{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował\nA. 865,00 zł\nB. 850,15 zł\nC. 1000,00 zł\nD. 977,50 zł\nCena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł, B. 850,15 zł, C. 1000,00 zł, D. 977,50 zł.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - 1000,00 zł\n\n## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą\n\nOznaczmy cenę roweru przed obniżką jako \\(x\\).\n\nObniżka o 15% oznacza, że zapłaciliśmy **85% ceny pierwotnej** (bo \\(100\\% - 15\\% = 85\\%\\)).\n\nZapisujemy równanie:\n\\[x \\cdot 85\\% = 850\\]\n\\[x \\cdot \\frac{85}{100} = 850\\]\n\\[x = 850 \\cdot \\frac{100}{85}\\]\n\\[x = 850 \\cdot \\frac{20}{17}\\]\n\\[x = \\frac{17000}{17} = \\mathbf{1000 \\text{ zł}}\\]\n\n**Cena przed obniżką wynosiła 1000 zł.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy 15% zniżka od 1000 zł daje 850 zł:\n\n\\[15\\% \\cdot 1000 = \\frac{15}{100} \\cdot 1000 = 150 \\text{ zł}\\]\n\nCena po obniżce:\n\\[1000 - 150 = 850 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź C jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (obliczanie procentu danej liczby, układanie prostego równania).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - 865,00 zł | Dodanie 15 do 850 zamiast obliczenia ceny bazowej: \\(850 + 15 = 865\\). Całkowity bezsens - obniżka o 15 zł to nie 15%. |\n| B - 850,15 zł | Dodanie 0,15 do 850: \\(850 + 0{,}15 = 850{,}15\\). Mylenie procenta z ułamkiem dziesiętnym. |\n| D - 977,50 zł | **Najczęstszy błąd!** Dodanie 15% od ceny PO obniżce: \\(850 + 15\\% \\cdot 850 = 850 + 127{,}5 = 977{,}5\\). Uczeń liczy procent od złej podstawy - od ceny obniżonej, a nie pierwotnej. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka to odpowiedź D. Wielu uczniów myśli „cena wzrosła o 15%, więc dodaję 15% do 850 zł\". To błąd - 15% przed obniżką to **inna kwota** niż 15% po obniżce. Podstawa procentu jest różna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cena po obniżce to **85%** ceny pierwotnej, **nie** 115%. Obniżka zmniejsza cenę, więc dzielimy przez 0,85 (lub mnożymy przez \\(\\frac{100}{85}\\)), a nie przez 1,15.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik - weź odpowiedź i oblicz, ile to 15% od tej kwoty. Jeśli wynik po odjęciu daje 850, masz rację.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równanie na cenę początkową\nNiech \\(x\\) - cena przed obniżką. Obniżka 15% oznacza, że zostaje \\(85\\%\\) ceny:\n\\[0{,}85x = 850 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\tfrac{850}{0{,}85} = 1000.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\n\\(850\\) zł to \\(85\\%\\) ceny początkowej, więc \\(1\\%\\) to \\(\\tfrac{850}{85} = 10\\) zł, a \\(100\\%\\) to \\(1000\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 865 zł** - ktoś dodał 15 zł do 850 zł (zamiast 15%).\n- **B. 850,15 zł** - ktoś zinterpretował \"15%\" jako \"15 groszy\".\n- **D. 977,50 zł** - obliczono \\(850 + 15\\% \\cdot 850 = 850 + 127{,}50 = 977{,}50\\). Klasyczna pułapka! Dodanie 15% od **obniżonej** ceny daje inny wynik niż cena początkowa, bo \\(15\\%\\) z 850 to nie to samo, co \\(15\\%\\) z \\(x\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(1000 - 15\\%\\cdot 1000 = 1000 - 150 = 850\\) zł ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie ceny przed obniżką\n1. **Zrozumienie problemu:** Wiemy, że cena po obniżce (850 zł) stanowi 85% ceny początkowej. Musimy więc obliczyć 100% ceny początkowej.\n2. **Ustawienie równania:** Niech x to cena przed obniżką. Zgodnie z treścią zadania:\n\\(x - 0.15x = 850\\)\n\\(0.85x = 850\\)\n3. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony przez 0.85:\n\\(x = \\frac{850}{0.85} = 1000\\)\nZatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie proporcji\n1. **Zrozumienie problemu:** Obniżka o 15% oznacza, że 85% ceny początkowej to 850 zł.\n2. **Ustawienie proporcji:**\n\\(\\frac{850}{x} = \\frac{85}{100}\\) (gdzie x to cena początkowa)\n3. **Rozwiązanie proporcji:** Przekształcamy proporcję:\n\\(85x = 850 \\cdot 100\\)\n\\(85x = 85000\\)\n\\(x = \\frac{85000}{85} = 1000\\)\nZatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 865,00 zł:** Jeśli cena początkowa wynosiłaby 865 zł, to po obniżce o 15% (865 * 0.15 = 129,75) cena wyniosłaby 865 - 129.75 = 735.25 zł, co nie zgadza się z podaną ceną po obniżce (850 zł).\n* **B. 850,15 zł:** Podobnie jak w przypadku A, obliczenie obniżki (850,15 * 0.15 = 127,52) dałoby cenę przed obniżką 850,15 - 127.52 = 722.63 zł, co nie zgadza się z podaną ceną po obniżce.\n* **D. 977,50 zł:** Obliczenie obniżki (977.50 * 0.15 = 146.63) dałoby cenę przed obniżką 977.50 - 146.63 = 830.87 zł, co również nie zgadza się z podaną ceną po obniżce.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował
A. 865,00 zł
B. 850,15 zł
C. 1000,00 zł
D. 977,50 zł
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł, B. 850,15 zł, C. 1000,00 zł, D. 977,50 zł.

