{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej\ntego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej\nściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego (G11.2).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nRozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole\npodstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej:\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe\n17\n49\n15\n49\n7 6\nΩ = ⋅\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n( )\n16\n49\nA\nP A =\nΩ\n7 7\nΩ =\n⋅\n16\nA =\n45 3 :5\n9 3.\n2 3\n4\nABC\na\nP\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\nŚciana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest\nrówne\nZ warunków zadania wynika, że:\nZnamy długość krawędzi podstawy a, zatem:\nObliczamy wysokość graniastosłupa\nObjętość graniastosłupa jest równa\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze zależność między wielkościami a i h wynikającą z równości pól podstawy\ni ściany bocznej graniastosłupa:\nalbo\n• obliczy pole jednej ściany graniastosłupa:\n,\nalbo\n• zapisze równanie:\nalbo\n• zapisze równania:\ni\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi\npodstawy lub wysokości graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n• uzależni objętość bryły od jednej zmiennej\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n2 3\n9 3,\n4\na\n6\na =\nABED\nP\nah\n9 3\nah =\n6\n9 3\nh =\n3\n2\n3\nh =\n3 3\n81\n9 3\n2\n2\nABC\nV\nP\nh\n⋅\n⋅\n2 3\n4\na\nah\n45 3 :5\n9 3\n2 3\n2\n3\n45 3\n4\na\nah\n⋅\n1\n2\n3\n45 3\n2\n⋅\np\nah\nah\n1\n2\np\nah\nah\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa:\n,\nalbo\n• obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\ni uzależni objętość bryły\nod jednej zmiennej a lub obliczy wysokość graniastosłupa\ni uzależni\nobjętość bryły od jednej zmiennej h\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość graniastosłupa:\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, a jedynymi błędami w przedstawionym\nrozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd polegający na niepoprawnym stosowaniu wzoru na pole\ntrójkąta równobocznego albo wzoru na pole prostokąta, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie\npopełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.\n3. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na niewłaściwym określeniu zależności między\npolem podstawy a polem ściany bocznej i w efekcie rozważa jeden z trzech przypadków:\n,\n,\n, albo błąd, polegający na przyjęciu, że graniastosłup ma\ntrzy ściany boczne i jedną podstawę, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie popełnia innych\nbłędów i rozwiąże zadanie do końca.\n4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwagach 2. lub 3., a ponadto popełnia\nbłędy rachunkowe, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię\nrozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający popełnia inne niż wymienione w uwagach 2. lub 3. błędy, dotyczące pól\nścian bryły, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię rozwiązania,\nto otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający rozważa graniastosłup trójkątny, który nie jest prawidłowy, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n6\na =\n3\n2\n3\nh =\n6\na =\n3\n2\n3\nh =\n81\n2\nV =\n2\nś\np\nb\nP\nP\n3\nś\np\nb\nP\nP\n2\n3\nś\np\nb\nP\nP","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{81}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - bok trójkąta równobocznego (podstawy)\n- \\(h\\) - wysokość graniastosłupa\n\n**Krok 1: Wyrażamy pola.**\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny):\n\\[P_\\text{podst} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nPole jednej ściany bocznej (prostokąt):\n\\[P_\\text{boczna} = a \\cdot h\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z warunku \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\).**\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = a \\cdot h\\]\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole powierzchni całkowitej.**\n\nGraniastosłup trójkątny ma: 2 podstawy + 3 ściany boczne.\n\nSkoro \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\), możemy napisać:\n\\[P_c = 2 \\cdot P_\\text{podst} + 3 \\cdot P_\\text{boczna} = 2 \\cdot P_\\text{podst} + 3 \\cdot P_\\text{podst} = 5 \\cdot P_\\text{podst}\\]\n\nZatem:\n\\[5 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\\[\\frac{a^2}{4} = 9\\]\n\\[a^2 = 36 \\implies \\mathbf{a = 6}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**\n\\[h = \\frac{6\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy objętość.**\n\\[V = P_\\text{podst} \\cdot h = \\frac{6^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{9 \\cdot 3 \\cdot 3}{2} = \\boxed{\\frac{81}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i bezpośrednie podstawienie\n\nSprawdzamy, czy wynik \\(a = 6\\), \\(h = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) spełnia oba warunki zadania.\n\n**Sprawdzenie warunku 1:** \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\)\n\\[P_\\text{podst} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\\[P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie warunku 2:** \\(P_c = 45\\sqrt{3}\\)\n\\[P_c = 2 \\cdot 9\\sqrt{3} + 3 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3} + 27\\sqrt{3} = 45\\sqrt{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Obliczenie objętości:**\n\\[V = P_\\text{podst} \\cdot h = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{27 \\cdot 3}{2} = \\frac{81}{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nGraniastosłup prosty - objętość i pole powierzchni bocznej:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\qquad P_b = O_b \\cdot h\\]\nUżyliśmy wzoru \\(V = P_p \\cdot h\\) do obliczenia objętości.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):**\n\nPole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa **trójkątnego** to 2 podstawy + **3** ściany boczne, nie 4. Łatwo pomylić z czworokątnym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\), bardzo wygodnie napisać \\(P_c = 5 \\cdot P_\\text{podst}\\) - to upraszcza obliczenia i eliminuje jedną niewiadomą od razu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\) - to częste miejsce błędu przy końcowym mnożeniu. Upewnij się, że wymnażasz przez \\(3\\), a nie zostawiasz \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\tfrac{81}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wszystkie 5 ścian ma to samo pole\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma **5 ścian**: 2 podstawy (trójkąty równoboczne) + 3 ściany boczne (prostokąty). Z warunku zadania pola podstawy i ściany bocznej są równe, więc **wszystkie 5 ścian ma to samo pole**.\n\\[P_\\text{ściany} = \\tfrac{45\\sqrt{3}}{5} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 1 - długość krawędzi podstawy \\(a\\).**\nPole trójkąta równobocznego:\n\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 36 \\Rightarrow a = 6.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość graniastosłupa \\(h\\).**\nPole ściany bocznej (prostokąta \\(a\\times h\\)):\n\\[a\\cdot h = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow 6h = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow h = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n**Krok 3 - objętość.**\n\\[V = P_\\text{podst}\\cdot h = 9\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{27\\cdot 3}{2} = \\tfrac{81}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań z dwiema niewiadomymi\nOznaczmy \\(a\\) - długość krawędzi podstawy, \\(h\\) - wysokość graniastosłupa.\n\nWarunek 1 (równość pól podstawy i ściany bocznej):\n\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = ah \\Rightarrow h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}.\\]\n\nWarunek 2 (pole powierzchni całkowitej):\n\\[2\\cdot\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3ah = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a\\cdot\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\tfrac{2a^2\\sqrt{3} + 3a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]\n\\[\\tfrac{5a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 36 \\Rightarrow a = 6.\\]\nStąd \\(h = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nObjętość:\n\\[V = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\cdot h = 9\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{81}{2}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(V = \\tfrac{81}{2} = 40{,}5\\).","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej
tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej
ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość
graniastosłupa prostego (G11.2).

