{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\n\nMMA_1P\nOkręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do\nobu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.\nUzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od\n2\n1\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nB\nA\nOkręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na\noraz\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNierówność możemy przekształcić równoważnie\nPonieważ liczby a i b są dodatnie, więc\ni\n. Mnożąc obie strony nierówności\nprzez\n, otrzymujemy\n,\n,\n,\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności\nrównież dla liczb dodatnich. To kończy dowód.\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n5\nx = -\n8\nx =\n8\nx = -\n3\n125\n0\nx +\n2\n64\n0\nx -\n(\n)(\n)\n3\n2\n125\n64\nx\nx\n{\n}\n8\n5 8\n∈\n\nx\n,\n,\n(\n)\n2\na\nb\n±\n2\n2\na\nb\n2\n2\na\nb\nab\na\nb\n≥\n0\na\nb\n>\n2\n0\nab >\n(\n)\n2ab a\nb\n(\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n4\na\nab\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\nII sposób\nNierówność możemy przekształcić równoważnie\n2\n0\n2\na\nb\nab\na\nb\n≥\n,\nPonieważ liczby a i b są dodatnie, więc\ni\n. Mnożąc obie strony nierówności\nprzez\n, otrzymujemy\n,\n,\n,\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności\nrównież dla liczb dodatnich. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci\nlub\n, lub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność\ni nie powoła\nsię na stosowne twierdzenie, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem\nnierówności\n, to otrzymuje 2 punkty.\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n0\n2\na\nb\nab\nab a\nb\n≥\n0\na\nb\n>\n2\n0\nab >\n(\n)\n2ab a\nb\n(\n)\n2\n4\n0\na\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n4\n0\na\nab\nb\nab\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\n(\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n2\n4\n0\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n0\n2\na\nb\nab\nab a\nb\n≥\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥","solution":"## Poprawna odpowiedź: Twierdzenie prawdziwe - dowód poniżej\n\nTo zadanie otwarte. Należy udowodnić nierówność dla dowolnych \\(a, b > 0\\).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna)\n\n**Krok 1 - Upraszczamy lewą stronę.**\n\nDodajemy ułamki, sprowadzając do wspólnego mianownika:\n\n\\[\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} = \\frac{b}{2ab} + \\frac{a}{2ab} = \\frac{a+b}{2ab}\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\n\\[\\frac{a+b}{2ab} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]\n\n**Krok 2 - Pozbywamy się mianowników.**\n\nPonieważ \\(a, b > 0\\), mamy \\(2ab > 0\\) oraz \\(a+b > 0\\), więc mnożymy obie strony przez \\(2ab(a+b) > 0\\) - **kierunek nierówności się nie zmienia**:\n\n\\[(a+b)^2 \\ge 4ab\\]\n\n**Krok 3 - Rozwijamy lewą stronę:**\n\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]\n\nPrzenosimy \\(4ab\\) na lewą stronę:\n\n\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]\n\n\\[(a - b)^2 \\ge 0\\]\n\n**Krok 4 - Wniosek.**\n\nKwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - nierówność \\((a-b)^2 \\ge 0\\) jest **zawsze prawdziwa**.\n\nPonieważ każdy krok był równoważny (mnożyliśmy przez dodatnie wyrażenia), udowodniliśmy, że:\n\n\\[\\boxed{\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} \\ge \\frac{2}{a+b}}\\]\n\ndla dowolnych \\(a, b > 0\\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = b\\). \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Dowód wprost (z nierówności \\((a-b)^2 \\ge 0\\))\n\nZamiast redukować nierówność, budujemy dowód w drugą stronę - **od prawdy do tezy**.\n\n**Krok 1 - Zaczynamy od faktu oczywistego:**\n\nDla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a, b\\):\n\n\\[(a-b)^2 \\ge 0\\]\n\n**Krok 2 - Rozwijamy:**\n\n\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]\n\nDodajemy \\(4ab\\) do obu stron (co jest dozwolone, nie zmienia kierunku):\n\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]\n\n\\[(a+b)^2 \\ge 4ab\\]\n\n**Krok 3 - Dzielimy przez \\(2ab(a+b)\\).