{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nW układzie współrzędnych punkty\n(\n)\n3\n,4\nA\ni\n(\n)\n10,5\nB =\nsą wierzchołkami trójkąta ABC.\nWierzchołek C leży na prostej o równaniu\n3\n2 +\nx\ny\n. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego\nkąt ABC jest prosty.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nW układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (8.1).\nZdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi\nprzez dany punkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu\nprzecięcia dwóch prostych (8.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób - proste prostopadłe\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB\n1\n3\nAB\na\nPonieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie\nprostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B\nObliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych\nrównaniami\ni\n:\nStąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę\n32\n5\nx =\ni\n79\n5\ny =\nZatem punkt C ma współrzędne.(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nII sposób - twierdzenie Pitagorasa\nPonieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu\n,\nwięc jego współrzędne zapisujemy następująco\nPunkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że\nPo podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie\n,\n1a\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n1\n3\na = -\n3\nr =\n3\n35\ny\nx\n3\n2 +\nx\ny\n3\n35\ny\nx\n2\n3\n3\n35\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n3\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n2\n3\n5\nx\nx\nx\nx\nczyli równanie\nZatem\ni dalej\n32\n5\nx =\nJeśli\n32\n5\nx =\n, to\n79\n5\ny =\n. Zatem\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nIII sposób - iloczyn skalarny\nWektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest\nrówny 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów\ni\njest równy\n0.\nWspółrzędne wektora AB\n\nsą równe\n[\n]\n6,2\nAB =\n\nPunkt C ma współrzędne równe\n, więc współrzędne wektora\nsą równe\nZ warunku\n0\nAB BC =\n\n\notrzymujemy równanie\n,\n3\n30\n2\n2\n0\nx\nx\n,\n32\n5\nx =\nZatem\n(\n) (\n)\n32\n32\n32 79\n5\n5\n5\n5\n,2\n3\n,\nC =\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,\nnp.:\nlub\n(\n)\n3\n2 ,\ny\nC\ny\nalbo\n• zapisze równość\ni obliczy długość AB:\n,\nalbo\n• zapisze równość\ni zapisze jedną z długości\nlub\nw zależności od współrzędnych punktu C,\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\ni zapisze, że\n,\n2\n2\n2\n2\n8\n16\n4\n36\n4\n20\n100\n4\n8\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n20\n128\nx =\nAB\n\nBC\n\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2 2\n2\n0\nx\nx\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n2 10\nAB =\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\nAC\nBC\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\n0\nAB BC =\n\n\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od współrzędnych punktu C:\ni zapisze, że\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C,\nnp.:\n,\nalbo\n• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:\n1\n3\nAB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB\ni przechodzącej przez punkt B:\nalbo\n• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:\n,\nalbo\n• obliczy współrzędne wektora\n:\n, wyznaczy współrzędne wektora\nw zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.:\ni zapisze,\nże\n,\nalbo\n• zapisze równość wynikającą z warunku\n, w której niewiadomymi są dwie\nwspółrzędne punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy\n32\n5\nx =\nalbo\n79\n5\ny =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne punktu\n(\n)\n32 79\n5\n5\n,\nC =\nBC\n\n[\n]\n10,\n5\nBC\nx\ny\n\n0\nAB BC =\n\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n3\nBC\na\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n3\n10\n4\n5\n3\n10\n5\nx\ny\nx\ny\nAB\n\n[\n]\n6, 2\nAB =\n\nBC\n\n[\n]\n10, 2\n3\n5\nBC\nx\nx\n\n0\nAB BC =\n\n\n0\nAB BC =\n\n\n(\n)\n(\n)\n6\n10 +2\n5\n0\nx\ny\n(\n)\n2\n3\n3\n10\n5\nx\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego\nzagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.