{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDane są dwa zbiory:\n{\n}\n100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\nA =\ni\n{\n}\n10,11,12,13,14,15,16\nB =\nZ każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego\nna\ntym,\nże\nsuma\nwylosowanych\nliczb\nbędzie\npodzielna\nprzez\n3.\nObliczone\nprawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDane są dwa zbiory A={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B={10,11, 12, 13,14,15, 16} Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para\n, gdzie\ni\n. Zatem zbiór\nwszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna\nprzez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby\nmusi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n(\n)\n,x y\nx\nA\n∈\ny\nB\n∈\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n100,10 , 100,11 , 100,12 , 100,13 , 100,14 , 100,15 , 100,16 ,\n200,10 , 200,11 , 200,12 , 200,13 , 200,14 , 200,15 , 200,16 ,\n300,10 , 300,11 , 300,12 , 300,13 , 300,14 , 300,15 , 300,16 ,\n400,10 , 400,11 , 400,12 , 400,13 , 400,14 , 400,15 , 400,16 ,\n50\nΩ =\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n0,10 , 500,11 , 500,12 , 500,13 , 500,14 , 500,15 , 500,16 ,\n600,10 , 600,11 , 600,12 , 600,13 , 600,14 , 600,15 , 600,16 ,\n700,10 , 700,11 , 700,12 , 700,13 , 700,14 , 700,15 , 700,16\n7 7\n49\nΩ =\n⋅\nx\ny\n(\n) (\n)\n{\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n100,11 , 100,14 , 200,10 , 200,13 , 200,16 ,\n300,12 , 300,15 , 400,11 , 400,14 , 500,10 ,\n500,13 , 500,16 , 600,12 , 600,15 , 700,11 , 700,14\nA =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nUwaga\nZdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych\ndo utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:\nWtedy zbiór\nII sposób\nRysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.\n100\n200\n300\n400\n500\n600\n700\n10\n\n\n11\n\n\n\n12\n\n\n13\n\n\n14\n\n\n\n15\n\n\n16\n\n\nZdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem\nSymbolem  zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,\npolegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.\nZdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\n{\n}\n110,111,112,113,114,115,116,\n210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,\n310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,\n410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,\n510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,\n610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,\n710, 711, 712, 713, 714, 715, 716 .\nΩ =\n{\n}\n111,114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714 .\nA\n49\nΩ =\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n16\n49\nIII sposób\nRysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe\nUwaga\nZdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub\nna jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład\ntakiego drzewa znajduje się poniżej.\n( )\n3 2\n2 3\n2 2\n16\n7 7\n7 7\n7 7\n49\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n16\n49\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że\nalbo\n• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna\nprzez 3,\nalbo\n• poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych\nprzez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\ni nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A\nalbo\n• zapisze, że\ni zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb\nmusi być podzielna przez 3,\nalbo\n• zapisze, że\ni poda sposób obliczania\n, np. przyjmie porządek przy\nwyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne\nsprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia\nelementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że\n,\n( )\n1 2\n1 3\n16\n5\n2\n7 7\n7 7\n49\nP A = ⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\nA\n7 7\nΩ =\n⋅\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia:\n1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co\nnajmniej jednym odcinku każdego z etapów\nalbo\n2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające\nwylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,\n600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą\nwylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze\nprawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze, że\noraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego\nalbo\n• zapisze, że\noraz zapisze, że\ni przedstawi sposób obliczenia tej\nliczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być\npodzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub\nprzyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy\nprzynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru\nA niewłaściwego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.\nnarysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze\n, oraz zaznaczy 16\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń\nelementarnych nie zaliczy do A,\nalbo\n• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające\nzdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka\ndo obliczenia prawdopodobieństwa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n7 7\nΩ =\n⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n7 7\nΩ =\n⋅\n( )\nP A\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n0,1\n2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma\nprawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe\n, to otrzymuje\n2 punkty.\n4. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie\n, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie\n,\ni nie przedstawi\nczytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,\ni obliczy\n, to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze\n,\noraz zapisze, że suma\ncyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale\nw przedstawionym\nrozwiązaniu\nnie\nmożna\nzidentyfikować\nżadnego\nzdarzenia\nelementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli\nw rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.\n7. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{16}{49}\\)\n\n## Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3 (metoda modulo)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** suma \\(a + b\\) jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma reszt \\((a \\bmod 3) + (b \\bmod 3)\\) jest podzielna przez 3.\n\n**Krok 1. Podziel elementy zbioru A według reszt z dzielenia przez 3.**\n\n| Reszta z ÷3 | Elementy z A |\n|:-----------:|:-------------|\n| 0 | 300, 600 → **2 liczby** |\n| 1 | 100, 400, 700 → **3 liczby** |\n| 2 | 200, 500 → **2 liczby** |\n\n**Krok 2. Podziel elementy zbioru B według reszt z dzielenia przez 3.**\n\n| Reszta z ÷3 | Elementy z B |\n|:-----------:|:-------------|\n| 0 | 12, 15 → **2 liczby** |\n| 1 | 10, 13, 16 → **3 liczby** |\n| 2 | 11, 14 → **2 liczby** |\n\n**Krok 3. Ustal, które pary reszt dają sumę podzielną przez 3.**\n\nPotrzebujemy \\((r_A + r_B) \\equiv 0 \\pmod{3}\\), czyli:\n\n\\[(r_A, r_B) \\in \\{(0,0),\\; (1,2),\\; (2,1)\\}\\]\n\n**Krok 4. Policz sprzyjające pary.**\n\n\\[\n\\underbrace{2 \\cdot 2}_{(0,0)} + \\underbrace{3 \\cdot 2}_{(1,2)} + \\underbrace{2 \\cdot 3}_{(2,1)} = 4 + 6 + 6 = 16\n\\]\n\n**Krok 5. Policz wszystkie możliwe pary.**\n\n\\[|\\Omega| = 7 \\cdot 7 = 49\\]\n\n**Krok 6. Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P = \\frac{16}{49}\\]\n\nSprawdzamy skracalność: \\(16 = 2^4\\), \\(49 = 7^2\\) - brak wspólnych czynników, więc ułamek jest już nieskracalny.\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{16}{49}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie wyliczenie (sumowanie przypadków)\n\nWypisujemy wszystkie 49 par \\((a, b)\\) i sprawdzamy podzielność sumy przez 3. Zamiast pisać wszystkich 49, korzystamy z tabeli:\n\n| \\(b \\backslash a\\) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |\n|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|\n| **10** | 110 | 210✓ | 310 | 410 | 510✓ | 610 | 710 |\n| **11** | 111✓ | 211 | 311 | 411✓ | 511 | 611✓ | 711 |\n| **12** | 112 | 212 | **312✓** | 412 | 512 | **612✓** | 712 |\n| **13** | 113 | 213✓ | 313 | 413 | 513✓ | 613 | 713 |\n| **14** | 114✓ | 214 | 314 | 414✓ | 514 | 614✓ | 714 |\n| **15** | 115 | 215 | **315✓** | 415 | 515 | **615✓** | 715 |\n| **16** | 116 | 216✓ | 316 | 416 | 516✓ | 616 | 716 |\n\nZaznaczone ✓ (podzielne przez 3): 210, 510, 111, 411, 611, 312, 612, 213, 513, 114, 414, 614, 315, 615, 216, 516\n\nLiczymy: **16 przypadków** → \\(P = \\dfrac{16}{49}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych wyników, a \\(|A|\\) - liczba wyników sprzyjających. Użyliśmy tego w obu sposobach: \\(|\\Omega| = 49\\), \\(|A| = 16\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić podzielności każdej liczby z osobna - trzeba badać **pary** i ich sumę. Częsty błąd: \"w A są 2 wielokrotności 3, w B są 2 wielokrotności 3, więc szukana liczba par to \\(2 \\times 2 = 4\\)\". To nieprawda - pomija się przypadki (1,2) i (2,1).