**\n\nPonieważ \\(a, b > 0\\), mamy \\(2ab > 0\\) i \\(a+b > 0\\), więc \\(2ab(a+b) > 0\\) - **kierunek nierówności niezmieniony**:\n\n\\[\\frac{(a+b)^2}{2ab(a+b)} \\ge \\frac{4ab}{2ab(a+b)}\\]\n\n\\[\\frac{a+b}{2ab} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]\n\n**Krok 4 - Rozpisujemy lewą stronę:**\n\n\\[\\frac{a+b}{2ab} = \\frac{a}{2ab} + \\frac{b}{2ab} = \\frac{1}{2b} + \\frac{1}{2a}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]\n\nco kończy dowód. Równość gdy \\(a = b\\). \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy bezpośrednio z wzorów z karty CKE.\n\nDowód opiera się na **elementarnej własności kwadratów** \\((a-b)^2 \\ge 0\\) oraz na **wzorze skróconego mnożenia** \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) - jest to wzór ze szkoły podstawowej, ale można go znaleźć w:\n\n> **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n> \\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n> Użyliśmy go w obu sposobach jako kluczowy element dowodu.\n\n**Kontekst matematyczny:** udowodniona nierówność wyraża relację między **średnią harmoniczną** a **średnią arytmetyczną** liczb \\(a\\) i \\(b\\):\n\\[\\underbrace{\\frac{2ab}{a+b}}_{\\text{śr. harmoniczna}} \\le \\underbrace{\\frac{a+b}{2}}_{\\text{śr. arytmetyczna}}\\]\nco jest klasyczną nierównością \\(H \\le A\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy redukujesz nierówność, mnożąc przez mianowniki, **sprawdź znak**. Tu \\(2ab > 0\\) i \\(a+b > 0\\), bo \\(a, b > 0\\) - gdyby mogły być ujemne, kierunek nierówności mógłby się odwrócić i dowód byłby błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie możesz po prostu napisać „przekształcam i wychodzi \\((a-b)^2 \\ge 0\\), więc prawda\". Musisz wyraźnie zaznaczyć, że **każde przekształcenie jest równoważne** (lub napisać dowód w kierunku od \\((a-b)^2 \\ge 0\\) do tezy, jak w Sposobie 2).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a, b > 0\\) jest kluczowy - bez niego mianowniki mogłyby być zerowe lub ujemne, a nierówność mogłaby nie zachodzić.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wzoru skróconego\nPonieważ \\(a,b > 0\\), mamy \\(a+b>0\\) i \\(2ab>0\\). Lewa strona:\n\\[\\tfrac{1}{2a} + \\tfrac{1}{2b} = \\tfrac{b+a}{2ab} = \\tfrac{a+b}{2ab}.\\]\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[\\tfrac{a+b}{2ab} \\ge \\tfrac{2}{a+b}.\\]\nMnożymy obie strony przez \\(2ab(a+b) > 0\\) (znak bez zmiany):\n\\[(a+b)^2 \\ge 4ab.\\]\nPrzekształcamy:\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]\n\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]\n\\[(a-b)^2 \\ge 0.\\]\nTa nierówność jest **zawsze prawdziwa** dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a, b\\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a=b\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Różnica stron i wspólny mianownik\nPokazujemy, że \\(L - P \\ge 0\\):\n\\[\\tfrac{a+b}{2ab} - \\tfrac{2}{a+b} = \\tfrac{(a+b)^2 - 4ab}{2ab(a+b)} = \\tfrac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}.\\]\nPonieważ \\(a, b > 0\\), mianownik jest dodatni, a licznik \\((a-b)^2 \\ge 0\\). Zatem cały ułamek \\(\\ge 0\\), czyli \\(L \\ge P\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Nierówność między średnimi (AM-HM)\nDla liczb dodatnich \\(a, b\\): średnia arytmetyczna \\(\\ge\\) średnia harmoniczna:\n\\[\\tfrac{a+b}{2} \\ge \\tfrac{2}{\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}}.\\]\nPrzekształcając (oba wyrażenia dodatnie):\n\\[\\tfrac{1}{a} + \\tfrac{1}{b} \\ge \\tfrac{4}{a+b}\\]\nDzielimy obie strony przez \\(2\\):\n\\[\\tfrac{1}{2a} + \\tfrac{1}{2b} \\ge \\tfrac{2}{a+b}. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Uwaga:** Kluczowym krokiem w każdym sposobie jest rozpoznanie wzoru \\((a-b)^2 \\ge 0\\) - uniwersalna \"ratunkowa\" tożsamość w dowodach nierówności.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność
1
1
2
2
2
a
b
a
b
≥