\n2. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia\nrozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:\na) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu\nwspółczynnika\n, np.\nzamiast\n, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nb) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania\nprostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;\nc) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,\nże zdający zapisze błędną równość:\n, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty;\nd) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ne) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru\nna odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty;\nf) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych\npunktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.:\n, to zdający otrzymuje\nco najwyżej 3 punkty;\ng) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego\nwspółczynnika b w równaniu prostej BC (np.\n), to zdający otrzymuje co najwyżej\n3 punkty.\n3. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,\nktóry jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym\njedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego\nwzoru „\n”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:\n, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n,\nto za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne\nzapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,\nnp.:\n6. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje\ninne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje\nco najwyżej 4 punkty.\n7. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego\npodstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.\nAB\na\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nA\nB\nA\nB\ny\ny\nx\nx\n2\n2\n2\nBC\nAB\nAC\n(\n)\n2\n3,\nC\nx\nx\n5\n3\na\nb\na\nb\n2\n2\n2\nAB\nBC\nAC\n3\n2 +\nx\ny\n(\n)\n, 2\n3\nC\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(C = \\left(\\dfrac{32}{5},\\ \\dfrac{79}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny)\n\nKąt \\(ABC\\) jest prosty, gdy odcinki \\(BA\\) i \\(BC\\) są prostopadłe - czyli gdy wektory \\(\\overrightarrow{BA}\\) i \\(\\overrightarrow{BC}\\) mają zerowy iloczyn skalarny.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BA}\\)**\n\n\\[\n\\overrightarrow{BA} = A - B = (4-10,\\ 3-5) = (-6,\\ -2)\n\\]\n\n**Krok 2: Parametryzujemy punkt C**\n\nPunkt \\(C\\) leży na prostej \\(y = 2x + 3\\), więc:\n\\[\nC = (t,\\ 2t+3) \\quad \\text{dla pewnego } t \\in \\mathbb{R}\n\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\)**\n\n\\[\n\\overrightarrow{BC} = C - B = (t-10,\\ 2t+3-5) = (t-10,\\ 2t-2)\n\\]\n\n**Krok 4: Warunek prostopadłości** \\(\\overrightarrow{BA} \\cdot \\overrightarrow{BC} = 0\\)\n\n\\[\n(-6)(t-10) + (-2)(2t-2) = 0\n\\]\n\\[\n-6t + 60 - 4t + 4 = 0\n\\]\n\\[\n-10t + 64 = 0\n\\]\n\\[\nt = \\frac{64}{10} = \\frac{32}{5}\n\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy współrzędne C**\n\n\\[\nx_C = \\frac{32}{5}, \\qquad y_C = 2 \\cdot \\frac{32}{5} + 3 = \\frac{64}{5} + \\frac{15}{5} = \\frac{79}{5}\n\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\n\\boxed{C = \\left(\\frac{32}{5},\\ \\frac{79}{5}\\right)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Warunek prostopadłości prostych (współczynnik kierunkowy)\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy nachylenie prostej \\(AB\\)**\n\n\\[\na_{AB} = \\frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \\frac{3 - 5}{4 - 10} = \\frac{-2}{-6} = \\frac{1}{3}\n\\]\n\n**Krok 2: Nachylenie prostej BC musi być prostopadłe do AB**\n\n\\[\na_{BC} \\cdot a_{AB} = -1 \\implies a_{BC} = \\frac{-1}{\\frac{1}{3}} = -3\n\\]\n\n**Krok 3: Równanie prostej BC** (przez \\(B = (10, 5)\\) z nachyleniem \\(-3\\))\n\n\\[\ny - 5 = -3(x - 10) \\implies y = -3x + 35\n\\]\n\n**Krok 4: Przecięcie prostej BC z prostą \\(y = 2x + 3\\)**\n\n\\[\n-3x + 35 = 2x + 3\n\\]\n\\[\n32 = 5x \\implies x = \\frac{32}{5}\n\\]\n\\[\ny = 2 \\cdot \\frac{32}{5} + 3 = \\frac{79}{5}\n\\]\n\nWynik identyczny: \\(C = \\left(\\dfrac{32}{5},\\ \\dfrac{79}{5}\\right)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nProste prostopadłe - warunek na współczynniki kierunkowe:\n\\[\na_1 \\cdot a_2 = -1\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BC\\).