{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n3\n2\n125\n64\n0\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie (x^3+125)(x^2-64)=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0\n(3.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nLewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników\noraz\n. Zatem iloczyn\nten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli\nlub\nRozwiązaniem równania\njest\nRównanie\ndoprowadzamy do postaci\n. Przynajmniej jeden\nz czynników\nlub\njest równy 0, czyli\nlub\nRównanie\nma trzy rozwiązania rzeczywiste:\n,\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\nx < -\n5\n2\nx >\n1\n1\nx = -\n2\n5\n2\nx =\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,1\n,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n-∞\n∪-\n+ ∞\n(\n)\n(\n)\n5\n2\n,\n1,\n+∞\n∪-\n-∞\n3\n125\nx +\n2\n64\nx -\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n3\n125\n0\nx +\n3\n125\n5\nx =\n2\n64\n0\nx -\n(\n) (\n)\n8\n8\n0\nx\nx\n⋅\n8\nx -\n8\nx +\n8\nx =\n8\nx = -\n(\n)(\n)\n3\n2\n125\n64\n0\nx\nx\n5\nx = -\n8\nx =\n8\nx = -\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania\ni\nlub\n• wyznaczy poprawnie (lub poda) rozwiązania jednego z równań:\nlub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n,\n,\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez rachunków lub uzasadnienia,\nto otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający uzyska trafne rozwiązania równania, ale w wyniku błędnej metody,\nto otrzymuje 0 punktów, o ile nie uzyska 1 punktu za zapisanie dwóch równań:\n,\n3. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pierwiastki wielomianu\ni poda\nniewłaściwą odpowiedź, np.\n, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \\(x_1 = -8\\), \\(x_2 = -5\\), \\(x_3 = 8\\).\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu równego zero\n\n**Kluczowa zasada:** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.\n\n\\[(x^3 + 125)(x^2 - 64) = 0\\]\n\n\\[\\Downarrow\\]\n\n\\[x^3 + 125 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 64 = 0\\]\n\n**Czynnik I:** \\(x^3 + 125 = 0\\)\n\nRozpoznajemy sumę sześcianów: \\(x^3 + 5^3\\). Stosujemy wzór:\n\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\n\n\\[x^3 + 125 = (x + 5)(x^2 - 5x + 25) = 0\\]\n\n- \\(x + 5 = 0 \\implies \\mathbf{x_1 = -5}\\)\n\n- \\(x^2 - 5x + 25 = 0\\): liczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0\\]\n\n**Brak pierwiastków rzeczywistych** z tego czynnika.\n\n**Czynnik II:** \\(x^2 - 64 = 0\\)\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów: \\(x^2 - 8^2\\). Stosujemy wzór:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\n\\[x^2 - 64 = (x-8)(x+8) = 0\\]\n\n\\[x - 8 = 0 \\implies \\mathbf{x_2 = 8}\\]\n\\[x + 8 = 0 \\implies \\mathbf{x_3 = -8}\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\n\\[\\boxed{x \\in \\{-8,\\ -5,\\ 8\\}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie wyznaczanie pierwiastków (bez rozkładu sumy sześcianów)\n\n**Czynnik I:** \\(x^3 + 125 = 0\\)\n\n\\[x^3 = -125\\]\n\n\\[x = \\sqrt[3]{-125} = -\\sqrt[3]{125} = \\mathbf{-5}\\]\n\n(Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest ujemny - tylko jeden pierwiastek rzeczywisty.)\n\n**Czynnik II:** \\(x^2 - 64 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 64\\]\n\n\\[x = \\pm\\sqrt{64} = \\pm 8\\]\n\nStąd: \\(\\mathbf{x = 8}\\) lub \\(\\mathbf{x = -8}\\).\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy każde rozwiązanie do oryginalnego równania:\n\n- \\(x = -5\\): \\(((-5)^3 + 125)((-5)^2 - 64) = (-125 + 125)(25 - 64) = 0 \\cdot (-39) = 0\\) ✓\n- \\(x = 8\\): \\((8^3 + 125)(8^2 - 64) = (512+125)(64-64) = 637 \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = -8\\): \\(((-8)^3 + 125)((-8)^2 - 64) = (-512+125)(64-64) = (-387) \\cdot 0 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nSuma sześcianów:\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\nUżyta przy rozkładzie \\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3\\) w Sposobie 1.\n\nRóżnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyta przy rozkładzie \\(x^2 - 64 = x^2 - 8^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nPrzy sprawdzaniu, czy trójmian \\(x^2 - 5x + 25\\) ma pierwiastki rzeczywiste - \\(\\Delta < 0\\) oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^3 = -125\\) ma **jeden** pierwiastek rzeczywisty: \\(x = -5\\). Nie pisz \\(x = \\pm 5\\) - to błąd! Pierwiastek sześcienny (w odróżnieniu od kwadratowego) jest jednoznaczny i może być ujemny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie sumy sześcianów dostajemy czynnik \\(x^2 - 5x + 25\\). Uczniowie często myślą, że \\(x^2 - 5x + 25 = (x-5)^2\\) - to **nieprawda**! \\((x-5)^2 = x^2 - 10x + 25\\). Zawsze sprawdź wyróżnik \\(\\Delta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o **obu** czynnikach - część uczniów rozwiązuje tylko jeden i gubi połowę odpowiedzi. Równanie stopnia 5 (po rozwinięciu) może mieć do 5 pierwiastków zespolonych; my szukamy tylko rzeczywistych.\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in\\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0\nIloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:\n\\[x^3 + 125 = 0 \\quad \\text{lub}\\quad x^2 - 64 = 0.\\]\n\n**Równanie 1:** \\(x^3 = -125 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-125} = -5\\).\n\n**Równanie 2:** \\(x^2 = 64 \\Rightarrow x = \\pm 8\\).\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\{-8, -5, 8\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory skróconego mnożenia\n\\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)\\). Drugi czynnik ma \\(\\Delta = 25 - 100 < 0\\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zostaje \\(x = -5\\).\n\n\\(x^2 - 64 = (x-8)(x+8)\\), stąd \\(x = 8\\) lub \\(x = -8\\).\n\n**Rozwiązania:** \\(x = -8\\), \\(x = -5\\), \\(x = 8\\).\n\n### Sposób 3 - Szybkie zgadywanie pierwiastków\nZauważamy, że \\(125 = 5^3\\) i \\(64 = 8^2\\), więc pierwsze równanie to \\(x^3 = -125\\) (jedno rozwiązanie \\(x=-5\\)), a drugie to \\(x^2 = 64\\) (dwa rozwiązania \\(\\pm 8\\)).\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in\\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż równanie (
)(
)
3
2
125
64
0
x
x
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Rozwiąż równanie (x^3+125)(x^2-64)=0.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności
\n

iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0
(3.7).
Przykładowe rozwiązanie
Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników
oraz
. Zatem iloczyn
ten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli
lub
Rozwiązaniem równania
jest
Równanie
doprowadzamy do postaci
. Przynajmniej jeden
z czynników
lub
jest równy 0, czyli
lub
Równanie
ma trzy rozwiązania rzeczywiste:
,
1
x < -
5
2
x >
1
x < -
5
2
x >
1
1
x = -
2
5
2
x =
(
)
(
)
5
2
,1
,
x∈-∞
∪

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1
,
-∞-
∪

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1,
-∞
∪-

\n\n

(
)
(
)
5
2
,
1,
+∞
∪-
-∞
3
125
x +
2
64
x -
3
125
0
x +
2
64
0
x -
3
125
0
x +
3
125
5
x =
2
64
0
x -
(
) (
)
8
8
0
x
x
⋅
8
x -
8
x +
8
x =
8
x = -
(
)(
)
3
2
125
64
0
x
x
5
x = -
8
x =
8
x = -
x
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania
i
lub
• wyznaczy poprawnie (lub poda) rozwiązania jednego z równań:
lub
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:
,
,
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez rachunków lub uzasadnienia,
\n

to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający uzyska trafne rozwiązania równania, ale w wyniku błędnej metody,
\n

to otrzymuje 0 punktów, o ile nie uzyska 1 punktu za zapisanie dwóch równań:
,

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pierwiastki wielomianu
\n

i poda
niewłaściwą odpowiedź, np.
, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\)

\n

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \\(x_1 = -8\\), \\(x_2 = -5\\), \\(x_3 = 8\\).

\n

Sposób 1 - Własność iloczynu równego zero

\n

Kluczowa zasada: Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

\n

\\[(x^3 + 125)(x^2 - 64) = 0\\]

\n

\\[\\Downarrow\\]

\n

\\[x^3 + 125 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 64 = 0\\]

\n

Czynnik I: \\(x^3 + 125 = 0\\)

\n

Rozpoznajemy sumę sześcianów: \\(x^3 + 5^3\\). Stosujemy wzór:

\n

\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]

\n

\\[x^3 + 125 = (x + 5)(x^2 - 5x + 25) = 0\\]

\n\n\n

\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0\\]

\n

Brak pierwiastków rzeczywistych z tego czynnika.