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reszta z dzielenia przez 3 zależy tylko od cyfr składowych. Np. \\(100 \\bmod 3 = 1\\) (bo \\(1+0+0=1\\)), \\(700 \\bmod 3 = 1\\) (bo \\(7+0+0 = 7\\), a \\(7 \\bmod 3 = 1\\)). To szybki sposób na unikanie obliczeń dzielenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy ułamek jest nieskracalny - treść zadania tego wymaga! Tu \\(\\gcd(16, 49) = 1\\), więc \\(\\frac{16}{49}\\) jest już w postaci nieskracalnej.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\tfrac{16}{49}\\)**\n\n### Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3\n**Krok 1 - \\(|\\Omega|\\).** Losujemy jedną liczbę z każdego zbioru, każdy ma 7 elementów:\n\\[|\\Omega| = 7\\cdot 7 = 49.\\]\n\n**Krok 2 - klasyfikacja reszt mod 3:**\n\nLiczby z \\(A\\) mod 3 (suma cyfr):\n- reszta 0: \\(\\{300, 600\\}\\) → 2 liczby\n- reszta 1: \\(\\{100, 400, 700\\}\\) → 3 liczby\n- reszta 2: \\(\\{200, 500\\}\\) → 2 liczby\n\nLiczby z \\(B\\) mod 3:\n- reszta 0: \\(\\{12, 15\\}\\) → 2 liczby\n- reszta 1: \\(\\{10, 13, 16\\}\\) → 3 liczby\n- reszta 2: \\(\\{11, 14\\}\\) → 2 liczby\n\n**Krok 3 - zdarzenie sprzyjające: \\(a+b \\equiv 0 \\pmod{3}\\)**\n- \\(a \\equiv 0\\) i \\(b \\equiv 0\\): \\(2 \\cdot 2 = 4\\)\n- \\(a \\equiv 1\\) i \\(b \\equiv 2\\): \\(3 \\cdot 2 = 6\\)\n- \\(a \\equiv 2\\) i \\(b \\equiv 1\\): \\(2 \\cdot 3 = 6\\)\n\nRazem: \\(|A| = 4 + 6 + 6 = 16\\).\n\n**Krok 4 - prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\tfrac{16}{49}.\\]\nGdzie \\(\\gcd(16, 49) = 1\\) - ułamek jest nieskracalny.\n\n### Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa\nW pierwszym losowaniu (ze \\(A\\)): \\(P(\\equiv 0) = \\tfrac{2}{7}\\), \\(P(\\equiv 1) = \\tfrac{3}{7}\\), \\(P(\\equiv 2) = \\tfrac{2}{7}\\).\nW drugim losowaniu (z \\(B\\)): takie same.\n\\[P(A) = \\tfrac{2}{7}\\cdot\\tfrac{2}{7} + \\tfrac{3}{7}\\cdot\\tfrac{2}{7} + \\tfrac{2}{7}\\cdot\\tfrac{3}{7} = \\tfrac{4+6+6}{49} = \\tfrac{16}{49}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela 7×7\nMożna narysować tabelę 7 kolumn × 7 wierszy, oznaczyć × w komórkach, gdzie suma podzielna przez 3. Zliczamy 16 komórek.\n\n**Odpowiedź:** \\(P = \\tfrac{16}{49}\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Dane są dwa zbiory:<br>{<br>}<br>100, 200, 300, 400, 500, 600, 700<br>A =<br>i<br>{<br>}<br>10,11,12,13,14,15,16<br>B =<br>Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego<br>na<br>tym,<br>że<br>suma<br>wylosowanych<br>liczb<br>będzie<br>podzielna<br>przez<br>3.<br>Obliczone<br>prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.</p>\n<p>MMA_1P<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>33.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>MMA_1P<br>Dane są dwa zbiory A={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B={10,11, 12, 13,14,15, 16} Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa</li></ol>\n<p>i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa<br>w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję<br>prawdopodobieństwa (10.3).<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób<br>Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para<br>, gdzie<br>i<br>. Zatem zbiór<br>wszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:<br>Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa<br>Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna<br>przez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby<br>musi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:<br>Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych<br>liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe<br>(<br>)<br>,x y<br>x<br>A<br>∈<br>y<br>B<br>∈<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>{<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>100,10 , 100,11 , 100,12 , 100,13 , 100,14 , 100,15 , 100,16 ,<br>200,10 , 200,11 , 200,12 , 200,13 , 200,14 , 200,15 , 200,16 ,<br>300,10 , 300,11 , 300,12 , 300,13 , 300,14 , 300,15 , 300,16 ,<br>400,10 , 400,11 , 400,12 , 400,13 , 400,14 , 400,15 , 400,16 ,<br>50<br>Ω =<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)}<br>0,10 , 500,11 , 500,12 , 500,13 , 500,14 , 500,15 , 500,16 ,<br>600,10 , 600,11 , 600,12 , 600,13 , 600,14 , 600,15 , 600,16 ,<br>700,10 , 700,11 , 700,12 , 700,13 , 700,14 , 700,15 , 700,16<br>7 7<br>49<br>Ω =<br>⋅<br>x<br>y<br>(<br>) (<br>)<br>{<br>(<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)<br>(<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>) (<br>)}<br>100,11 , 100,14 , 200,10 , 200,13 , 200,16 ,<br>300,12 , 300,15 , 400,11 , 400,14 , 500,10 ,<br>500,13 , 500,16 , 600,12 , 600,15 , 700,11 , 700,14<br>A =<br>16<br>A =<br>( )<br>16<br>49<br>A<br>P A =<br>Ω<br>16<br>49<br>Uwaga<br>Zdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych<br>do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:<br>Wtedy zbiór<br>II sposób<br>Rysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.