{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2\n1\n2\n3\nx\n>\njest przedział\nA.\n1\n, 6\n\n\n-∞\n\n\n\n\nB.\n2\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\nC.\n1 ,\n6\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nD.\n2 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1-2x/2 > 1/3 jest przedział A. (-∞,1/6), B. (-∞,2/3), C. (1/6, +\\infty), D. (2/3,+∞).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje nierówności pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą (3.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez NWW mianowników\n\nMianowniki to \\(2\\) i \\(3\\), więc NWW = \\(6\\). Mnożymy obie strony przez \\(6 > 0\\) - **znak nierówności się nie zmienia**.\n\n\\[\\frac{1-2x}{2} > \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[6 \\cdot \\frac{1-2x}{2} > 6 \\cdot \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[3(1-2x) > 2\\]\n\n\\[3 - 6x > 2\\]\n\n\\[-6x > 2 - 3\\]\n\n\\[-6x > -1\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-6 < 0\\) - **znak nierówności się odwraca!**\n\n\\[x < \\frac{-1}{-6}\\]\n\n\\[x < \\frac{1}{6}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\)**\n\n## Sposób 2 - Przenoszenie wyrazów (bez mnożenia przez NWW)\n\nPrzenosimy \\(\\dfrac{1}{3}\\) na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{1-2x}{2} - \\frac{1}{3} > 0\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(6\\):\n\n\\[\\frac{3(1-2x)}{6} - \\frac{2}{6} > 0\\]\n\n\\[\\frac{3 - 6x - 2}{6} > 0\\]\n\n\\[\\frac{1 - 6x}{6} > 0\\]\n\nPonieważ \\(6 > 0\\), dzielimy przez \\(6\\) bez zmiany znaku:\n\n\\[1 - 6x > 0\\]\n\n\\[-6x > -1\\]\n\n\\[x < \\frac{1}{6}\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak). To materiał z algebry podstawowej, nieujęty w karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Obliczono \\(\\dfrac{1-2x}{2} > \\dfrac{1}{3}\\) i otrzymano \\(x < \\dfrac{2}{3}\\) - błąd przy upraszczaniu: zapomniano pomnożyć \\(\\dfrac{1}{3}\\) przez \\(3\\) (wzięto \\(1-2x > \\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(3(1-2x) > 2\\)) |\n| C | Poprawnie wyznaczono \\(\\left|\\dfrac{1}{6}\\right|\\), ale zapomniano odwrócić znak przy dzieleniu przez \\(-6\\) - uczeń wziął \\(x > \\dfrac{1}{6}\\) zamiast \\(x < \\dfrac{1}{6}\\) |\n| D | Połączono oba błędy: zła wartość graniczna \\(\\dfrac{2}{3}\\) i nieodwrócony znak nierówności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy **dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną**, musisz **odwrócić znak** (\\(>\\) staje się \\(<\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - podział przez \\(-6\\) zmienia kierunek nierówności!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc przez NWW, pamiętaj pomnożyć **obie strony w całości** - w tym zadaniu lewą stronę przez \\(6\\) (skraca się z \\(2\\), zostaje \\(3\\)), a prawą przez \\(6\\) (skraca się z \\(3\\), zostaje \\(2\\)). Błędem jest wzięcie samej liczby przed \\(x\\) bez reszty ułamka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x < \\dfrac{1}{6}\\) zapisujemy jako przedział **otwarty** \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\) - bez nawiasu kwadratowego, bo \\(x = \\dfrac{1}{6}\\) nie spełnia nierówności ostrej.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie przez wspólny mianownik\nMnożymy obie strony przez \\(6\\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmiany):\n\\[\\tfrac{1-2x}{2} > \\tfrac{1}{3} \\;\\Big|\\cdot 6\\]\n\\[3(1-2x) > 2\\]\n\\[3 - 6x > 2\\]\n\\[-6x > -1\\]\nDzielimy przez \\(-6\\) (liczba ujemna - **zmiana znaku nierówności**):\n\\[x < \\tfrac{1}{6}.