{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest równy 30, a suma jego\ndwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nKorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na\n:\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n:\nOtrzymujemy układ równań\ni\nStąd otrzymujemy\nII sposób\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n:\nOtrzymujemy równanie\nStąd otrzymujemy\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania z niewiadomymi\n1a i r wynikające z zastosowania poprawnych\nwzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego:\nnp.:\ni\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą\n1a wynikające z zastosowania poprawnego\nwzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania\nróżnicy ciągu:\nnp.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n12\na\n12\n1\n(12 1)\na\na\nr\n⋅\n12\nS\n1\n12\n2\n(12 1)\n12\n2\na\nr\nS\n⋅\n⋅\n1\n30\n11\na\nr\n1\n162\n12\n66\na\nr\n1\n3\na = -\n12\nS\n1\n12\n12\n12\n2\na\na\nS\n⋅\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\n1\n3\na = -\n1\n30\n11\na\nr\n1\n2\n11\n162\n12\n2\na\nr\n⋅\n⋅\n1\n30\n162\n12\n2\na +\n⋅\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą\ni obliczy pierwszy wyraz ciągu:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie\n12 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy\ni ustali, że\n, ale nie zapisze wszystkich 12 początkowych wyrazów ciągu, to\notrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\nlub\ni\n, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -3\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę przez wyraz dwunasty\n\nMamy dane:\n- \\(a_{12} = 30\\)\n- \\(S_{12} = 162\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 12\\), \\(a_{12} = 30\\), \\(S_{12} = 162\\):\n\\[162 = \\frac{a_1 + 30}{2} \\cdot 12\\]\n\n\\[162 = 6(a_1 + 30)\\]\n\n\\[a_1 + 30 = 27\\]\n\n\\[\\boxed{a_1 = -3}\\]\n\n## Sposób 2 - układ równań (wzór na \\(a_n\\) i wzór na \\(S_n\\))\n\nZapisujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\n**Równanie I** (wzór na wyraz ogólny):\n\\[a_{12} = a_1 + 11r = 30\\]\n\n**Równanie II** (wzór na sumę):\n\\[S_{12} = \\frac{2a_1 + 11r}{2} \\cdot 12 = 162\\]\n\nUpraszczamy równanie II:\n\\[6(2a_1 + 11r) = 162\\]\n\\[2a_1 + 11r = 27\\]\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} a_1 + 11r = 30 \\\\ 2a_1 + 11r = 27 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy równanie I od równania II:\n\\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\\]\n\\[a_1 = -3\\]\n\n**Wyznaczamy \\(r\\) (do weryfikacji):**\n\\[r = \\frac{30 - a_1}{11} = \\frac{30 - (-3)}{11} = \\frac{33}{11} = 3\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[S_{12} = \\frac{2 \\cdot (-3) + 11 \\cdot 3}{2} \\cdot 12 = \\frac{-6 + 33}{2} \\cdot 12 = \\frac{27}{2} \\cdot 12 = 162 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nW Sposobie 1 korzystaliśmy z pierwszej postaci sumy \\(\\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) - szczególnie wygodnej, gdy znamy ostatni (tu: dwunasty) wyraz. W Sposobie 2 użyliśmy obu wzorów jednocześnie, tworząc układ równań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \\(n\\) - wtedy dostajemy \\(\\frac{a_1 + 30}{2} = 162\\), co daje błędny wynik \\(a_1 = 294\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy układzie równań uważaj na odejmowanie - jeśli odejmiesz w złej kolejności, zmienisz znak i dostaniesz \\(a_1 = 3\\) zamiast \\(a_1 = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) ma \\((n-1)r\\), a nie \\(n \\cdot r\\). Dla \\(n=12\\) to \\(11r\\), nie \\(12r\\) - klasyczna pułapka!\n\n**Odpowiedź: \\(a_1 = -3\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę z wyrazem brzegowym\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\tfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n=12\\):\n\\[162 = \\tfrac{a_1 + a_{12}}{2}\\cdot 12 = \\tfrac{a_1 + 30}{2}\\cdot 12 = 6(a_1 + 30).\\]\nStąd:\n\\[162 = 6a_1 + 180\\]\n\\[6a_1 = -18 \\Rightarrow a_1 = -3.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ dwóch równań (dla \\(a_1\\) i \\(r\\))\nStosujemy dwa wzory:\n- \\(a_{12} = a_1 + 11r\\), czyli \\(a_1 + 11r = 30\\).\n- \\(S_{12} = \\tfrac{2a_1 + 11r}{2}\\cdot 12 = 6(2a_1 + 11r) = 162\\), czyli \\(2a_1 + 11r = 27\\).\n\nOdejmujemy pierwsze od drugiego:\n\\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\\]\n\\[a_1 = -3.\\]\n\n### Sposób 3 - Średnia ciągu arytmetycznego\nDla ciągu arytmetycznego średnia \\(n\\) początkowych wyrazów to \\(\\tfrac{a_1+a_n}{2}\\) (równa średniej \\(a_1\\) i \\(a_n\\)).\n\\[\\bar{a} = \\tfrac{S_{12}}{12} = \\tfrac{162}{12} = 13{,}5.\\]\nZ drugiej strony \\(\\bar{a} = \\tfrac{a_1+a_{12}}{2} = \\tfrac{a_1+30}{2}\\).\n\\[13{,}5 = \\tfrac{a_1+30}{2} \\Rightarrow a_1 + 30 = 27 \\Rightarrow a_1 = -3.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(a_1 = -3\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (
)
n
a
, określonego dla
1
n ≥, jest równy 30, a suma jego
dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n
\n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na
:
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na
:
Otrzymujemy układ równań
i
Stąd otrzymujemy
II sposób
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na
:
Otrzymujemy równanie
Stąd otrzymujemy
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania z niewiadomymi
1a i r wynikające z zastosowania poprawnych
wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego:
np.:
i
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą
1a wynikające z zastosowania poprawnego
wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania
różnicy ciągu:
np.:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
12
a
12
1
(12 1)
a
a
r
⋅
12
S
1
12
2
(12 1)
12
2
a
r
S
⋅
⋅
1
30
11
a
r
1
162
12
66
a
r
1
3
a = -
12
S
1
12
12
12
2
a
a
S
⋅
1
30
162
12
2
a +
⋅
1
3
a = -
1
30
11
a
r
1
2
11
162
12
2
a
r
⋅
⋅
1
30
162
12
2
a +
⋅
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą
i obliczy pierwszy wyraz ciągu:
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie
\n

