{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe\nkupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest\nrówne\nA. 35\n15\nB.\n50\n1\nC. 50\n15\nD. 50\n35\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kuponu są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe A. 15/35; B. 1/50; C. 15/50; D. 35/50;","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{35}{50}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczenie kuponów wygrywających\n\n**Dane z zadania:**\n- Łącznie kuponów: \\(50\\)\n- Kupony przegrywające: \\(15\\)\n- Kupony wygrywające: \\(50 - 15 = 35\\)\n\nSzukamy prawdopodobieństwa wyciągnięcia kuponu wygrywającego.\n\nKorzystamy z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[P(\\text{wygrywający}) = \\frac{\\text{liczba kuponów wygrywających}}{\\text{liczba wszystkich kuponów}}\\]\n\n\\[P(\\text{wygrywający}) = \\frac{35}{50}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{35}{50}\\)**\n\n(Można uprościć: \\(\\dfrac{35}{50} = \\dfrac{7}{10} = 0{,}7\\), ale odpowiedź D jest zapisana jako \\(\\dfrac{35}{50}\\), więc ta postać jest poprawna.)\n\n## Sposób 2 - Przez zdarzenie dopełniające\n\nZamiast liczyć kupony wygrywające wprost, skorzystajmy z własności zdarzenia dopełniającego.\n\nNiech \\(A\\) = „wyciągamy kupon wygrywający\", wtedy \\(A'\\) = „wyciągamy kupon przegrywający\".\n\n\\[P(A') = \\frac{15}{50}\\]\n\nZ własności prawdopodobieństwa:\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{15}{50} = \\frac{50}{50} - \\frac{15}{50} = \\frac{35}{50}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{35}{50}\\)** - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - jako \\(|A| = 35\\) (kupony wygrywające), \\(|\\Omega| = 50\\) (wszystkie kupony).\n\n**Dział 14 (s. 29)** - zdarzenie dopełniające:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń bierze \\(\\dfrac{15}{35}\\) - dzieli liczbę przegrywających przez liczbę wygrywających zamiast przez liczbę **wszystkich** kuponów. To stosunek, nie prawdopodobieństwo. |\n| B | Uczeń bierze \\(\\dfrac{1}{50}\\) - jakby wyciągał konkretny jeden kupon. Ignoruje fakt, że jest \\(35\\) wygrywających, nie jeden. |\n| C | Uczeń bierze \\(\\dfrac{15}{50}\\) - to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu **przegrywającego**, nie wygrywającego. Pomylono zdarzenie z jego dopełnieniem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kuponów **przegrywających** z **wygrywającymi** - zadanie pyta o wygrywające, a liczba \\(15\\) podana wprost dotyczy przegrywających. Trzeba odjąć: \\(50 - 15 = 35\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to zawsze **łączna liczba wszystkich możliwych wyników** (\\(50\\)), nie liczba wyników sprzyjających ani jakaś różnica.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(\\dfrac{15}{50}\\)) to klasyczna pułapka - wygląda przekonująco, bo \\(15\\) pojawia się w treści. Zawsze sprawdź, do **czego** odnosi się podana liczba.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja klasyczna prawdopodobieństwa\nLiczba kuponów wygrywających: \\(50 - 15 = 35\\).\nLiczba wszystkich kuponów: \\(50\\).\n\\[P(\\text{wygrana}) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\tfrac{35}{50} = \\tfrac{7}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne\n\\(P(\\text{przegrana}) = \\tfrac{15}{50}\\).\n\\(P(\\text{wygrana}) = 1 - \\tfrac{15}{50} = \\tfrac{50-15}{50} = \\tfrac{35}{50}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{15}{35}\\)** - stosunek przegrywających do wygrywających, ale to nie jest prawdopodobieństwo.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{50}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania konkretnego jednego kuponu, niezwiązane z wygraną.\n- **C. \\(\\tfrac{15}{50}\\)** - prawdopodobieństwo **przegranej**, nie wygranej.\n\n**Pamiętaj:** \\(P(A) = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}}\\). Mianownik to **zawsze** wszystkie możliwe zdarzenia elementarne.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa bezpośrednio\nWyciągamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kuponu bezpośrednio z proporcji kuponów wygrywających i wszystkich kuponów. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona to liczba kuponów wygrywających podzielona przez liczbę wszystkich kuponów.\n\n* Liczba kuponów wygrywających: 15\n* Liczba wszystkich kuponów: 50\n\nPrawdopodobieństwo = 15/50 = 3/10 = 0.3\n\n### Sposób 2: Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia przegrywacza i odejmowanie od 1\nPrawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza to 15/50 = 3/10. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona to 1 minus prawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza.\n\nP(wygrywający) = 1 - P(przegrywający) = 1 - (15/50) = 1 - 3/10 = 7/10 = 0.7\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop. (s.29), strona 30\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 15/35** - Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie uwzględnia, że w pudełku jest 50 kuponów, a nie 35. Prawdopodobieństwo nie jest proporcjonalne do liczby kuponów przegrywających.\n* **B. 1/50** - Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona nie jest równe liczbie wygrywających kuponów podzielonej przez całkowitą liczbę kuponów. Prawdopodobieństwo jest równe liczbie wygrywających kuponów podzielonej przez *całkowitą* liczbę kuponów (50).\n* **C. 15/50** - Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ 15/50 to prawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza, a zadanie pytało o prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe
kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest
równe
A. 35
15
B.
50
1
C. 50
15
D. 50
35