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Rozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole
podstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej:
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe
17
49
15
49
7 6
Ω = ⋅
7 7
Ω =
⋅
16
A =
( )
16
49
A
P A =
Ω
7 7
Ω =
⋅
16
A =
45 3 :5
9 3.
2 3
4
ABC
a
P
Obliczamy długość krawędzi podstawy:
Ściana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest
równe
Z warunków zadania wynika, że:
Znamy długość krawędzi podstawy a, zatem:
Obliczamy wysokość graniastosłupa
Objętość graniastosłupa jest równa
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• zapisze zależność między wielkościami a i h wynikającą z równości pól podstawy
i ściany bocznej graniastosłupa:
albo
• obliczy pole jednej ściany graniastosłupa:
,
albo
• zapisze równanie:
albo
• zapisze równania:
i
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi
podstawy lub wysokości graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
• uzależni objętość bryły od jednej zmiennej
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
2 3
9 3,
4
a
6
a =
ABED
P
ah
9 3
ah =
6
9 3
h =
3
2
3
h =
3 3
81
9 3
2
2
ABC
V
P
h
⋅
⋅
2 3
4
a
ah
45 3 :5
9 3
2 3
2
3
45 3
4
a
ah
⋅
1
2
3
45 3
2
⋅
p
ah
ah
1
2
p
ah
ah
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa:
,
albo
• obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:
i uzależni objętość bryły
od jednej zmiennej a lub obliczy wysokość graniastosłupa
i uzależni
objętość bryły od jednej zmiennej h
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy objętość graniastosłupa:
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, a jedynymi błędami w przedstawionym
\n

rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia błąd polegający na niepoprawnym stosowaniu wzoru na pole
\n

trójkąta równobocznego albo wzoru na pole prostokąta, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie
popełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na niewłaściwym określeniu zależności między
\n

polem podstawy a polem ściany bocznej i w efekcie rozważa jeden z trzech przypadków:
,
,
, albo błąd, polegający na przyjęciu, że graniastosłup ma
trzy ściany boczne i jedną podstawę, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie popełnia innych
błędów i rozwiąże zadanie do końca.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwagach 2. lub 3., a ponadto popełnia
\n

błędy rachunkowe, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię
rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia inne niż wymienione w uwagach 2. lub 3. błędy, dotyczące pól
\n

ścian bryły, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię rozwiązania,
to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa graniastosłup trójkątny, który nie jest prawidłowy, to może
\n

otrzymać co najwyżej 1 punkt.
6
a =
3
2
3
h =
6
a =
3
2
3
h =
81
2
V =
2
ś
p
b
P
P
3
ś
p
b
P
P
2
3
ś
p
b
P
P

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{81}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania

\n

Oznaczenia:

\n\n

Krok 1: Wyrażamy pola.