12 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy
\n

i ustali, że
, ale nie zapisze wszystkich 12 początkowych wyrazów ciągu, to
otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko
\n

lub
i
, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = -3\\)

\n

Sposób 1 - wzór na sumę przez wyraz dwunasty

\n

Mamy dane:

\n\n

Korzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

Podstawiamy \\(n = 12\\), \\(a_{12} = 30\\), \\(S_{12} = 162\\):
\\[162 = \\frac{a_1 + 30}{2} \\cdot 12\\]

\n

\\[162 = 6(a_1 + 30)\\]

\n

\\[a_1 + 30 = 27\\]

\n

\\[\\boxed{a_1 = -3}\\]

\n

Sposób 2 - układ równań (wzór na \\(a_n\\) i wzór na \\(S_n\\))

\n

Zapisujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\):

\n

Równanie I (wzór na wyraz ogólny):
\\[a_{12} = a_1 + 11r = 30\\]

\n

Równanie II (wzór na sumę):
\\[S_{12} = \\frac{2a_1 + 11r}{2} \\cdot 12 = 162\\]

\n

Upraszczamy równanie II:
\\[6(2a_1 + 11r) = 162\\]
\\[2a_1 + 11r = 27\\]

\n

Mamy układ:
\\[\\begin{cases} a_1 + 11r = 30 \\\\ 2a_1 + 11r = 27 \\end{cases}\\]

\n

Odejmujemy równanie I od równania II:
\\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\\]
\\[a_1 = -3\\]

\n

Wyznaczamy \\(r\\) (do weryfikacji):
\\[r = \\frac{30 - a_1}{11} = \\frac{30 - (-3)}{11} = \\frac{33}{11} = 3\\]

\n

Weryfikacja:
\\[S_{12} = \\frac{2 \\cdot (-3) + 11 \\cdot 3}{2} \\cdot 12 = \\frac{-6 + 33}{2} \\cdot 12 = \\frac{27}{2} \\cdot 12 = 162 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzory dla ciągu arytmetycznego:

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

W Sposobie 1 korzystaliśmy z pierwszej postaci sumy \\(\\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) - szczególnie wygodnej, gdy znamy ostatni (tu: dwunasty) wyraz. W Sposobie 2 użyliśmy obu wzorów jednocześnie, tworząc układ równań.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: We wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \\(n\\) - wtedy dostajemy \\(\\frac{a_1 + 30}{2} = 162\\), co daje błędny wynik \\(a_1 = 294\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy układzie równań uważaj na odejmowanie - jeśli odejmiesz w złej kolejności, zmienisz znak i dostaniesz \\(a_1 = 3\\) zamiast \\(a_1 = -3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) ma \\((n-1)r\\), a nie \\(n \\cdot r\\). Dla \\(n=12\\) to \\(11r\\), nie \\(12r\\) - klasyczna pułapka!
\n

Odpowiedź: \\(a_1 = -3\\)

\n
Sposób 1 - Wzór na sumę z wyrazem brzegowym
\n

Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\tfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]
Dla \\(n=12\\):
\\[162 = \\tfrac{a_1 + a_{12}}{2}\\cdot 12 = \\tfrac{a_1 + 30}{2}\\cdot 12 = 6(a_1 + 30).\\]
Stąd:
\\[162 = 6a_1 + 180\\]
\\[6a_1 = -18 \\Rightarrow a_1 = -3.\\]

\n
Sposób 2 - Układ dwóch równań (dla \\(a_1\\) i \\(r\\))
\n

Stosujemy dwa wzory:

\n\n

Odejmujemy pierwsze od drugiego:
\\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\\]
\\[a_1 = -3.\\]

\n
Sposób 3 - Średnia ciągu arytmetycznego
\n

Dla ciągu arytmetycznego średnia \\(n\\) początkowych wyrazów to \\(\\tfrac{a_1+a_n}{2}\\) (równa średniej \\(a_1\\) i \\(a_n\\)).
\\[\\bar{a} = \\tfrac{S_{12}}{12} = \\tfrac{162}{12} = 13{,}5.\\]
Z drugiej strony \\(\\bar{a} = \\tfrac{a_1+a_{12}}{2} = \\tfrac{a_1+30}{2}\\).
\\[13{,}5 = \\tfrac{a_1+30}{2} \\Rightarrow a_1 + 30 = 27 \\Rightarrow a_1 = -3.\\]

\n

Odpowiedź: \\(a_1 = -3\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_1 = -3$

"}]}