\n

MMA_1P
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do
obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od
2
1
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
B
A
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego
\n

mnożenia na
oraz
(2.1).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Nierówność możemy przekształcić równoważnie
Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc
i
. Mnożąc obie strony nierówności
przez
, otrzymujemy
,
,
,
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności
również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.
3
125
0
x +
2
64
0
x -
3
125
0
x +
2
64
0
x -
5
x = -
8
x =
8
x = -
3
125
0
x +
2
64
0
x -
(
)(
)
3
2
125
64
x
x
{
}
8
5 8
∈

x
,
,
(
)
2
a
b
±
2
2
a
b
2
2
a
b
ab
a
b
≥
0
a
b

\n
\n

2
0
ab >
(
)
2ab a
b
(
)
2
4
a
b
ab
≥
2
2
2
4
a
ab
b
ab
≥
2
2
2
0
a
ab
b
≥
(
)
2
0
a
b
≥
II sposób
Nierówność możemy przekształcić równoważnie
2
0
2
a
b
ab
a
b
≥
,
Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc
i
. Mnożąc obie strony nierówności
przez
, otrzymujemy
,
,
,
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności
również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze nierówność w postaci
lub
, lub
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to
\n

otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność
\n

i nie powoła
się na stosowne twierdzenie, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem
\n

nierówności
, to otrzymuje 2 punkty.
(
)
(
)
2
4
0
2
a
b
ab
ab a
b
≥
0
a
b

\n
\n

2
0
ab >
(
)
2ab a
b
(
)
2
4
0
a
b
ab
≥
2
2
2
4
0
a
ab
b
ab
≥
2
2
2
0
a
ab
b
≥
(
)
2
0
a
b
≥
(
)
2
4
a
b
ab
≥
(
)
2
4
0
a
b
ab
≥
(
)
(
)
2
4
0
2
a
b
ab
ab a
b
≥
2
2
2
a
b
ab
≥
(
)
2
0
a
b
≥

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Twierdzenie prawdziwe - dowód poniżej

\n

To zadanie otwarte. Należy udowodnić nierówność dla dowolnych \\(a, b > 0\\).

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna)

\n

Krok 1 - Upraszczamy lewą stronę.

\n

Dodajemy ułamki, sprowadzając do wspólnego mianownika:

\n

\\[\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} = \\frac{b}{2ab} + \\frac{a}{2ab} = \\frac{a+b}{2ab}\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:

\n

\\[\\frac{a+b}{2ab} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]

\n

Krok 2 - Pozbywamy się mianowników.

\n

Ponieważ \\(a, b > 0\\), mamy \\(2ab > 0\\) oraz \\(a+b > 0\\), więc mnożymy obie strony przez \\(2ab(a+b) > 0\\) - kierunek nierówności się nie zmienia:

\n

\\[(a+b)^2 \\ge 4ab\\]

\n

Krok 3 - Rozwijamy lewą stronę:

\n

\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]

\n

Przenosimy \\(4ab\\) na lewą stronę:

\n

\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]

\n

\\[(a - b)^2 \\ge 0\\]

\n

Krok 4 - Wniosek.

\n

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - nierówność \\((a-b)^2 \\ge 0\\) jest zawsze prawdziwa.

\n

Ponieważ każdy krok był równoważny (mnożyliśmy przez dodatnie wyrażenia), udowodniliśmy, że:

\n

\\[\\boxed{\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} \\ge \\frac{2}{a+b}}\\]

\n

dla dowolnych \\(a, b > 0\\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = b\\). \\(\\square\\)

\n

Sposób 2 - Dowód wprost (z nierówności \\((a-b)^2 \\ge 0\\))

\n

Zamiast redukować nierówność, budujemy dowód w drugą stronę - od prawdy do tezy.

\n

Krok 1 - Zaczynamy od faktu oczywistego:

\n

Dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a, b\\):

\n

\\[(a-b)^2 \\ge 0\\]

\n

Krok 2 - Rozwijamy:

\n

\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]

\n

Dodajemy \\(4ab\\) do obu stron (co jest dozwolone, nie zmienia kierunku):

\n

\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]

\n

\\[(a+b)^2 \\ge 4ab\\]

\n

Krok 3 - Dzielimy przez \\(2ab(a+b)\\).

