Zadanie 30. (0-2)
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem
( )
x
a
x
f
(gdzie
0
a
i
1
a ≠), należy punkt
(
)
9
,2
P
. Oblicz a i zapisz zbiór wartości
funkcji g, określonej wzorem ( )
( )
2
g x
f x
Odpowiedź:
MMA_1P
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) =a^x (gdzie a>0 i a≠1), należy punkt P=(2,9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)=f(x)-2.
Zadanie 30. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
różnych podstaw (4.14). Zdający na podstawie wykresu funkcji
y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = -f(x),
y = f(-x) (4.4).
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ punkt P leży na wykresie funkcji f, więc możemy zapisać:
, gdzie
Stąd
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej f jest przedział
. Wykres funkcji g powstaje
przez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół. Zatem zbiorem wartości funkcji g
jest przedział
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy a:
albo
• zapisze zbiór wartości funkcji g:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy a:
i zapisze zbiór wartości funkcji g:
Uwaga
Opis zbioru wartości uznaje się za poprawny, jeśli zbiór ten jest przedstawiony graficznie
w sposób jednoznacznie wskazujący, że liczba
2
jest opisany słownie, lub jakąkolwiek poprawną nierównością.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór wartości funkcji
w postaci
, to przyznajemy 2 punkty, o ile obliczy
3
a =
2
9
a
0
a
3
a =
(
)
0, + ∞
(
)
2,
3
a =
(
)
2,
3
a =
(
)
2,
(
)
,
2
+∞-
\\(a = 3\\), zbiór wartości funkcji \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).
\nKrok 1: Wyznacz \\(a\\).
\nPunkt \\(P = (2, 9)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = a^x\\), więc jego współrzędne spełniają równanie funkcji:
\n\\[f(2) = 9\\]
\nPodstawiamy:
\n\\[a^2 = 9\\]
\nRozwiązujemy:
\n\\[a = 3 \\quad \\text{lub} \\quad a = -3\\]
\nAle z założenia \\(a > 0\\) i \\(a \\neq 1\\), więc odrzucamy \\(a = -3\\).
\nZatem \\(a = 3\\) i \\(f(x) = 3^x\\).
\nKrok 2: Wyznacz zbiór wartości funkcji \\(g(x) = f(x) - 2\\).
\nWiemy, że:
\n\\[g(x) = 3^x - 2\\]
\nZacznijmy od zbioru wartości \\(f(x) = 3^x\\).
\nFunkcja wykładnicza \\(3^x\\) dla \\(a = 3 > 1\\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie:
\n\\[f(x) = 3^x \\in (0, +\\infty) \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]
\nFunkcja \\(g\\) to \\(f\\) przesunięta o \\(2\\) w dół:
\n\\[g(x) = 3^x - 2\\]
\nKażda wartość \\(3^x\\) zmniejsza się o \\(2\\), więc:
\n\\[\\text{ZW}(g) = (0 - 2,\\ +\\infty) = (-2, +\\infty)\\]
\nZbiór wartości funkcji \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).
\nWeryfikacja \\(a = 3\\):
\n\\[f(2) = 3^2 = 9 \\checkmark\\]
\nPunkt \\(P = (2, 9)\\) rzeczywiście leży na wykresie - wynik poprawny.
\nZbiór wartości \\(g\\) - przez analizę asymptoty:
\nWykres \\(g(x) = 3^x - 2\\) to wykres \\(3^x\\) przesunięty o \\(2\\) jednostki w dół.
\nAsymptota pozioma \\(f(x) = 3^x\\) to prosta \\(y = 0\\) (oś \\(OX\\)).
\nPo przesunięciu o \\(2\\) w dół asymptota pozioma \\(g\\) to:
\n\\[y = 0 - 2 = -2\\]
\nPonieważ \\(3^x > 0\\) dla każdego \\(x\\), mamy \\(g(x) = 3^x - 2 > -2\\).
\nGdy \\(x \\to +\\infty\\): \\(g(x) \\to +\\infty\\).
\nGdy \\(x \\to -\\infty\\): \\(g(x) \\to -2\\) (ale nigdy nie osiąga \\(-2\\)).
\nFunkcja \\(g\\) jest ciągła i ściśle rosnąca, więc przyjmuje wszystkie wartości z przedziału:
\n\\[\\boxed{\\text{ZW}(g) = (-2, +\\infty)}\\]
\nDział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własności potęg:
\n\\[a^2 = 9 \\implies a = \\sqrt{9} = 3\\]
\nUżyliśmy definicji potęgi przy wyznaczaniu podstawy \\(a\\).
\nDział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - definicja funkcji wykładniczej jako odwrotności logarytmu:
\n\\[f(x) = a^x, \\quad a > 0, \\quad a \\neq 1\\]
\nWłasność kluczowa: \\(a^x > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - stąd wynika, że zbiór wartości \\(f\\) to \\((0, +\\infty)\\), a po odjęciu \\(2\\) zbiór wartości \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).
\n⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(a^2 = 9\\) daje dwa rozwiązania: \\(a = 3\\) i \\(a = -3\\). Trzeba odrzucić \\(a = -3\\), bo podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia (\\(a > 0\\)). Pominięcie tego warunku to częsty błąd!\n
⚠️ Uwaga: Zbiór wartości \\(g(x) = 3^x - 2\\) to \\((-2, +\\infty)\\) - przedział otwarty z lewej strony, bo \\(g(x)\\) nigdy nie osiąga \\(-2\\) (asymptota). Zapisanie \\(\\langle -2, +\\infty)\\) byłoby błędem.\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie wykresu o \\(2\\) w dół nie zmienia kształtu funkcji ani faktu, że jest rosnąca - ale zmienia asymptotę i zbiór wartości. Nie pomyl z przesunięciem poziomym \\(f(x-2)\\), które przesuwa wykres w prawo.\n
Rozwiązanie: \\(a = 3\\), \\(Z_g = (-2, +\\infty)\\)
\nKrok 1 - wyznaczenie \\(a\\). Skoro \\(P = (2, 9)\\) należy do wykresu \\(f\\):
\\[f(2) = a^2 = 9 \\Rightarrow a = 3 \\text{ lub } a = -3.\\]
Z założenia \\(a > 0\\), zatem \\(a = 3\\).
Krok 2 - zbiór wartości \\(g\\). Funkcja wykładnicza \\(f(x) = 3^x\\) ma zbiór wartości \\((0, +\\infty)\\). Funkcja \\(g(x) = f(x) - 2\\) powstaje przez przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(2\\) jednostki w dół:
\\[y = f(x) \\in (0, +\\infty) \\Rightarrow y - 2 = g(x) \\in (-2, +\\infty).\\]
Dla \\(f(x) = 3^x\\):
\nFunkcja \\(g\\) jest ciągła i rosnąca, więc przyjmuje wszystkie wartości między \\(-2\\) (wyłącznie) a \\(+\\infty\\). Zbiór wartości: \\((-2, +\\infty)\\).
\nOdpowiedź: \\(a = 3\\), zbiór wartości \\(g\\) to \\((-2, +\\infty)\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$(-2, +\\infty)$
"}]}