<br>100<br>200<br>300<br>400<br>500<br>600<br>700<br>10<br><br><br>11<br><br><br><br>12<br><br><br>13<br><br><br>14<br><br><br><br>15<br><br><br>16<br><br><br>Zdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem<br>Symbolem  zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,<br>polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.<br>Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych<br>liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe<br>{<br>}<br>110,111,112,113,114,115,116,<br>210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,<br>310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,<br>410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,<br>510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,<br>610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,<br>710, 711, 712, 713, 714, 715, 716 .<br>Ω =<br>{<br>}<br>111,114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714 .<br>A<br>49<br>Ω =<br>16<br>A =<br>( )<br>16<br>49<br>A<br>P A =<br>Ω<br>16<br>49<br>III sposób<br>Rysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych<br>liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe<br>Uwaga<br>Zdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub<br>na jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład<br>takiego drzewa znajduje się poniżej.<br>( )<br>3 2<br>2 3<br>2 2<br>16<br>7 7<br>7 7<br>7 7<br>49<br>P A =<br>⋅<br>⋅<br>⋅<br>16<br>49<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:<br>Schemat punktowania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 p.<br>Zdający<br>• zapisze, że<br>albo<br>• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna<br>przez 3,<br>albo<br>• poda sposób obliczania<br>, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych<br>przez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A<br>i nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,<br>albo<br>• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.<br>narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia:</p>\n<ol><li>składające się ze wszystkich 49 gałęzi</li></ol>\n<p>albo</p>\n<ol><li>składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające</li></ol>\n<p>wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,<br>600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą<br>wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.<br>Zdający<br>• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A<br>albo<br>• zapisze, że<br>i zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb<br>musi być podzielna przez 3,<br>albo<br>• zapisze, że<br>i poda sposób obliczania<br>, np. przyjmie porządek przy<br>wyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne<br>sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia<br>elementarnego,<br>albo<br>• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.<br>narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że<br>,<br>( )<br>1 2<br>1 3<br>16<br>5<br>2<br>7 7<br>7 7<br>49<br>P A = ⋅<br>⋅<br>⋅<br>⋅<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>A<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>A<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia:</p>\n<ol><li>składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co</li></ol>\n<p>najmniej jednym odcinku każdego z etapów<br>albo</p>\n<ol><li>składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające</li></ol>\n<p>wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,<br>600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą<br>wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze<br>prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające<br>zdarzeniu A<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.