\n

Czynnik II: \\(x^2 - 64 = 0\\)

\n

Rozpoznajemy różnicę kwadratów: \\(x^2 - 8^2\\). Stosujemy wzór:

\n

\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]

\n

\\[x^2 - 64 = (x-8)(x+8) = 0\\]

\n

\\[x - 8 = 0 \\implies \\mathbf{x_2 = 8}\\]
\\[x + 8 = 0 \\implies \\mathbf{x_3 = -8}\\]

\n

Odpowiedź:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\{-8,\\ -5,\\ 8\\}}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie wyznaczanie pierwiastków (bez rozkładu sumy sześcianów)

\n

Czynnik I: \\(x^3 + 125 = 0\\)

\n

\\[x^3 = -125\\]

\n

\\[x = \\sqrt[3]{-125} = -\\sqrt[3]{125} = \\mathbf{-5}\\]

\n

(Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest ujemny - tylko jeden pierwiastek rzeczywisty.)

\n

Czynnik II: \\(x^2 - 64 = 0\\)

\n

\\[x^2 = 64\\]

\n

\\[x = \\pm\\sqrt{64} = \\pm 8\\]

\n

Stąd: \\(\\mathbf{x = 8}\\) lub \\(\\mathbf{x = -8}\\).

\n

Weryfikacja - podstawiamy każde rozwiązanie do oryginalnego równania:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)

\n

Suma sześcianów:
\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]
Użyta przy rozkładzie \\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3\\) w Sposobie 1.

\n

Różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyta przy rozkładzie \\(x^2 - 64 = x^2 - 8^2\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Przy sprawdzaniu, czy trójmian \\(x^2 - 5x + 25\\) ma pierwiastki rzeczywiste - \\(\\Delta < 0\\) oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(x^3 = -125\\) ma jeden pierwiastek rzeczywisty: \\(x = -5\\). Nie pisz \\(x = \\pm 5\\) - to błąd! Pierwiastek sześcienny (w odróżnieniu od kwadratowego) jest jednoznaczny i może być ujemny.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładzie sumy sześcianów dostajemy czynnik \\(x^2 - 5x + 25\\). Uczniowie często myślą, że \\(x^2 - 5x + 25 = (x-5)^2\\) - to nieprawda! \\((x-5)^2 = x^2 - 10x + 25\\). Zawsze sprawdź wyróżnik \\(\\Delta\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o obu czynnikach - część uczniów rozwiązuje tylko jeden i gubi połowę odpowiedzi. Równanie stopnia 5 (po rozwinięciu) może mieć do 5 pierwiastków zespolonych; my szukamy tylko rzeczywistych.
\n

Rozwiązanie: \\(x\\in\\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\)

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0
\n

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:
\\[x^3 + 125 = 0 \\quad \\text{lub}\\quad x^2 - 64 = 0.\\]

\n

Równanie 1: \\(x^3 = -125 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-125} = -5\\).

\n

Równanie 2: \\(x^2 = 64 \\Rightarrow x = \\pm 8\\).

\n

Zbiór rozwiązań: \\(\\{-8, -5, 8\\}\\).

\n
Sposób 2 - Wzory skróconego mnożenia
\n

\\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)\\). Drugi czynnik ma \\(\\Delta = 25 - 100 < 0\\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zostaje \\(x = -5\\).

\n

\\(x^2 - 64 = (x-8)(x+8)\\), stąd \\(x = 8\\) lub \\(x = -8\\).

\n

Rozwiązania: \\(x = -8\\), \\(x = -5\\), \\(x = 8\\).

\n
Sposób 3 - Szybkie zgadywanie pierwiastków
\n

Zauważamy, że \\(125 = 5^3\\) i \\(64 = 8^2\\), więc pierwsze równanie to \\(x^3 = -125\\) (jedno rozwiązanie \\(x=-5\\)), a drugie to \\(x^2 = 64\\) (dwa rozwiązania \\(\\pm 8\\)).

\n

Odpowiedź: \\(x\\in\\{-8,\\ -5,\\ 8\\}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -5, x = 8, x = -8$

"}]}