\n\nWektor między dwoma punktami:\n\\[\n\\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\overrightarrow{BA}\\) i \\(\\overrightarrow{BC}\\).\n\nWarunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny = 0):\n\\[\n\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako główny warunek zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(ABC\\) to kąt **przy wierzchołku B**, więc prostopadłość dotyczy odcinków **BA** i **BC** - nie AB i AC! Łatwo tu pomylić wektory i wziąć np. \\(\\overrightarrow{AB}\\) zamiast \\(\\overrightarrow{BA}\\) - na szczęście iloczyn skalarny daje ten sam wynik (bo \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{BC} = (-1)^2 \\cdot \\overrightarrow{BA} \\cdot \\overrightarrow{BC}\\)), ale przy metodzie współczynników kierunkowych już nie można pomylić, czego nachylenie wyznaczamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt C musi leżeć na danej prostej - to dodatkowy warunek. Samo wyznaczenie prostej prostopadłej do BA przez B nie wystarcza; trzeba jeszcze znaleźć przecięcie tej prostej z \\(y = 2x + 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{32}{5} = 6{,}4\\) i \\(\\frac{79}{5} = 15{,}8\\) - warto sprawdzić, czy punkt leży na prostej: \\(2 \\cdot 6{,}4 + 3 = 12{,}8 + 3 = 15{,}8\\) ✓. Zawsze wykonaj tę prostą weryfikację!\n\n**Odpowiedź: \\(C = \\left(\\tfrac{32}{5},\\ \\tfrac{79}{5}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Proste prostopadłe (współczynniki kierunkowe)\n**Krok 1 - współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\):**\n\\[a_{AB} = \\tfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\tfrac{5-3}{10-4} = \\tfrac{2}{6} = \\tfrac{1}{3}.\\]\n\n**Krok 2 - prosta \\(BC\\) prostopadła do \\(AB\\)** (kąt prosty przy \\(B\\)):\nWspółczynnik \\(a_{BC} = -\\tfrac{1}{a_{AB}} = -3\\).\nPrzechodzi przez \\(B=(10,5)\\):\n\\[y - 5 = -3(x - 10) \\Rightarrow y = -3x + 35.\\]\n\n**Krok 3 - punkt wspólny prostej \\(BC\\) i prostej \\(y = 2x+3\\):**\n\\[2x + 3 = -3x + 35 \\Rightarrow 5x = 32 \\Rightarrow x = \\tfrac{32}{5}.\\]\n\\[y = 2\\cdot\\tfrac{32}{5} + 3 = \\tfrac{64}{5} + \\tfrac{15}{5} = \\tfrac{79}{5}.\\]\n\\[C = \\left(\\tfrac{32}{5}, \\tfrac{79}{5}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Iloczyn skalarny wektorów\nWektor \\(\\vec{BA} = (4-10, 3-5) = (-6, -2)\\), \\(\\vec{BC} = (x_C - 10, y_C - 5)\\).\nKąt prosty przy \\(B\\) oznacza \\(\\vec{BA}\\circ\\vec{BC} = 0\\):\n\\[-6(x_C-10) + (-2)(y_C-5) = 0\\]\n\\[-6x_C + 60 - 2y_C + 10 = 0\\]\n\\[3x_C + y_C = 35.\\]\nPonieważ \\(C\\) leży na \\(y = 2x+3\\), mamy \\(y_C = 2x_C + 3\\):\n\\[3x_C + 2x_C + 3 = 35 \\Rightarrow 5x_C = 32 \\Rightarrow x_C = \\tfrac{32}{5}, \\ y_C = \\tfrac{79}{5}.\\]\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie Pitagorasa\n\\(C = (x, 2x+3)\\). Z Pitagorasa \\(|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2\\):\n\\[(x-4)^2 + (2x+3-3)^2 = (10-4)^2+(5-3)^2 + (x-10)^2+(2x+3-5)^2\\]\nPo uproszczeniu: \\(20x = 128 \\Rightarrow x = \\tfrac{32}{5}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(C = \\left(\\tfrac{32}{5}, \\tfrac{79}{5}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
W układzie współrzędnych punkty
(
)
3
,4
A
i
(
)
10,5
B =
są wierzchołkami trójkąta ABC.
Wierzchołek C leży na prostej o równaniu
3
2 +
x
y
. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego
kąt ABC jest prosty.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza
\n

równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (8.1).
Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub
prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi
przez dany punkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu
przecięcia dwóch prostych (8.4).
Przykładowe rozwiązania
I sposób - proste prostopadłe
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB
1
3
AB
a
Ponieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie
prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B
Obliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych
równaniami
i
:
Stąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę
32
5
x =
i
79
5
y =
Zatem punkt C ma współrzędne.(
)
32 79
5
5
,
II sposób - twierdzenie Pitagorasa
Ponieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu
,
więc jego współrzędne zapisujemy następująco
Punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
Po podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie
,
1a
1
3
a = -
1
3
a = -
1
3
a = -
1
3
a = -
1
3
a = -
3
r =
3
35
y
x
3
2 +
x
y
3
35
y
x
2
3
3
35
y
x
y
x



3
2 +
x
y
(
)
, 2
3
C
x
x
2
2
2
AC
AB
BC
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2
3
3
10
4
5
3
10
2
3
5
x
x
x
x
czyli równanie
Zatem
i dalej
32
5
x =
Jeśli
32
5
x =
, to
79
5
y =
. Zatem
(
)
32 79
5
5
,
C =
III sposób - iloczyn skalarny
Wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest
równy 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów
i
jest równy
0.
Współrzędne wektora AB

są równe
[
]
6,2
AB =

Punkt C ma współrzędne równe
, więc współrzędne wektora
są równe
Z warunku
0
AB BC =


otrzymujemy równanie
,
3
30
2
2
0
x
x
,
32
5
x =
Zatem
(
) (
)
32
32
32 79
5
5
5
5
,2
3
,
C =
⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,
np.:
lub
(
)
3
2 ,
y
C
y
albo
• zapisze równość
i obliczy długość AB:
,
albo
• zapisze równość
i zapisze jedną z długości
lub
w zależności od współrzędnych punktu C,
albo
• obliczy współrzędne wektora
:
i zapisze, że
,
2
2
2
2
8
16
4
36
4
20
100
4
8
4
x
x
x
x
x
x
x
20
128
x =
AB

BC

(
)
, 2
3
C
x
x
BC

[
]
10, 2
3
5
BC
x
x

(
)
(
)
6
10 +2 2
2
0
x
x
(
)
, 2
3
C
x
x
2
2
2
AC
AB
BC
2 10
AB =
2
2
2
AC
AB
BC
AC
BC
AB

[
]
6, 2
AB =

0
AB BC =


albo
• wyznaczy współrzędne wektora
w zależności od współrzędnych punktu C:
i zapisze, że
,
albo
• wyznaczy współrzędne wektora
w zależności od jednej współrzędnej punktu C,
np.:
,
albo
• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:
1
3
AB
a
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB
i przechodzącej przez punkt B:
albo
• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:
,
albo
• obliczy współrzędne wektora
:
, wyznaczy współrzędne wektora
w zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.:
i zapisze,
że
,
albo
• zapisze równość wynikającą z warunku
, w której niewiadomymi są dwie
współrzędne punktu C, np.:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy
32
5
x =
albo
79
5
y =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy i zapisze współrzędne punktu
(
)
32 79
5
5
,
C =
BC

[
]
10,
5
BC
x
y

0
AB BC =


BC

[
]
10, 2
3
5
BC
x
x

3
BC
a
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
10
4
5
3
10
5
x
y
x
y
AB

[
]
6, 2
AB =

BC

[
]
10, 2
3
5
BC
x
x

0
AB BC =


0
AB BC =


(
)
(
)
6
10 +2
5
0
x
y
(
)
2
3
3
10
5
x
x
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,
\n

to może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego
zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia
\n

rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:
a) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu
współczynnika
, np.
zamiast
, to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty;
b) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania
prostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;
c) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,
że zdający zapisze błędną równość:
, to zdający otrzymuje co
najwyżej 3 punkty;
d) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje
co najwyżej 3 punkty;
e) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru
na odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty;
f) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych
punktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.:
, to zdający otrzymuje
co najwyżej 3 punkty;
g) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego
współczynnika b w równaniu prostej BC (np.
), to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,
\n

który jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym
jedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego
wzoru „
”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:
\n

, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
\n

,
to za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne
zapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,
np.:

\n
  1. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje
\n

inne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje
co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego
\n

podstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.
AB
a
A
B
A
B
x
x
y
y
A
B
A
B
y
y
x
x
2
2
2
BC
AB
AC
(
)
2
3,
C
x
x
5
3
a
b
a
b
2
2
2
AB
BC
AC
3
2 +
x
y
(
)
, 2
3
C
x
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(C = \\left(\\dfrac{32}{5},\\ \\dfrac{79}{5}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Warunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny)

\n

Kąt \\(ABC\\) jest prosty, gdy odcinki \\(BA\\) i \\(BC\\) są prostopadłe - czyli gdy wektory \\(\\overrightarrow{BA}\\) i \\(\\overrightarrow{BC}\\) mają zerowy iloczyn skalarny.

\n

Krok 1: Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BA}\\)

\n

\\[
\\overrightarrow{BA} = A - B = (4-10,\\ 3-5) = (-6,\\ -2)
\\]

\n

Krok 2: Parametryzujemy punkt C

\n

Punkt \\(C\\) leży na prostej \\(y = 2x + 3\\), więc:
\\[
C = (t,\\ 2t+3) \\quad \\text{dla pewnego } t \\in \\mathbb{R}
\\]

\n

Krok 3: Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\)

\n

\\[
\\overrightarrow{BC} = C - B = (t-10,\\ 2t+3-5) = (t-10,\\ 2t-2)
\\]

\n

Krok 4: Warunek prostopadłości \\(\\overrightarrow{BA} \\cdot \\overrightarrow{BC} = 0\\)

\n

\\[
(-6)(t-10) + (-2)(2t-2) = 0
\\]
\\[
-6t + 60 - 4t + 4 = 0
\\]
\\[
-10t + 64 = 0
\\]
\\[
t = \\frac{64}{10} = \\frac{32}{5}
\\]

\n

Krok 5: Obliczamy współrzędne C

\n

\\[
x_C = \\frac{32}{5}, \\qquad y_C = 2 \\cdot \\frac{32}{5} + 3 = \\frac{64}{5} + \\frac{15}{5} = \\frac{79}{5}
\\]

\n

Wynik:
\\[
\\boxed{C = \\left(\\frac{32}{5},\\ \\frac{79}{5}\\right)}
\\]

\n

Sposób 2 - Warunek prostopadłości prostych (współczynnik kierunkowy)

\n

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\).

\n

Krok 1: Wyznaczamy nachylenie prostej \\(AB\\)

\n

\\[
a_{AB} = \\frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \\frac{3 - 5}{4 - 10} = \\frac{-2}{-6} = \\frac{1}{3}
\\]

\n

Krok 2: Nachylenie prostej BC musi być prostopadłe do AB

\n

\\[
a_{BC} \\cdot a_{AB} = -1 \\implies a_{BC} = \\frac{-1}{\\frac{1}{3}} = -3
\\]

\n

Krok 3: Równanie prostej BC (przez \\(B = (10, 5)\\) z nachyleniem \\(-3\\))

\n

\\[
y - 5 = -3(x - 10) \\implies y = -3x + 35
\\]

\n

Krok 4: Przecięcie prostej BC z prostą \\(y = 2x + 3\\)

\n

\\[
-3x + 35 = 2x + 3
\\]
\\[
32 = 5x \\implies x = \\frac{32}{5}
\\]
\\[
y = 2 \\cdot \\frac{32}{5} + 3 = \\frac{79}{5}
\\]

\n

Wynik identyczny: \\(C = \\left(\\dfrac{32}{5},\\ \\dfrac{79}{5}\\right)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Proste prostopadłe - warunek na współczynniki kierunkowe:
\\[
a_1 \\cdot a_2 = -1
\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BC\\).

\n

Wektor między dwoma punktami:
\\[
\\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]
\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\overrightarrow{BA}\\) i \\(\\overrightarrow{BC}\\).