<br>Zdający<br>• zapisze, że<br>oraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające<br>zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego<br>albo<br>• zapisze, że<br>oraz zapisze, że<br>i przedstawi sposób obliczenia tej<br>liczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być<br>podzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub<br>przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy<br>przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru<br>A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,<br>albo<br>• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.<br>narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze<br>, oraz zaznaczy 16<br>zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń<br>elementarnych nie zaliczy do A,<br>albo<br>• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające<br>zdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka<br>do obliczenia prawdopodobieństwa<br>i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.<br>Rozwiązanie pełne 4 p.<br>Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału</li></ol>\n<p>, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty.<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>16<br>A =<br>7 7<br>Ω =<br>⋅<br>( )<br>P A<br>( )<br>16<br>49<br>A<br>P A =<br>Ω<br>0,1</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających</li></ol>\n<p>zdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma<br>prawdopodobieństwo równe<br>, to otrzymuje 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych</li></ol>\n<p>sprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe<br>, to otrzymuje<br>2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń</li></ol>\n<p>elementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie<br>, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie</li></ol>\n<p>,<br>i nie przedstawi<br>czytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,<br>i obliczy<br>, to otrzymuje 1 punkt.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze</li></ol>\n<p>,<br>oraz zapisze, że suma<br>cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale<br>w przedstawionym<br>rozwiązaniu<br>nie<br>można<br>zidentyfikować<br>żadnego<br>zdarzenia<br>elementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli<br>w rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających</li></ol>\n<p>zdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże<br>zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{16}{49}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3 (metoda modulo)</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> suma \\(a + b\\) jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma reszt \\((a \\bmod 3) + (b \\bmod 3)\\) jest podzielna przez 3.</p>\n<p><strong>Krok 1. Podziel elementy zbioru A według reszt z dzielenia przez 3.</strong></p>\n<table><thead><tr><th>Reszta z ÷3</th><th>Elementy z A</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>300, 600 → <strong>2 liczby</strong></td></tr><tr><td>1</td><td>100, 400, 700 → <strong>3 liczby</strong></td></tr><tr><td>2</td><td>200, 500 → <strong>2 liczby</strong></td></tr></tbody></table>\n<p><strong>Krok 2. Podziel elementy zbioru B według reszt z dzielenia przez 3.</strong></p>\n<table><thead><tr><th>Reszta z ÷3</th><th>Elementy z B</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>12, 15 → <strong>2 liczby</strong></td></tr><tr><td>1</td><td>10, 13, 16 → <strong>3 liczby</strong></td></tr><tr><td>2</td><td>11, 14 → <strong>2 liczby</strong></td></tr></tbody></table>\n<p><strong>Krok 3. Ustal, które pary reszt dają sumę podzielną przez 3.</strong></p>\n<p>Potrzebujemy \\((r_A + r_B) \\equiv 0 \\pmod{3}\\), czyli:</p>\n<p>\\[(r_A, r_B) \\in \\{(0,0),\\; (1,2),\\; (2,1)\\}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Policz sprzyjające pary.</strong></p>\n<p>\\[<br>\\underbrace{2 \\cdot 2}<em>{(0,0)} + \\underbrace{3 \\cdot 2}</em>{(1,2)} + \\underbrace{2 \\cdot 3}_{(2,1)} = 4 + 6 + 6 = 16<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 5. Policz wszystkie możliwe pary.</strong></p>\n<p>\\[|\\Omega| = 7 \\cdot 7 = 49\\]</p>\n<p><strong>Krok 6. Oblicz prawdopodobieństwo.</strong></p>\n<p>\\[P = \\frac{16}{49}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy skracalność: \\(16 = 2^4\\), \\(49 = 7^2\\) - brak wspólnych czynników, więc ułamek jest już nieskracalny.