{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu\ni własności okręgów stycznych (7.2).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\noraz\n. Zatem\nŚrednica okręgu o środku B i promieniu r jest krótsza od odcinka SE, więc\n, czyli\nCo kończy dowód.\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy\n,\noraz\nPonieważ\n, więc otrzymujemy\n,\n2 2\nAS =\n2\nAE =\n2 2\n2\nSE =\n2\n2\n2\n2\n<\nr\n1\n2 -\n<\nr\n2 2\nAS =\n2\nBS\nr\n2\nAE =\nAS\nBS\nBE\nAE\n2 2\n2\n2\nr\nr\n(\n)\n2\n1\n2 2\n2\nr\nB\nA\nS\nC\nD\n2\n2\n2\nE\nr\nr\nB\nA\nS\nC\nD\n2\n2\n2\nE\nr\nr\nG\nF\nStąd mnożąc obie strony tego równania przez\notrzymujemy\n,\n,\n,\nSprawdźmy, czy\nPrzekształcamy tę nierówność równoważnie.\nPonieważ\n, więc\n. Oznacza to, że\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy\nalbo\n• zapisze równość\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy r i zapisze wynik w postaci ułamka, w którym\nw mianowniku występuje liczba niewymierna, np.\n, i błędnie szacuje tę liczbę,\nnp. stosując takie same przybliżenia z niedomiarem\nw liczniku i w mianowniku,\nto otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że długość odcinka, którego jednym końcem jest punkt\nstyczności okręgów, a drugim wierzchołek kąta prostego, jest równa długości średnicy\nmniejszego okręgu i nie wycofa się z tego założenia oraz nie obliczy długości wspomnianego\nodcinka, to otrzymuje 0 punktów.\n2\n1\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n1\n2\n1\nr\n(\n)\n2\n2\n2\n1\nr =\n(\n)\n2 2\n2 2\n1\nr =\n(\n)\n2 3\n2 2\nr =\n(\n)\n2 3\n2 2\n2\n1\n<\n6\n4 2\n2\n1\n<\n7\n5 2\n<\n2\n1,41\n1,4\n≈\n>\n5 2\n7\n>\n2\n1\nr <\n2 2\n2\nSE =\n2 2\n2\n2\nr\nr\n2 2\n2\n2\n1\nr\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie (zadanie otwarte)\n\nNależy pokazać, że promień \\(r\\) okręgu o środku \\(B\\) spełnia \\(r < \\sqrt{2} - 1\\).\n\n## Sposób 1 - układ współrzędnych i wyznaczenie \\(r\\)\n\n**Ustawienie układu.** Wierzchołek kąta prostego umieszczamy w początku układu \\(O = (0, 0)\\), a ramiona wzdłuż dodatnich półosi \\(OX\\) i \\(OY\\).\n\n**Obserwacja kluczowa.** Jeśli okrąg jest styczny do obu półprostych (osi \\(OX\\) i \\(OY\\)), jego środek musi leżeć w odległości równej promieniowi od każdej osi. Zatem środek okręgu o promieniu \\(\\rho\\) leży w punkcie \\((\\rho, \\rho)\\) - na dwusiecznej kąta prostego.\n\nStąd:\n- **Okrąg A:** środek \\(A = (2, 2)\\), promień \\(2\\)\n- **Okrąg B:** środek \\(B = (r, r)\\), promień \\(r\\) - gdzie \\(r < 2\\) (B leży bliżej wierzchołka)\n\n**Warunek zewnętrznej styczności.** Odległość między środkami równa się sumie promieni:\n\n\\[|AB| = 2 + r\\]\n\nObliczamy \\(|AB|\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(2 - r)^2 + (2 - r)^2} = (2 - r)\\sqrt{2}\\]\n\n(korzystamy z \\(r < 2\\), więc \\(2 - r > 0\\))\n\n**Równanie:**\n\\[(2 - r)\\sqrt{2} = 2 + r\\]\n\n\\[2\\sqrt{2} - r\\sqrt{2} = 2 + r\\]\n\n\\[2\\sqrt{2} - 2 = r\\sqrt{2} + r = r(\\sqrt{2} + 1)\\]\n\n\\[\\boxed{r = \\frac{2(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2} + 1}}\\]\n\n**Dowód nierówności.** Chcemy pokazać, że \\(r < \\sqrt{2} - 1\\), czyli:\n\n\\[\\frac{2(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2} + 1} < \\sqrt{2} - 1\\]\n\nPonieważ \\(\\sqrt{2} - 1 > 0\\), dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{2} - 1\\):\n\n\\[\\frac{2}{\\sqrt{2} + 1} < 1\\]\n\n\\[2 < \\sqrt{2} + 1\\]\n\n\\[1 < \\sqrt{2}\\]\n\nTa ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ \\(1^2 = 1 < 2\\), a obie strony są dodatnie.