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kuponu są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe A. 15/35; B. 1/50; C. 15/50; D. 35/50;

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa (10.3).
Wersja
I
Wersja
II
D
B
Ogólne zasady oceniania zadań otwartych
Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki
zadania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{35}{50}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczenie kuponów wygrywających

\n

Dane z zadania:

\n\n

Szukamy prawdopodobieństwa wyciągnięcia kuponu wygrywającego.

\n

Korzystamy z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:
\\[P(\\text{wygrywający}) = \\frac{\\text{liczba kuponów wygrywających}}{\\text{liczba wszystkich kuponów}}\\]

\n

\\[P(\\text{wygrywający}) = \\frac{35}{50}\\]

\n

Wynik: \\(\\dfrac{35}{50}\\)

\n

(Można uprościć: \\(\\dfrac{35}{50} = \\dfrac{7}{10} = 0{,}7\\), ale odpowiedź D jest zapisana jako \\(\\dfrac{35}{50}\\), więc ta postać jest poprawna.)

\n

Sposób 2 - Przez zdarzenie dopełniające

\n

Zamiast liczyć kupony wygrywające wprost, skorzystajmy z własności zdarzenia dopełniającego.

\n

Niech \\(A\\) = „wyciągamy kupon wygrywający", wtedy \\(A'\\) = „wyciągamy kupon przegrywający".

\n

\\[P(A') = \\frac{15}{50}\\]

\n

Z własności prawdopodobieństwa:
\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{15}{50} = \\frac{50}{50} - \\frac{15}{50} = \\frac{35}{50}\\]

\n

Wynik: \\(\\dfrac{35}{50}\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 - jako \\(|A| = 35\\) (kupony wygrywające), \\(|\\Omega| = 50\\) (wszystkie kupony).

\n

Dział 14 (s. 29) - zdarzenie dopełniające:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń bierze \\(\\dfrac{15}{35}\\) - dzieli liczbę przegrywających przez liczbę wygrywających zamiast przez liczbę wszystkich kuponów. To stosunek, nie prawdopodobieństwo. |
| B | Uczeń bierze \\(\\dfrac{1}{50}\\) - jakby wyciągał konkretny jeden kupon. Ignoruje fakt, że jest \\(35\\) wygrywających, nie jeden. |
| C | Uczeń bierze \\(\\dfrac{15}{50}\\) - to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu przegrywającego, nie wygrywającego. Pomylono zdarzenie z jego dopełnieniem. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić kuponów przegrywających z wygrywającymi - zadanie pyta o wygrywające, a liczba \\(15\\) podana wprost dotyczy przegrywających. Trzeba odjąć: \\(50 - 15 = 35\\).
\n
⚠️ Uwaga: Mianownik to zawsze łączna liczba wszystkich możliwych wyników (\\(50\\)), nie liczba wyników sprzyjających ani jakaś różnica.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (\\(\\dfrac{15}{50}\\)) to klasyczna pułapka - wygląda przekonująco, bo \\(15\\) pojawia się w treści. Zawsze sprawdź, do czego odnosi się podana liczba.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Definicja klasyczna prawdopodobieństwa
\n

Liczba kuponów wygrywających: \\(50 - 15 = 35\\).
Liczba wszystkich kuponów: \\(50\\).
\\[P(\\text{wygrana}) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\tfrac{35}{50} = \\tfrac{7}{10}.\\]

\n
Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne
\n

\\(P(\\text{przegrana}) = \\tfrac{15}{50}\\).
\\(P(\\text{wygrana}) = 1 - \\tfrac{15}{50} = \\tfrac{50-15}{50} = \\tfrac{35}{50}.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(P(A) = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}}\\). Mianownik to zawsze wszystkie możliwe zdarzenia elementarne.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa bezpośrednio
\n

Wyciągamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kuponu bezpośrednio z proporcji kuponów wygrywających i wszystkich kuponów. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona to liczba kuponów wygrywających podzielona przez liczbę wszystkich kuponów.

\n\n

Prawdopodobieństwo = 15/50 = 3/10 = 0.3

\n
Sposób 2: Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia przegrywacza i odejmowanie od 1
\n

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza to 15/50 = 3/10. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia wygrywającego kupona to 1 minus prawdopodobieństwo wyciągnięcia przegrywacza.

\n

P(wygrywający) = 1 - P(przegrywający) = 1 - (15/50) = 1 - 3/10 = 7/10 = 0.7

\n

📖 Karta wzorów: Prawdop. (s.29), strona 30

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}