</p>\n<p>\\[\\boxed{P = \\frac{16}{49}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie wyliczenie (sumowanie przypadków)</h4>\n<p>Wypisujemy wszystkie 49 par \\((a, b)\\) i sprawdzamy podzielność sumy przez 3. Zamiast pisać wszystkich 49, korzystamy z tabeli:</p>\n<table><thead><tr><th>\\(b \\backslash a\\)</th><th>100</th><th>200</th><th>300</th><th>400</th><th>500</th><th>600</th><th>700</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>10</strong></td><td>110</td><td>210✓</td><td>310</td><td>410</td><td>510✓</td><td>610</td><td>710</td></tr><tr><td><strong>11</strong></td><td>111✓</td><td>211</td><td>311</td><td>411✓</td><td>511</td><td>611✓</td><td>711</td></tr><tr><td><strong>12</strong></td><td>112</td><td>212</td><td><strong>312✓</strong></td><td>412</td><td>512</td><td><strong>612✓</strong></td><td>712</td></tr><tr><td><strong>13</strong></td><td>113</td><td>213✓</td><td>313</td><td>413</td><td>513✓</td><td>613</td><td>713</td></tr><tr><td><strong>14</strong></td><td>114✓</td><td>214</td><td>314</td><td>414✓</td><td>514</td><td>614✓</td><td>714</td></tr><tr><td><strong>15</strong></td><td>115</td><td>215</td><td><strong>315✓</strong></td><td>415</td><td>515</td><td><strong>615✓</strong></td><td>715</td></tr><tr><td><strong>16</strong></td><td>116</td><td>216✓</td><td>316</td><td>416</td><td>516✓</td><td>616</td><td>716</td></tr></tbody></table>\n<p>Zaznaczone ✓ (podzielne przez 3): 210, 510, 111, 411, 611, 312, 612, 213, 513, 114, 414, 614, 315, 615, 216, 516</p>\n<p>Liczymy: <strong>16 przypadków</strong> → \\(P = \\dfrac{16}{49}\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>gdzie \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych wyników, a \\(|A|\\) - liczba wyników sprzyjających. Użyliśmy tego w obu sposobach: \\(|\\Omega| = 49\\), \\(|A| = 16\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy sprawdzić podzielności każdej liczby z osobna - trzeba badać <strong>pary</strong> i ich sumę. Częsty błąd: &quot;w A są 2 wielokrotności 3, w B są 2 wielokrotności 3, więc szukana liczba par to \\(2 \\times 2 = 4\\)&quot;. To nieprawda - pomija się przypadki (1,2) i (2,1).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Reszta z dzielenia przez 3 zależy tylko od cyfr składowych. Np. \\(100 \\bmod 3 = 1\\) (bo \\(1+0+0=1\\)), \\(700 \\bmod 3 = 1\\) (bo \\(7+0+0 = 7\\), a \\(7 \\bmod 3 = 1\\)). To szybki sposób na unikanie obliczeń dzielenia.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź, czy ułamek jest nieskracalny - treść zadania tego wymaga! Tu \\(\\gcd(16, 49) = 1\\), więc \\(\\frac{16}{49}\\) jest już w postaci nieskracalnej.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(P(A) = \\tfrac{16}{49}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3</h5>\n<p><strong>Krok 1 - \\(|\\Omega|\\).</strong> Losujemy jedną liczbę z każdego zbioru, każdy ma 7 elementów:<br>\\[|\\Omega| = 7\\cdot 7 = 49.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - klasyfikacja reszt mod 3:</strong></p>\n<p>Liczby z \\(A\\) mod 3 (suma cyfr):</p>\n<ul><li>reszta 0: \\(\\{300, 600\\}\\) → 2 liczby</li><li>reszta 1: \\(\\{100, 400, 700\\}\\) → 3 liczby</li><li>reszta 2: \\(\\{200, 500\\}\\) → 2 liczby</li></ul>\n<p>Liczby z \\(B\\) mod 3:</p>\n<ul><li>reszta 0: \\(\\{12, 15\\}\\) → 2 liczby</li><li>reszta 1: \\(\\{10, 13, 16\\}\\) → 3 liczby</li><li>reszta 2: \\(\\{11, 14\\}\\) → 2 liczby</li></ul>\n<p><strong>Krok 3 - zdarzenie sprzyjające: \\(a+b \\equiv 0 \\pmod{3}\\)</strong></p>\n<ul><li>\\(a \\equiv 0\\) i \\(b \\equiv 0\\): \\(2 \\cdot 2 = 4\\)</li><li>\\(a \\equiv 1\\) i \\(b \\equiv 2\\): \\(3 \\cdot 2 = 6\\)</li><li>\\(a \\equiv 2\\) i \\(b \\equiv 1\\): \\(2 \\cdot 3 = 6\\)</li></ul>\n<p>Razem: \\(|A| = 4 + 6 + 6 = 16\\).</p>\n<p><strong>Krok 4 - prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\tfrac{16}{49}.\\]<br>Gdzie \\(\\gcd(16, 49) = 1\\) - ułamek jest nieskracalny.</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa</h5>\n<p>W pierwszym losowaniu (ze \\(A\\)): \\(P(\\equiv 0) = \\tfrac{2}{7}\\), \\(P(\\equiv 1) = \\tfrac{3}{7}\\), \\(P(\\equiv 2) = \\tfrac{2}{7}\\).<br>W drugim losowaniu (z \\(B\\)): takie same.<br>\\[P(A) = \\tfrac{2}{7}\\cdot\\tfrac{2}{7} + \\tfrac{3}{7}\\cdot\\tfrac{2}{7} + \\tfrac{2}{7}\\cdot\\tfrac{3}{7} = \\tfrac{4+6+6}{49} = \\tfrac{16}{49}.\\]</p>\n<h5>Sposób 3 - Tabela 7×7</h5>\n<p>Można narysować tabelę 7 kolumn × 7 wierszy, oznaczyć × w komórkach, gdzie suma podzielna przez 3. Zliczamy 16 komórek.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(P = \\tfrac{16}{49}\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{16}{49}$</p>"}]}