\n\n**Zatem \\(r < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie jawnej wartości \\(r\\) i porównanie\n\nZ Sposobu 1 mamy \\(r = \\dfrac{2(\\sqrt{2}-1)}{\\sqrt{2}+1}\\). Wymnożymy licznik i mianownik przez \\((\\sqrt{2} - 1)\\):\n\n\\[r = \\frac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)} = \\frac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{2 - 1} = 2(\\sqrt{2}-1)^2\\]\n\nRozwijamy:\n\\[r = 2(2 - 2\\sqrt{2} + 1) = 2(3 - 2\\sqrt{2}) = 6 - 4\\sqrt{2}\\]\n\nTeraz sprawdzamy nierówność \\(6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\):\n\n\\[6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\]\n\n\\[7 < 5\\sqrt{2}\\]\n\n\\[\\frac{7}{5} < \\sqrt{2}\\]\n\n\\[1{,}4 < \\sqrt{2}\\]\n\nPodnosimy do kwadratu (obie strony dodatnie):\n\n\\[1{,}96 < 2 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\(r = 6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - własność okręgu wpisanego w kąt:\nokrąg styczny do obu ramion kąta ma środek na jego dwusiecznej w odległości \\(r/\\sin(\\alpha/2)\\) od wierzchołka (dla kąta prostego \\(\\alpha = 90°\\) środek leży w odległości \\(r\\sqrt{2}\\) od wierzchołka).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość między punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \\(|AB| = (2-r)\\sqrt{2}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach przy upraszczaniu \\(\\sqrt{2}\\) i mnożeniu przez sprzężenie \\((\\sqrt{2}-1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie, że środek okręgu stycznego do obu ramion kąta leży na dwusiecznej tego kąta w odległości \\(r\\sqrt{2}\\) od wierzchołka (nie w odległości \\(r\\)). Dla kąta prostego dwusieczna to prosta \\(y = x\\), więc środek to \\((r, r)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(|AB|\\) trzeba uważać na znak: zakładamy, że \\(r < 2\\) (okrąg B leży bliżej wierzchołka niż A), więc \\(2 - r > 0\\) i można wyciągnąć bez wartości bezwzględnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie prosi o uzasadnienie nierówności \\(r < \\sqrt{2}-1\\), a nie o obliczenie \\(r\\). Wystarczy doprowadzić do prostej prawdy \\(1 < \\sqrt{2}\\) - nie trzeba liczyć wartości dziesiętnej.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Porównanie z odcinkiem SE (CKE I sposób)\nOznaczmy \\(S\\) - wierzchołek kąta prostego, \\(r\\) - promień okręgu o środku \\(B\\), \\(E\\) - punkt styczności okręgów zewnętrznej.\n\nDla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego (o promieniu \\(R\\)), środek leży na dwusiecznej kąta w odległości \\(R\\sqrt{2}\\) od wierzchołka (bo odległości od boku = \\(R\\)).\n\\[|SA| = 2\\sqrt{2}, \\qquad |SB| = r\\sqrt{2}.\\]\n\nOdcinek \\(AB\\) przechodzi przez punkt styczności okręgów \\(E\\), przy czym \\(|AE| = 2\\) (promień większego okręgu). Zatem:\n\\[|SE| = |SA| - |AE| = 2\\sqrt{2} - 2.\\]\n\nPunkt \\(B\\) leży wewnątrz odcinka \\(SE\\), a **średnica** mniejszego okręgu \\(2r\\) leży w całości w odcinku \\(SE\\) (okrąg zawiera się między wierzchołkiem kąta a punktem \\(E\\)). Stąd:\n\\[2r < |SE| = 2\\sqrt{2} - 2 \\Rightarrow r < \\sqrt{2} - 1. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie równanie na r (CKE II sposób)\nWykorzystując \\(|SA| = |SB| + |BE| + |EA|\\) (punkty kolinearne na dwusiecznej):\n\\[2\\sqrt{2} = r\\sqrt{2} + r + 2.\\]\nStąd:\n\\[r(\\sqrt{2}+1) = 2\\sqrt{2} - 2 = 2(\\sqrt{2}-1).\\]\n\\[r = \\tfrac{2(\\sqrt{2}-1)}{\\sqrt{2}+1}.\\]\nUsuwamy niewymierność z mianownika (mnożymy przez \\(\\sqrt{2}-1\\)):\n\\[r = \\tfrac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)} = \\tfrac{2(3-2\\sqrt{2})}{1} = 2(3-2\\sqrt{2}) = 6 - 4\\sqrt{2}.\\]\n\nPokazujemy \\(6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2}-1\\):\n\\[6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1 \\iff 7 < 5\\sqrt{2} \\iff 49 < 50. \\quad ✓\\]\nZatem \\(r < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Uwaga:** dla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego z wierzchołkiem \\(S\\), środek zawsze leży na dwusiecznej, a odległość od \\(S\\) to \\(R\\sqrt{2}\\) (przekątna kwadratu utworzonego przez promienie do punktów styczności).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-4)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu
\n