\\]\nZatem \\(x\\in\\left(-\\infty,\\tfrac{1}{6}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie kontrolne\n- \\(x = 0\\): \\(\\tfrac{1}{2} > \\tfrac{1}{3}\\) ✓ - zatem 0 należy do zbioru, co eliminuje C i D.\n- \\(x = 1\\): \\(\\tfrac{-1}{2} > \\tfrac{1}{3}\\) ✗ - więc 1 nie należy.\n- \\(x = \\tfrac{1}{2}\\): \\(\\tfrac{0}{2} = 0 > \\tfrac{1}{3}\\) ✗.\n- \\(x = \\tfrac{1}{6}\\): \\(\\tfrac{1-1/3}{2} = \\tfrac{1}{3} > \\tfrac{1}{3}\\) ✗ (znak ostry).\n\nZbiór: \\(\\left(-\\infty, \\tfrac{1}{6}\\right)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Ktoś pomylił stronę znaku przy mnożeniu mianowników lub mylnie ocenił \\(x\\).\n- **C.** Ktoś zapomniał zmienić znak nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną (pułapka!).\n- **D.** Dwa błędy: zły punkt graniczny + zła strona przedziału.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą własności iloczynów\nRozważmy nierówność: \\(1 - 2x > 1 - \\frac{1}{3}\\)\nPrzenosimy wyrazy na lewą stronę:\n\\(1 - 2x - 1 + \\frac{1}{3} > 0\\)\n\\(-2x + \\frac{1}{3} > 0\\)\nPrzenosimy \\(2x\\) na prawą stronę:\n\\(\\frac{1}{3} - 2x > 0\\)\nPrzenosimy \\(2x\\) na lewą stronę:\n\\(\\frac{1}{3} > 2x\\)\nDzielimy obie strony przez 2:\n\\(x < \\frac{1}{6}\\)\nZatem rozwiązaniem jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\frac{1}{6}\\right)\\).\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności, strona 13\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą przekształceń algebraicznych\nRozważmy nierówność: \\(1 - 2x > 1 - \\frac{1}{3}\\)\nZ prawej strony mamy: \\(1 - \\frac{1}{3} = \\frac{3}{3} - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\)\nZatem nierówność to: \\(1 - 2x > \\frac{2}{3}\\)\nOdejmujemy 1 od obu stron:\n\\(-2x > \\frac{2}{3} - 1\\)\n\\(-2x > \\frac{2}{3} - \\frac{3}{3}\\)\n\\(-2x > -\\frac{1}{3}\\)\nDzielimy obie strony przez -2 (pamiętając o zmianie znaku nierówności):\n\\(x < \\frac{-\\frac{1}{3}}{-2}\\)\n\\(x < \\frac{1}{6}\\)\nZatem rozwiązaniem jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\frac{1}{6}\\right)\\).\n\n📖 Karta wzorów: Nierówności, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B.** \\(-\\infty, \\frac{2}{3}\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x < \\frac{2}{3}\\), a nie \\(1 - 2x > \\frac{2}{3}\\).\n* **C.** \\(\\frac{1}{6}, +\\infty\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x < \\frac{1}{6}\\), a nie \\(1 - 2x > \\frac{1}{6}\\). Ponadto, \\(\\frac{1}{6} + \\infty\\) nie ma sensu w kontekście przedziału.\n* **D.** \\(-\\infty, 0\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x < 0\\), a nie \\(1 - 2x > 0\\). Ponadto, \\(0\\) nie jest przedziałem.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2<br>1<br>2<br>3<br>x</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>jest przedział<br>A.<br>1<br>, 6<br><br><br>-∞<br><br><br><br><br>B.<br>2<br>, 3<br><br><br>-∞<br><br><br><br><br>C.<br>1 ,<br>6<br><br></p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p><br><br><br><br>D.<br>2 ,<br>3<br><br></p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p><br><br><br><br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1-2x/2 &gt; 1/3 jest przedział A. (-∞,1/6), B. (-∞,2/3), C. (1/6, +\\infty), D. (2/3,+∞).