\n

Warunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny = 0):
\\[
\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0
\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako główny warunek zadania.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(ABC\\) to kąt przy wierzchołku B, więc prostopadłość dotyczy odcinków BA i BC - nie AB i AC! Łatwo tu pomylić wektory i wziąć np. \\(\\overrightarrow{AB}\\) zamiast \\(\\overrightarrow{BA}\\) - na szczęście iloczyn skalarny daje ten sam wynik (bo \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{BC} = (-1)^2 \\cdot \\overrightarrow{BA} \\cdot \\overrightarrow{BC}\\)), ale przy metodzie współczynników kierunkowych już nie można pomylić, czego nachylenie wyznaczamy.
\n
⚠️ Uwaga: Punkt C musi leżeć na danej prostej - to dodatkowy warunek. Samo wyznaczenie prostej prostopadłej do BA przez B nie wystarcza; trzeba jeszcze znaleźć przecięcie tej prostej z \\(y = 2x + 3\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\frac{32}{5} = 6{,}4\\) i \\(\\frac{79}{5} = 15{,}8\\) - warto sprawdzić, czy punkt leży na prostej: \\(2 \\cdot 6{,}4 + 3 = 12{,}8 + 3 = 15{,}8\\) ✓. Zawsze wykonaj tę prostą weryfikację!
\n

Odpowiedź: \\(C = \\left(\\tfrac{32}{5},\\ \\tfrac{79}{5}\\right)\\)

\n
Sposób 1 - Proste prostopadłe (współczynniki kierunkowe)
\n

Krok 1 - współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\):
\\[a_{AB} = \\tfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\tfrac{5-3}{10-4} = \\tfrac{2}{6} = \\tfrac{1}{3}.\\]

\n

Krok 2 - prosta \\(BC\\) prostopadła do \\(AB\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):
Współczynnik \\(a_{BC} = -\\tfrac{1}{a_{AB}} = -3\\).
Przechodzi przez \\(B=(10,5)\\):
\\[y - 5 = -3(x - 10) \\Rightarrow y = -3x + 35.\\]

\n

Krok 3 - punkt wspólny prostej \\(BC\\) i prostej \\(y = 2x+3\\):
\\[2x + 3 = -3x + 35 \\Rightarrow 5x = 32 \\Rightarrow x = \\tfrac{32}{5}.\\]
\\[y = 2\\cdot\\tfrac{32}{5} + 3 = \\tfrac{64}{5} + \\tfrac{15}{5} = \\tfrac{79}{5}.\\]
\\[C = \\left(\\tfrac{32}{5}, \\tfrac{79}{5}\\right).\\]

\n
Sposób 2 - Iloczyn skalarny wektorów
\n

Wektor \\(\\vec{BA} = (4-10, 3-5) = (-6, -2)\\), \\(\\vec{BC} = (x_C - 10, y_C - 5)\\).
Kąt prosty przy \\(B\\) oznacza \\(\\vec{BA}\\circ\\vec{BC} = 0\\):
\\[-6(x_C-10) + (-2)(y_C-5) = 0\\]
\\[-6x_C + 60 - 2y_C + 10 = 0\\]
\\[3x_C + y_C = 35.\\]
Ponieważ \\(C\\) leży na \\(y = 2x+3\\), mamy \\(y_C = 2x_C + 3\\):
\\[3x_C + 2x_C + 3 = 35 \\Rightarrow 5x_C = 32 \\Rightarrow x_C = \\tfrac{32}{5}, \\ y_C = \\tfrac{79}{5}.\\]

\n
Sposób 3 - Twierdzenie Pitagorasa
\n

\\(C = (x, 2x+3)\\). Z Pitagorasa \\(|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2\\):
\\[(x-4)^2 + (2x+3-3)^2 = (10-4)^2+(5-3)^2 + (x-10)^2+(2x+3-5)^2\\]
Po uproszczeniu: \\(20x = 128 \\Rightarrow x = \\tfrac{32}{5}\\).

\n

Odpowiedź: \\(C = \\left(\\tfrac{32}{5}, \\tfrac{79}{5}\\right)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$C = \\left(\\dfrac{32}{5}, \\dfrac{79}{5}\\right)$

"}]}