\n

Pole podstawy (trójkąt równoboczny):
\\[P_\\text{podst} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Pole jednej ściany bocznej (prostokąt):
\\[P_\\text{boczna} = a \\cdot h\\]

\n

Krok 2: Korzystamy z warunku \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\).
\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = a \\cdot h\\]
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Krok 3: Obliczamy pole powierzchni całkowitej.

\n

Graniastosłup trójkątny ma: 2 podstawy + 3 ściany boczne.

\n

Skoro \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\), możemy napisać:
\\[P_c = 2 \\cdot P_\\text{podst} + 3 \\cdot P_\\text{boczna} = 2 \\cdot P_\\text{podst} + 3 \\cdot P_\\text{podst} = 5 \\cdot P_\\text{podst}\\]

\n

Zatem:
\\[5 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]
\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]
\\[\\frac{a^2}{4} = 9\\]
\\[a^2 = 36 \\implies \\mathbf{a = 6}\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.
\\[h = \\frac{6\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Krok 5: Obliczamy objętość.
\\[V = P_\\text{podst} \\cdot h = \\frac{6^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{9 \\cdot 3 \\cdot 3}{2} = \\boxed{\\frac{81}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja i bezpośrednie podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy wynik \\(a = 6\\), \\(h = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) spełnia oba warunki zadania.

\n

Sprawdzenie warunku 1: \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\)
\\[P_\\text{podst} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]
\\[P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3} \\quad \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie warunku 2: \\(P_c = 45\\sqrt{3}\\)
\\[P_c = 2 \\cdot 9\\sqrt{3} + 3 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3} + 27\\sqrt{3} = 45\\sqrt{3} \\quad \\checkmark\\]

\n

Obliczenie objętości:
\\[V = P_\\text{podst} \\cdot h = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{27 \\cdot 3}{2} = \\frac{81}{2}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):

\n

Graniastosłup prosty - objętość i pole powierzchni bocznej:
\\[V = P_p \\cdot h, \\qquad P_b = O_b \\cdot h\\]
Użyliśmy wzoru \\(V = P_p \\cdot h\\) do obliczenia objętości.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):

\n

Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy tego wzoru do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa trójkątnego to 2 podstawy + 3 ściany boczne, nie 4. Łatwo pomylić z czworokątnym!
\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(P_\\text{podst} = P_\\text{boczna}\\), bardzo wygodnie napisać \\(P_c = 5 \\cdot P_\\text{podst}\\) - to upraszcza obliczenia i eliminuje jedną niewiadomą od razu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\) - to częste miejsce błędu przy końcowym mnożeniu. Upewnij się, że wymnażasz przez \\(3\\), a nie zostawiasz \\(\\sqrt{3}\\).
\n

Odpowiedź: \\(V = \\tfrac{81}{2}\\)

\n
Sposób 1 - Wszystkie 5 ścian ma to samo pole
\n

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma 5 ścian: 2 podstawy (trójkąty równoboczne) + 3 ściany boczne (prostokąty). Z warunku zadania pola podstawy i ściany bocznej są równe, więc wszystkie 5 ścian ma to samo pole.
\\[P_\\text{ściany} = \\tfrac{45\\sqrt{3}}{5} = 9\\sqrt{3}.\\]

\n

Krok 1 - długość krawędzi podstawy \\(a\\).
Pole trójkąta równobocznego:
\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 36 \\Rightarrow a = 6.\\]

\n

Krok 2 - wysokość graniastosłupa \\(h\\).
Pole ściany bocznej (prostokąta \\(a\\times h\\)):
\\[a\\cdot h = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow 6h = 9\\sqrt{3} \\Rightarrow h = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\]

\n

Krok 3 - objętość.
\\[V = P_\\text{podst}\\cdot h = 9\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{27\\cdot 3}{2} = \\tfrac{81}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Układ równań z dwiema niewiadomymi
\n

Oznaczmy \\(a\\) - długość krawędzi podstawy, \\(h\\) - wysokość graniastosłupa.

\n

Warunek 1 (równość pól podstawy i ściany bocznej):
\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = ah \\Rightarrow h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}.\\]

\n

Warunek 2 (pole powierzchni całkowitej):
\\[2\\cdot\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3ah = 45\\sqrt{3}\\]
\\[\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a\\cdot\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]
\\[\\tfrac{2a^2\\sqrt{3} + 3a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3}\\]
\\[\\tfrac{5a^2\\sqrt{3}}{4} = 45\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 36 \\Rightarrow a = 6.\\]
Stąd \\(h = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Objętość:
\\[V = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\cdot h = 9\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{81}{2}.\\]

\n

Odpowiedź: \\(V = \\tfrac{81}{2} = 40{,}5\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = \\dfrac{81}{2}$

"}]}