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje
\n

obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk
z lokat (1.9).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - 1000,00 zł

\n

Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą

\n

Oznaczmy cenę roweru przed obniżką jako \\(x\\).

\n

Obniżka o 15% oznacza, że zapłaciliśmy 85% ceny pierwotnej (bo \\(100\\% - 15\\% = 85\\%\\)).

\n

Zapisujemy równanie:
\\[x \\cdot 85\\% = 850\\]
\\[x \\cdot \\frac{85}{100} = 850\\]
\\[x = 850 \\cdot \\frac{100}{85}\\]
\\[x = 850 \\cdot \\frac{20}{17}\\]
\\[x = \\frac{17000}{17} = \\mathbf{1000 \\text{ zł}}\\]

\n

Cena przed obniżką wynosiła 1000 zł.

\n

Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)

\n

Sprawdzamy, czy 15% zniżka od 1000 zł daje 850 zł:

\n

\\[15\\% \\cdot 1000 = \\frac{15}{100} \\cdot 1000 = 150 \\text{ zł}\\]

\n

Cena po obniżce:
\\[1000 - 150 = 850 \\text{ zł} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - odpowiedź C jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (obliczanie procentu danej liczby, układanie prostego równania).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - 865,00 zł | Dodanie 15 do 850 zamiast obliczenia ceny bazowej: \\(850 + 15 = 865\\). Całkowity bezsens - obniżka o 15 zł to nie 15%. |
| B - 850,15 zł | Dodanie 0,15 do 850: \\(850 + 0{,}15 = 850{,}15\\). Mylenie procenta z ułamkiem dziesiętnym. |
| D - 977,50 zł | Najczęstszy błąd! Dodanie 15% od ceny PO obniżce: \\(850 + 15\\% \\cdot 850 = 850 + 127{,}5 = 977{,}5\\). Uczeń liczy procent od złej podstawy - od ceny obniżonej, a nie pierwotnej. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Największa pułapka to odpowiedź D. Wielu uczniów myśli „cena wzrosła o 15%, więc dodaję 15% do 850 zł". To błąd - 15% przed obniżką to inna kwota niż 15% po obniżce. Podstawa procentu jest różna!
\n
⚠️ Uwaga: Cena po obniżce to 85% ceny pierwotnej, nie 115%. Obniżka zmniejsza cenę, więc dzielimy przez 0,85 (lub mnożymy przez \\(\\frac{100}{85}\\)), a nie przez 1,15.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź wynik - weź odpowiedź i oblicz, ile to 15% od tej kwoty. Jeśli wynik po odjęciu daje 850, masz rację.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Równanie na cenę początkową
\n

Niech \\(x\\) - cena przed obniżką. Obniżka 15% oznacza, że zostaje \\(85\\%\\) ceny:
\\[0{,}85x = 850 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\tfrac{850}{0{,}85} = 1000.\\]

\n
Sposób 2 - Proporcja
\n

\\(850\\) zł to \\(85\\%\\) ceny początkowej, więc \\(1\\%\\) to \\(\\tfrac{850}{85} = 10\\) zł, a \\(100\\%\\) to \\(1000\\) zł.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Sprawdzenie: \\(1000 - 15\\%\\cdot 1000 = 1000 - 150 = 850\\) zł ✓

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie ceny przed obniżką
\n
  1. Zrozumienie problemu: Wiemy, że cena po obniżce (850 zł) stanowi 85% ceny początkowej. Musimy więc obliczyć 100% ceny początkowej.
  2. Ustawienie równania: Niech x to cena przed obniżką. Zgodnie z treścią zadania:
\n

\\(x - 0.15x = 850\\)
\\(0.85x = 850\\)

\n
  1. Rozwiązanie równania: Dzielimy obie strony przez 0.85:
\n

\\(x = \\frac{850}{0.85} = 1000\\)
Zatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5

\n
Sposób 2: Wykorzystanie proporcji
\n
  1. Zrozumienie problemu: Obniżka o 15% oznacza, że 85% ceny początkowej to 850 zł.
  2. Ustawienie proporcji:
\n

\\(\\frac{850}{x} = \\frac{85}{100}\\) (gdzie x to cena początkowa)

\n
  1. Rozwiązanie proporcji: Przekształcamy proporcję:
\n

\\(85x = 850 \\cdot 100\\)
\\(85x = 85000\\)
\\(x = \\frac{85000}{85} = 1000\\)
Zatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}