\pi \\cdot 1^2 \\cdot 1 = \\pi\\]</p>\n<p><strong>Półkula</strong> (\\(r=1\\)):<br>\\[V_{\\text{półkuli}} = \\frac{2}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{2}{3}\\pi\\]</p>\n<p><strong>Suma:</strong><br>\\[V = \\pi + \\frac{2}{3}\\pi = \\frac{3}{3}\\pi + \\frac{2}{3}\\pi = \\frac{5}{3}\\pi\\]</p>\n<p>Dla \\(r=1\\) wynik wynosi \\(\\frac{5}{3}\\pi\\), co przy podstawieniu do odpowiedzi A daje \\(\\frac{5}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{5}{3}\\pi\\). ✓</p>\n<p>Żadna inna odpowiedź nie pasuje: B daje \\(\\frac{4}{3}\\pi\\), C daje \\(\\frac{2}{3}\\pi\\), D daje \\(\\frac{1}{3}\\pi\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong></p>\n<p>Objętość walca:<br>\\[V_{\\text{walca}} = \\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy z \\(h = r\\), co dało \\(\\pi r^3\\).</p>\n<p>Objętość kuli:<br>\\[V_{\\text{kuli}} = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]<br>Objętość półkuli to połowa tej wartości: \\(\\dfrac{2}{3}\\pi r^3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B \\(\\left(\\frac{4}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń dodaje objętość walca \\(\\pi r^3\\) i pełnej kuli \\(\\frac{4}{3}\\pi r^3\\) zamiast <strong>półkuli</strong> - zapomina podzielić przez 2 |<br>| C \\(\\left(\\frac{2}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń liczy tylko objętość półkuli, zapominając o walcu |<br>| D \\(\\left(\\frac{1}{3}\\pi r^3\\right)\\) | Uczeń stosuje wzór na objętość <strong>stożka</strong> \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) zamiast walca, i pomija półkulę lub myli bryły |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Półkula to <strong>połowa kuli</strong> - objętość wynosi \\(\\dfrac{2}{3}\\pi r^3\\), nie \\(\\dfrac{4}{3}\\pi r^3\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W tym zadaniu wszystkie trzy wymiary (\\(r\\) walca, \\(h\\) walca, \\(r\\) półkuli) są <strong>takie same i równe \\(r\\)</strong>. Warto to wyraźnie zapisać na początku rozwiązania, żeby nie pogubić się w obliczeniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Bryła jest <strong>złożona</strong> - nie ma wzoru na jej objętość wprost. Zawsze rozkładaj takie bryły na znane składowe i sumuj ich objętości.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Sumowanie objętości</h5>\n<p>Wzory z karty wzorów (Stereometria, bryły obrotowe):</p>\n<ul><li>Walec: \\(V_w = \\pi r^2 H\\)</li><li>Kula: \\(V_k = \\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\), więc półkula: \\(V_{pk} = \\tfrac{2}{3}\\pi r^3\\)</li></ul>\n<p>Dla tej bryły \\(H = r\\) (wysokość walca = promień):<br>\\[V_w = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3\\]<br>\\[V_{\\text{bryły}} = V_w + V_{pk} = \\pi r^3 + \\tfrac{2}{3}\\pi r^3 = \\tfrac{3}{3}\\pi r^3 + \\tfrac{2}{3}\\pi r^3 = \\tfrac{5}{3}\\pi r^3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wspólny mianownik od razu</h5>\n<p>\\[V = \\pi r^3\\left(1 + \\tfrac{2}{3}\\right) = \\pi r^3\\cdot\\tfrac{5}{3} = \\tfrac{5}{3}\\pi r^3.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\)</strong> - to objętość całej <strong>kuli</strong>, bez walca i tylko pełna kula.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{2}{3}\\pi r^3\\)</strong> - to objętość samej <strong>półkuli</strong>, bez walca.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^3\\)</strong> - to objętość <strong>stożka</strong> o wysokości \\(r\\); pomyłka w rozpoznaniu bryły lub wzoru.</li></ul>\n<p><strong>Pułapka:</strong> walec ma objętość \\(\\pi r^2 H\\) (nie \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^2 H\\) - to stożek!).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie objętości walca i półkuli, a następnie ich sumy.</h5>\n<p>\\[<br>\\text{Objętość walca} = \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3<br>\\]<br>\\[<br>\\text{Objętość półkuli} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{3} \\pi r^3 = \\frac{2}{3} \\pi r^3<br>\\]<br>\\[<br>\\text{Objętość bryły} = \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{3}{3} \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{5}{3} \\pi r^3<br>\\]<br>📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na objętość bryły składającej się z walca i półkuli.</h5>\n<p>Bryła składa się z walca o promieniu <em>r</em> i wysokości <em>r</em> oraz półkuli o promieniu <em>r</em>.<br>Objętość walca to \\( \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3 \\).<br>Objętość półkuli to \\( \\frac{2}{3} \\pi r^3 \\).<br>Całkowita objętość to \\( \\pi r^3 + \\frac{2}{3} \\pi r^3 = \\frac{5}{3} \\pi r^3 \\).<br>📖 Karta wzorów: Wzory: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\frac{4}{3} \\pi r^3\\)</strong>: Ta odpowiedź wynikałaby z obliczenia objętości pełnego walca o promieniu <em>r</em> i wysokości <em>r</em> (czyli \\( \\pi r^2 h = \\pi r^2 \\cdot r = \\pi r^3 \\)) i dodania do niej objętości półkuli o promieniu <em>r</em> (czyli \\( \\frac{2}{3} \\pi r^3 \\)). Ale to nie uwzględnia, że walec ma wysokość <em>r</em>, a półkula ma promień <em>r</em>.</li><li><strong>C. \\(\\frac{2}{3} \\pi r^3\\)</strong>: Ta odpowiedź to tylko objętość półkuli, a nie cała bryły.</li><li><strong>D. \\(\\frac{1}{3} \\pi r^3\\)</strong>: Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie odzwierciedla sumy objętości walca i półkuli.</li></ul>"}]}