i własności okręgów stycznych (7.2).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy
oraz
. Zatem
Średnica okręgu o środku B i promieniu r jest krótsza od odcinka SE, więc
, czyli
Co kończy dowód.
II sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy
,
oraz
Ponieważ
, więc otrzymujemy
,
2 2
AS =
2
AE =
2 2
2
SE =
2
2
2
2
<
r
1
2 -
<
r
2 2
AS =
2
BS
r
2
AE =
AS
BS
BE
AE
2 2
2
2
r
r
(
)
2
1
2 2
2
r
B
A
S
C
D
2
2
2
E
r
r
B
A
S
C
D
2
2
2
E
r
r
G
F
Stąd mnożąc obie strony tego równania przez
otrzymujemy
,
,
,
Sprawdźmy, czy
Przekształcamy tę nierówność równoważnie.
Ponieważ
, więc
. Oznacza to, że
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy
albo
• zapisze równość
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy r i zapisze wynik w postaci ułamka, w którym
\n

w mianowniku występuje liczba niewymierna, np.
, i błędnie szacuje tę liczbę,
np. stosując takie same przybliżenia z niedomiarem
w liczniku i w mianowniku,
to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że długość odcinka, którego jednym końcem jest punkt
\n

styczności okręgów, a drugim wierzchołek kąta prostego, jest równa długości średnicy
mniejszego okręgu i nie wycofa się z tego założenia oraz nie obliczy długości wspomnianego
odcinka, to otrzymuje 0 punktów.
2
1
(
)(
)
(
)(
)
2
1
2
1
2
2
1
2
1
r
(
)
2
2
2
1
r =
(
)
2 2
2 2
1
r =
(
)
2 3
2 2
r =
(
)
2 3
2 2
2
1
<
6
4 2
2
1
<
7
5 2
<
2
1,41
1,4
≈

\n
\n

5 2
7

\n
\n

2
1
r <
2 2
2
SE =
2 2
2
2
r
r
2 2
2
2
1
r
2

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: uzasadnienie (zadanie otwarte)

\n

Należy pokazać, że promień \\(r\\) okręgu o środku \\(B\\) spełnia \\(r < \\sqrt{2} - 1\\).