\n

Ponieważ \\(a, b > 0\\), mamy \\(2ab > 0\\) i \\(a+b > 0\\), więc \\(2ab(a+b) > 0\\) - kierunek nierówności niezmieniony:

\n

\\[\\frac{(a+b)^2}{2ab(a+b)} \\ge \\frac{4ab}{2ab(a+b)}\\]

\n

\\[\\frac{a+b}{2ab} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]

\n

Krok 4 - Rozpisujemy lewą stronę:

\n

\\[\\frac{a+b}{2ab} = \\frac{a}{2ab} + \\frac{b}{2ab} = \\frac{1}{2b} + \\frac{1}{2a}\\]

\n

Stąd:

\n

\\[\\frac{1}{2a} + \\frac{1}{2b} \\ge \\frac{2}{a+b}\\]

\n

co kończy dowód. Równość gdy \\(a = b\\). \\(\\square\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie korzystamy bezpośrednio z wzorów z karty CKE.

\n

Dowód opiera się na elementarnej własności kwadratów \\((a-b)^2 \\ge 0\\) oraz na wzorze skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) - jest to wzór ze szkoły podstawowej, ale można go znaleźć w:

\n
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w obu sposobach jako kluczowy element dowodu.
\n

Kontekst matematyczny: udowodniona nierówność wyraża relację między średnią harmoniczną a średnią arytmetyczną liczb \\(a\\) i \\(b\\):
\\[\\underbrace{\\frac{2ab}{a+b}}{\\text{śr. harmoniczna}} \\le \\underbrace{\\frac{a+b}{2}}{\\text{śr. arytmetyczna}}\\]
co jest klasyczną nierównością \\(H \\le A\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy redukujesz nierówność, mnożąc przez mianowniki, sprawdź znak. Tu \\(2ab > 0\\) i \\(a+b > 0\\), bo \\(a, b > 0\\) - gdyby mogły być ujemne, kierunek nierówności mógłby się odwrócić i dowód byłby błędny.
\n
⚠️ Uwaga: Nie możesz po prostu napisać „przekształcam i wychodzi \\((a-b)^2 \\ge 0\\), więc prawda". Musisz wyraźnie zaznaczyć, że każde przekształcenie jest równoważne (lub napisać dowód w kierunku od \\((a-b)^2 \\ge 0\\) do tezy, jak w Sposobie 2).
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(a, b > 0\\) jest kluczowy - bez niego mianowniki mogłyby być zerowe lub ujemne, a nierówność mogłaby nie zachodzić.
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wzoru skróconego
\n

Ponieważ \\(a,b > 0\\), mamy \\(a+b>0\\) i \\(2ab>0\\). Lewa strona:
\\[\\tfrac{1}{2a} + \\tfrac{1}{2b} = \\tfrac{b+a}{2ab} = \\tfrac{a+b}{2ab}.\\]
Nierówność przyjmuje postać:
\\[\\tfrac{a+b}{2ab} \\ge \\tfrac{2}{a+b}.\\]
Mnożymy obie strony przez \\(2ab(a+b) > 0\\) (znak bez zmiany):
\\[(a+b)^2 \\ge 4ab.\\]
Przekształcamy:
\\[a^2 + 2ab + b^2 \\ge 4ab\\]
\\[a^2 - 2ab + b^2 \\ge 0\\]
\\[(a-b)^2 \\ge 0.\\]
Ta nierówność jest zawsze prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a, b\\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a=b\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Różnica stron i wspólny mianownik
\n

Pokazujemy, że \\(L - P \\ge 0\\):
\\[\\tfrac{a+b}{2ab} - \\tfrac{2}{a+b} = \\tfrac{(a+b)^2 - 4ab}{2ab(a+b)} = \\tfrac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}.\\]
Ponieważ \\(a, b > 0\\), mianownik jest dodatni, a licznik \\((a-b)^2 \\ge 0\\). Zatem cały ułamek \\(\\ge 0\\), czyli \\(L \\ge P\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 3 - Nierówność między średnimi (AM-HM)
\n

Dla liczb dodatnich \\(a, b\\): średnia arytmetyczna \\(\\ge\\) średnia harmoniczna:
\\[\\tfrac{a+b}{2} \\ge \\tfrac{2}{\\tfrac{1}{a}+\\tfrac{1}{b}}.\\]
Przekształcając (oba wyrażenia dodatnie):
\\[\\tfrac{1}{a} + \\tfrac{1}{b} \\ge \\tfrac{4}{a+b}\\]
Dzielimy obie strony przez \\(2\\):
\\[\\tfrac{1}{2a} + \\tfrac{1}{2b} \\ge \\tfrac{2}{a+b}. \\quad \\blacksquare\\]

\n

Uwaga: Kluczowym krokiem w każdym sposobie jest rozpoznanie wzoru \\((a-b)^2 \\ge 0\\) - uniwersalna "ratunkowa" tożsamość w dowodach nierówności.

"}]}