{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW zestawie\nliczb\nliczb\n2, 2, 2,\n, 2,4, 4, 4,\n, 4\nm\nm\n jest 2m liczb (\n1)\nm ≥\n, w tym m liczb 2 i m liczb 4.\nOdchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe\nA. 2\nB. 1\nC.\n1\n2\nD.\n2\nW zestawie 2,2,2,...,2,4,4,4,...,4. jest 2m liczb (m≥1), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe A. 2; B. 1; C. 1/√2; D. √2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią ważoną i odchylenie\nstandardowe zestawu danych (także\nw przypadku danych odpowiednio\npogrupowanych), interpretuje te parametry dla\ndanych empirycznych (10.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nOdchylenie standardowe tego zestawu wynosi \\(\\mathbf{1}\\).\n\n## Sposób 1 - Definicja odchylenia standardowego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy średnią arytmetyczną.**\n\nW zestawie mamy \\(m\\) liczb równych \\(2\\) oraz \\(m\\) liczb równych \\(4\\), łącznie \\(2m\\) liczb:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{m \\cdot 2 + m \\cdot 4}{2m} = \\frac{2m + 4m}{2m} = \\frac{6m}{2m} = 3\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy odchylenia każdej liczby od średniej.**\n\n- Każda dwójka: \\(2 - 3 = -1\\), więc \\((2 - 3)^2 = 1\\)\n- Każda czwórka: \\(4 - 3 = 1\\), więc \\((4 - 3)^2 = 1\\)\n\n**Krok 3: Liczymy wariancję.**\n\nJest \\(m\\) dwójek i \\(m\\) czwórek - każda daje kwadrat odchylenia równy \\(1\\):\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\underbrace{(2-3)^2 + \\ldots + (2-3)^2}_{m \\text{ razy}} + \\underbrace{(4-3)^2 + \\ldots + (4-3)^2}_{m \\text{ razy}}}{2m} = \\frac{m \\cdot 1 + m \\cdot 1}{2m} = \\frac{2m}{2m} = 1\\]\n\n**Krok 4: Odchylenie standardowe.**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{1} = \\mathbf{1}\\]\n\n**Kluczowa obserwacja:** wynik nie zależy od \\(m\\)! Niezależnie ile dwójek i czwórek mamy (byle po równo), odchylenie standardowe zawsze wynosi \\(1\\).\n\n## Sposób 2 - Wzór skrócony (średnia kwadratów minus kwadrat średniej)\n\nWariancję można też policzyć ze wzoru:\n\n\\[\\sigma^2 = \\overline{a^2} - \\bar{a}^2\\]\n\n**Średnia kwadratów wartości:**\n\n\\[\\overline{a^2} = \\frac{m \\cdot 2^2 + m \\cdot 4^2}{2m} = \\frac{m \\cdot 4 + m \\cdot 16}{2m} = \\frac{20m}{2m} = 10\\]\n\n**Kwadrat średniej** (z Kroku 1 wiemy, że \\(\\bar{a} = 3\\)):\n\n\\[\\bar{a}^2 = 3^2 = 9\\]\n\n**Wariancja:**\n\n\\[\\sigma^2 = 10 - 9 = 1\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{1} = \\mathbf{1}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nWzór na wariancję:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + (a_2 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\n\nWzór na odchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\nWzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżywamy tych wzorów bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 stosujemy równoważny wzór \\(\\sigma^2 = \\overline{a^2} - \\bar{a}^2\\), który można z nich wyprowadzić.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(2\\)) | Uczeń myli odchylenie standardowe z **rozstępem** danych: \\(4 - 2 = 2\\). Rozstęp to nie to samo co odchylenie! |\n| **C** (\\(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\)) | Uczeń poprawnie liczy wariancję \\(\\sigma^2 = 1\\), ale zamiast wziąć pierwiastek, **dzieli** przez \\(\\sqrt{2}\\) - błędne zastosowanie wzoru. Lub liczy \\(\\sigma = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\) myląc wariancję z odchyleniem w jakimś skrócie myślowym. |\n| **D** (\\(\\sqrt{2}\\)) | Uczeń dzieli sumę kwadratów odchyleń przez \\(m\\) zamiast przez \\(2m\\): \\(\\sigma^2 = \\frac{2m}{m} = 2\\), stąd \\(\\sigma = \\sqrt{2}\\). Błąd polega na **zapomnieniu** o tym, że mamy \\(2m\\) liczb w mianowniku, nie \\(m\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenie standardowe to **pierwiastek** z wariancji - wielu uczniów zatrzymuje się na wariancji i podaje \\(\\sigma^2 = 1\\) jako wynik, co dałoby błędnie odpowiedź A lub C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach ze zmiennym parametrem (\\(m\\)) odruchowo próbujemy wstawić konkretną wartość np. \\(m = 1\\). Tu to działa (dostajemy zestaw \\(\\{2, 4\\}\\), \\(\\sigma = 1\\)), ale zawsze warto sprawdzić, czy wynik faktycznie nie zależy od \\(m\\) - tutaj słusznie nie zależy, bo \\(m\\) skraca się w liczniku i mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wariancji (\\(\\sigma^2\\)) z odchyleniem standardowym (\\(\\sigma\\)). Tu oba wynoszą \\(1\\), więc łatwo nie zauważyć błędu - ale w innych zadaniach ta pomyłka da zły wynik!