\n

Sposób 1 - układ współrzędnych i wyznaczenie \\(r\\)

\n

Ustawienie układu. Wierzchołek kąta prostego umieszczamy w początku układu \\(O = (0, 0)\\), a ramiona wzdłuż dodatnich półosi \\(OX\\) i \\(OY\\).

\n

Obserwacja kluczowa. Jeśli okrąg jest styczny do obu półprostych (osi \\(OX\\) i \\(OY\\)), jego środek musi leżeć w odległości równej promieniowi od każdej osi. Zatem środek okręgu o promieniu \\(\\rho\\) leży w punkcie \\((\\rho, \\rho)\\) - na dwusiecznej kąta prostego.

\n

Stąd:

\n\n

Warunek zewnętrznej styczności. Odległość między środkami równa się sumie promieni:

\n

\\[|AB| = 2 + r\\]

\n

Obliczamy \\(|AB|\\):
\\[|AB| = \\sqrt{(2 - r)^2 + (2 - r)^2} = (2 - r)\\sqrt{2}\\]

\n

(korzystamy z \\(r < 2\\), więc \\(2 - r > 0\\))

\n

Równanie:
\\[(2 - r)\\sqrt{2} = 2 + r\\]

\n

\\[2\\sqrt{2} - r\\sqrt{2} = 2 + r\\]

\n

\\[2\\sqrt{2} - 2 = r\\sqrt{2} + r = r(\\sqrt{2} + 1)\\]

\n

\\[\\boxed{r = \\frac{2(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2} + 1}}\\]

\n

Dowód nierówności. Chcemy pokazać, że \\(r < \\sqrt{2} - 1\\), czyli:

\n

\\[\\frac{2(\\sqrt{2} - 1)}{\\sqrt{2} + 1} < \\sqrt{2} - 1\\]

\n

Ponieważ \\(\\sqrt{2} - 1 > 0\\), dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{2} - 1\\):

\n

\\[\\frac{2}{\\sqrt{2} + 1} < 1\\]

\n

\\[2 < \\sqrt{2} + 1\\]

\n

\\[1 < \\sqrt{2}\\]

\n

Ta ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ \\(1^2 = 1 < 2\\), a obie strony są dodatnie.

\n

Zatem \\(r < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - wyznaczenie jawnej wartości \\(r\\) i porównanie

\n

Z Sposobu 1 mamy \\(r = \\dfrac{2(\\sqrt{2}-1)}{\\sqrt{2}+1}\\). Wymnożymy licznik i mianownik przez \\((\\sqrt{2} - 1)\\):

\n

\\[r = \\frac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)} = \\frac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{2 - 1} = 2(\\sqrt{2}-1)^2\\]

\n

Rozwijamy:
\\[r = 2(2 - 2\\sqrt{2} + 1) = 2(3 - 2\\sqrt{2}) = 6 - 4\\sqrt{2}\\]

\n

Teraz sprawdzamy nierówność \\(6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\):

\n

\\[6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\]

\n

\\[7 < 5\\sqrt{2}\\]

\n

\\[\\frac{7}{5} < \\sqrt{2}\\]

\n

\\[1{,}4 < \\sqrt{2}\\]

\n

Podnosimy do kwadratu (obie strony dodatnie):

\n

\\[1{,}96 < 2 \\quad \\checkmark\\]

\n

Zatem \\(r = 6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - własność okręgu wpisanego w kąt:
okrąg styczny do obu ramion kąta ma środek na jego dwusiecznej w odległości \\(r/\\sin(\\alpha/2)\\) od wierzchołka (dla kąta prostego \\(\\alpha = 90°\\) środek leży w odległości \\(r\\sqrt{2}\\) od wierzchołka).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - odległość między punktami:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \\(|AB| = (2-r)\\sqrt{2}\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na pierwiastkach przy upraszczaniu \\(\\sqrt{2}\\) i mnożeniu przez sprzężenie \\((\\sqrt{2}-1)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie, że środek okręgu stycznego do obu ramion kąta leży na dwusiecznej tego kąta w odległości \\(r\\sqrt{2}\\) od wierzchołka (nie w odległości \\(r\\)). Dla kąta prostego dwusieczna to prosta \\(y = x\\), więc środek to \\((r, r)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(|AB|\\) trzeba uważać na znak: zakładamy, że \\(r < 2\\) (okrąg B leży bliżej wierzchołka niż A), więc \\(2 - r > 0\\) i można wyciągnąć bez wartości bezwzględnej.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie prosi o uzasadnienie nierówności \\(r < \\sqrt{2}-1\\), a nie o obliczenie \\(r\\). Wystarczy doprowadzić do prostej prawdy \\(1 < \\sqrt{2}\\) - nie trzeba liczyć wartości dziesiętnej.
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Porównanie z odcinkiem SE (CKE I sposób)
\n

Oznaczmy \\(S\\) - wierzchołek kąta prostego, \\(r\\) - promień okręgu o środku \\(B\\), \\(E\\) - punkt styczności okręgów zewnętrznej.

\n

Dla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego (o promieniu \\(R\\)), środek leży na dwusiecznej kąta w odległości \\(R\\sqrt{2}\\) od wierzchołka (bo odległości od boku = \\(R\\)).
\\[|SA| = 2\\sqrt{2}, \\qquad |SB| = r\\sqrt{2}.\\]

\n

Odcinek \\(AB\\) przechodzi przez punkt styczności okręgów \\(E\\), przy czym \\(|AE| = 2\\) (promień większego okręgu). Zatem:
\\[|SE| = |SA| - |AE| = 2\\sqrt{2} - 2.\\]

\n

Punkt \\(B\\) leży wewnątrz odcinka \\(SE\\), a średnica mniejszego okręgu \\(2r\\) leży w całości w odcinku \\(SE\\) (okrąg zawiera się między wierzchołkiem kąta a punktem \\(E\\)). Stąd:
\\[2r < |SE| = 2\\sqrt{2} - 2 \\Rightarrow r < \\sqrt{2} - 1. \\quad \\blacksquare\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednie równanie na r (CKE II sposób)
\n

Wykorzystując \\(|SA| = |SB| + |BE| + |EA|\\) (punkty kolinearne na dwusiecznej):
\\[2\\sqrt{2} = r\\sqrt{2} + r + 2.\\]
Stąd:
\\[r(\\sqrt{2}+1) = 2\\sqrt{2} - 2 = 2(\\sqrt{2}-1).\\]
\\[r = \\tfrac{2(\\sqrt{2}-1)}{\\sqrt{2}+1}.\\]
Usuwamy niewymierność z mianownika (mnożymy przez \\(\\sqrt{2}-1\\)):
\\[r = \\tfrac{2(\\sqrt{2}-1)^2}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)} = \\tfrac{2(3-2\\sqrt{2})}{1} = 2(3-2\\sqrt{2}) = 6 - 4\\sqrt{2}.\\]

\n

Pokazujemy \\(6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2}-1\\):
\\[6 - 4\\sqrt{2} < \\sqrt{2} - 1 \\iff 7 < 5\\sqrt{2} \\iff 49 < 50. \\quad ✓\\]
Zatem \\(r < \\sqrt{2} - 1\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Uwaga: dla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego z wierzchołkiem \\(S\\), środek zawsze leży na dwusiecznej, a odległość od \\(S\\) to \\(R\\sqrt{2}\\) (przekątna kwadratu utworzonego przez promienie do punktów styczności).

"}]}