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Średnia + wariancja + pierwiastek\n**Krok 1 - średnia:**\n\\[\\bar{x} = \\tfrac{m\\cdot 2 + m\\cdot 4}{2m} = \\tfrac{6m}{2m} = 3.\\]\n\n**Krok 2 - wariancja (średnia kwadratów odchyleń):**\n\\[\\sigma^2 = \\tfrac{m(2-3)^2 + m(4-3)^2}{2m} = \\tfrac{m\\cdot 1 + m\\cdot 1}{2m} = \\tfrac{2m}{2m} = 1.\\]\n\n**Krok 3 - odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{1} = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria zestawu\nZestaw jest symetryczny względem średniej: połowa liczb to \\(2\\), druga połowa to \\(4\\). Średnia \\(= 3\\), każda liczba jest odległa od \\(3\\) o \\(1\\). Więc **wszystkie** odchylenia w kwadracie to \\(1\\), wariancja \\(= 1\\), odchylenie standardowe \\(= 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - ktoś wziął rozstęp zamiast odchylenia standardowego (\\(4-2=2\\)).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)** - błąd przy wzorze na wariancję, np. dzielenie przez \\(4m\\) zamiast \\(2m\\).\n- **D. \\(\\sqrt{2}\\)** - ktoś pomylił wariancję z odchyleniem standardowym, albo policzył sumę odchyleń kwadratowych bez uśrednienia.\n\n**Spostrzeżenie:** odpowiedź **nie zależy od \\(m\\)** - dodanie/odjęcie identycznych liczb nie zmienia odchylenia standardowego tej kompozycji.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie średniej i wariancji\nTen sposób polega na obliczeniu średniej i wariancji zestawu liczb, a następnie wykorzystaniu tych wartości do określenia odchylenia standardowego.\n\nKroki:\n1. **Zidentyfikuj liczby w zestawie:** Zestaw zawiera liczby 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4. Nie wiemy, ile jest liczb 2 i ile liczb 4. Oznaczmy liczbę 2 przez *m* i liczbę 4 przez *m*. Zatem mamy *m* liczb 2 i *m* liczb 4.\n2. **Oblicz sumę liczb:** Suma liczb wynosi *m* * 2 + *m* * 4 = 2*m + 4*m = 6*m.\n3. **Oblicz liczbę wszystkich elementów:** Liczba wszystkich elementów w zestawie wynosi *m* + *m* = 2*m.\n4. **Oblicz średnią:** Średnia (x̄) wynosi (6*m) / (2*m) = 3.\n5. **Oblicz wariancję:** Wariancja σ² wynosi suma kwadratów różnic od średniej, podzielona przez liczbę elementów.\n* Suma kwadratów różnic od średniej: (m * (2-3)²) + (m * (4-3)²) = m * (-1)² + m * (1)² = m + m = 2*m\n* Wariancja: σ² = (2*m) / (2*m) = 1.\n6. **Oblicz odchylenie standardowe:** Odchylenie standardowe (σ) wynosi pierwiastek z wariancji: σ = √1 = 1.\n\n📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na średnią (średnia x̄=Σxᵢ/n) oraz wzór na wariancję (wariancja σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na odchylenie standardowe\nTen sposób bezpośrednio stosuje wzór na odchylenie standardowe.\n\nKroki:\n1. **Zidentyfikuj liczby w zestawie:** Tak jak w sposobie 1, mamy *m* liczb 2 i *m* liczb 4.\n2. **Zapisz wzór na odchylenie standardowe:** Odchylenie standardowe (σ) jest zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji: σ = √[Σ(xᵢ - x̄)² / n], gdzie xᵢ to poszczególne wartości w zestawie, x̄ to średnia, a n to liczba elementów w zestawie.\n3. **Podstaw wartości:**\n* x̄ = 3\n* Σ(xᵢ - 3)² = (m * (2-3)²) + (m * (4-3)²) = 2*m\n* n = 2*m\n* σ = √[ (2*m) / (2*m) ] = √1 = 1\n\n📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na odchylenie standardowe (σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź nie odzwierciedla obliczeń średniej i odchylenia standardowego. Wartość średniej jest równa 3, a odchylenie standardowe wynosi 1.\n* **C:** Ta odpowiedź nie ma związku z obliczeniami dotyczącymi średniej i odchylenia standardowego.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie ma związku z obliczeniami dotyczącymi średniej i odchylenia standardowego.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
W zestawie
liczb
liczb
2, 2, 2,
, 2,4, 4, 4,
, 4
m
m
 jest 2m liczb (
1)
m ≥
, w tym m liczb 2 i m liczb 4.
Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
A. 2
B. 1
C.
1
2
D.
2
W zestawie 2,2,2,...,2,4,4,4,...,4. jest 2m liczb (m≥1), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe A. 2; B. 1; C. 1/√2; D. √2.

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie
standardowe zestawu danych (także
w przypadku danych odpowiednio
pogrupowanych), interpretuje te parametry dla
danych empirycznych (10.1).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Odchylenie standardowe tego zestawu wynosi \\(\\mathbf{1}\\).

\n

Sposób 1 - Definicja odchylenia standardowego

\n

Krok 1: Wyznaczamy średnią arytmetyczną.

\n

W zestawie mamy \\(m\\) liczb równych \\(2\\) oraz \\(m\\) liczb równych \\(4\\), łącznie \\(2m\\) liczb:

\n

\\[\\bar{a} = \\frac{m \\cdot 2 + m \\cdot 4}{2m} = \\frac{2m + 4m}{2m} = \\frac{6m}{2m} = 3\\]

\n

Krok 2: Obliczamy odchylenia każdej liczby od średniej.

\n\n

Krok 3: Liczymy wariancję.

\n

Jest \\(m\\) dwójek i \\(m\\) czwórek - każda daje kwadrat odchylenia równy \\(1\\):

\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{\\underbrace{(2-3)^2 + \\ldots + (2-3)^2}{m \\text{ razy}} + \\underbrace{(4-3)^2 + \\ldots + (4-3)^2}{m \\text{ razy}}}{2m} = \\frac{m \\cdot 1 + m \\cdot 1}{2m} = \\frac{2m}{2m} = 1\\]

\n

Krok 4: Odchylenie standardowe.

\n

\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{1} = \\mathbf{1}\\]

\n

Kluczowa obserwacja: wynik nie zależy od \\(m\\)! Niezależnie ile dwójek i czwórek mamy (byle po równo), odchylenie standardowe zawsze wynosi \\(1\\).

\n

Sposób 2 - Wzór skrócony (średnia kwadratów minus kwadrat średniej)

\n

Wariancję można też policzyć ze wzoru:

\n

\\[\\sigma^2 = \\overline{a^2} - \\bar{a}^2\\]

\n

Średnia kwadratów wartości:

\n

\\[\\overline{a^2} = \\frac{m \\cdot 2^2 + m \\cdot 4^2}{2m} = \\frac{m \\cdot 4 + m \\cdot 16}{2m} = \\frac{20m}{2m} = 10\\]

\n

Kwadrat średniej (z Kroku 1 wiemy, że \\(\\bar{a} = 3\\)):

\n

\\[\\bar{a}^2 = 3^2 = 9\\]

\n

Wariancja:

\n

\\[\\sigma^2 = 10 - 9 = 1\\]

\n

Odchylenie standardowe:

\n

\\[\\sigma = \\sqrt{1} = \\mathbf{1}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n

Wzór na wariancję:
\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + (a_2 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]

\n

Wzór na odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]

\n

Wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]

\n

Używamy tych wzorów bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 stosujemy równoważny wzór \\(\\sigma^2 = \\overline{a^2} - \\bar{a}^2\\), który można z nich wyprowadzić.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A (\\(2\\)) | Uczeń myli odchylenie standardowe z rozstępem danych: \\(4 - 2 = 2\\). Rozstęp to nie to samo co odchylenie! |
| C (\\(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\)) | Uczeń poprawnie liczy wariancję \\(\\sigma^2 = 1\\), ale zamiast wziąć pierwiastek, dzieli przez \\(\\sqrt{2}\\) - błędne zastosowanie wzoru. Lub liczy \\(\\sigma = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\) myląc wariancję z odchyleniem w jakimś skrócie myślowym. |
| D (\\(\\sqrt{2}\\)) | Uczeń dzieli sumę kwadratów odchyleń przez \\(m\\) zamiast przez \\(2m\\): \\(\\sigma^2 = \\frac{2m}{m} = 2\\), stąd \\(\\sigma = \\sqrt{2}\\). Błąd polega na zapomnieniu o tym, że mamy \\(2m\\) liczb w mianowniku, nie \\(m\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji - wielu uczniów zatrzymuje się na wariancji i podaje \\(\\sigma^2 = 1\\) jako wynik, co dałoby błędnie odpowiedź A lub C.
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniach ze zmiennym parametrem (\\(m\\)) odruchowo próbujemy wstawić konkretną wartość np. \\(m = 1\\). Tu to działa (dostajemy zestaw \\(\\{2, 4\\}\\), \\(\\sigma = 1\\)), ale zawsze warto sprawdzić, czy wynik faktycznie nie zależy od \\(m\\) - tutaj słusznie nie zależy, bo \\(m\\) skraca się w liczniku i mianowniku.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl wariancji (\\(\\sigma^2\\)) z odchyleniem standardowym (\\(\\sigma\\)). Tu oba wynoszą \\(1\\), więc łatwo nie zauważyć błędu - ale w innych zadaniach ta pomyłka da zły wynik!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Średnia + wariancja + pierwiastek
\n

Krok 1 - średnia:
\\[\\bar{x} = \\tfrac{m\\cdot 2 + m\\cdot 4}{2m} = \\tfrac{6m}{2m} = 3.\\]

\n

Krok 2 - wariancja (średnia kwadratów odchyleń):
\\[\\sigma^2 = \\tfrac{m(2-3)^2 + m(4-3)^2}{2m} = \\tfrac{m\\cdot 1 + m\\cdot 1}{2m} = \\tfrac{2m}{2m} = 1.\\]

\n

Krok 3 - odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{1} = 1.\\]

\n
Sposób 2 - Symetria zestawu
\n

Zestaw jest symetryczny względem średniej: połowa liczb to \\(2\\), druga połowa to \\(4\\). Średnia \\(= 3\\), każda liczba jest odległa od \\(3\\) o \\(1\\). Więc wszystkie odchylenia w kwadracie to \\(1\\), wariancja \\(= 1\\), odchylenie standardowe \\(= 1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Spostrzeżenie: odpowiedź nie zależy od \\(m\\) - dodanie/odjęcie identycznych liczb nie zmienia odchylenia standardowego tej kompozycji.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Obliczenie średniej i wariancji
\n

Ten sposób polega na obliczeniu średniej i wariancji zestawu liczb, a następnie wykorzystaniu tych wartości do określenia odchylenia standardowego.

\n

Kroki:

\n
  1. Zidentyfikuj liczby w zestawie: Zestaw zawiera liczby 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4. Nie wiemy, ile jest liczb 2 i ile liczb 4. Oznaczmy liczbę 2 przez m i liczbę 4 przez m. Zatem mamy m liczb 2 i m liczb 4.
  2. Oblicz sumę liczb: Suma liczb wynosi m * 2 + m * 4 = 2m + 4m = 6*m.
  3. Oblicz liczbę wszystkich elementów: Liczba wszystkich elementów w zestawie wynosi m + m = 2*m.
  4. Oblicz średnią: Średnia (x̄) wynosi (6m) / (2m) = 3.
  5. Oblicz wariancję: Wariancja σ² wynosi suma kwadratów różnic od średniej, podzielona przez liczbę elementów.
\n\n
  1. Oblicz odchylenie standardowe: Odchylenie standardowe (σ) wynosi pierwiastek z wariancji: σ = √1 = 1.
\n

📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na średnią (średnia x̄=Σxᵢ/n) oraz wzór na wariancję (wariancja σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na odchylenie standardowe
\n

Ten sposób bezpośrednio stosuje wzór na odchylenie standardowe.

\n

Kroki:

\n
  1. Zidentyfikuj liczby w zestawie: Tak jak w sposobie 1, mamy m liczb 2 i m liczb 4.
  2. Zapisz wzór na odchylenie standardowe: Odchylenie standardowe (σ) jest zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji: σ = √[Σ(xᵢ - x̄)² / n], gdzie xᵢ to poszczególne wartości w zestawie, x̄ to średnia, a n to liczba elementów w zestawie.
  3. Podstaw wartości:
\n\n

📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na odchylenie standardowe (σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}