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia<br>z jedną niewiadomą (3.3).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Zbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie przez NWW mianowników</h4>\n<p>Mianowniki to \\(2\\) i \\(3\\), więc NWW = \\(6\\). Mnożymy obie strony przez \\(6 &gt; 0\\) - <strong>znak nierówności się nie zmienia</strong>.</p>\n<p>\\[\\frac{1-2x}{2} &gt; \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>\\[6 \\cdot \\frac{1-2x}{2} &gt; 6 \\cdot \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>\\[3(1-2x) &gt; 2\\]</p>\n<p>\\[3 - 6x &gt; 2\\]</p>\n<p>\\[-6x &gt; 2 - 3\\]</p>\n<p>\\[-6x &gt; -1\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(-6 &lt; 0\\) - <strong>znak nierówności się odwraca!</strong></p>\n<p>\\[x &lt; \\frac{-1}{-6}\\]</p>\n<p>\\[x &lt; \\frac{1}{6}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przenoszenie wyrazów (bez mnożenia przez NWW)</h4>\n<p>Przenosimy \\(\\dfrac{1}{3}\\) na lewą stronę:</p>\n<p>\\[\\frac{1-2x}{2} - \\frac{1}{3} &gt; 0\\]</p>\n<p>Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(6\\):</p>\n<p>\\[\\frac{3(1-2x)}{6} - \\frac{2}{6} &gt; 0\\]</p>\n<p>\\[\\frac{3 - 6x - 2}{6} &gt; 0\\]</p>\n<p>\\[\\frac{1 - 6x}{6} &gt; 0\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(6 &gt; 0\\), dzielimy przez \\(6\\) bez zmiany znaku:</p>\n<p>\\[1 - 6x &gt; 0\\]</p>\n<p>\\[-6x &gt; -1\\]</p>\n<p>\\[x &lt; \\frac{1}{6}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak). To materiał z algebry podstawowej, nieujęty w karcie wzorów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Obliczono \\(\\dfrac{1-2x}{2} &gt; \\dfrac{1}{3}\\) i otrzymano \\(x &lt; \\dfrac{2}{3}\\) - błąd przy upraszczaniu: zapomniano pomnożyć \\(\\dfrac{1}{3}\\) przez \\(3\\) (wzięto \\(1-2x &gt; \\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(3(1-2x) &gt; 2\\)) |<br>| C | Poprawnie wyznaczono \\(\\left|\\dfrac{1}{6}\\right|\\), ale zapomniano odwrócić znak przy dzieleniu przez \\(-6\\) - uczeń wziął \\(x &gt; \\dfrac{1}{6}\\) zamiast \\(x &lt; \\dfrac{1}{6}\\) |<br>| D | Połączono oba błędy: zła wartość graniczna \\(\\dfrac{2}{3}\\) i nieodwrócony znak nierówności |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kiedy <strong>dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną</strong>, musisz <strong>odwrócić znak</strong> (\\(&gt;\\) staje się \\(&lt;\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - podział przez \\(-6\\) zmienia kierunek nierówności!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mnożąc przez NWW, pamiętaj pomnożyć <strong>obie strony w całości</strong> - w tym zadaniu lewą stronę przez \\(6\\) (skraca się z \\(2\\), zostaje \\(3\\)), a prawą przez \\(6\\) (skraca się z \\(3\\), zostaje \\(2\\)). Błędem jest wzięcie samej liczby przed \\(x\\) bez reszty ułamka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(x &lt; \\dfrac{1}{6}\\) zapisujemy jako przedział <strong>otwarty</strong> \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{6}\\right)\\) - bez nawiasu kwadratowego, bo \\(x = \\dfrac{1}{6}\\) nie spełnia nierówności ostrej.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Mnożenie przez wspólny mianownik</h5>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(6\\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmiany):<br>\\[\\tfrac{1-2x}{2} &gt; \\tfrac{1}{3} \\;\\Big|\\cdot 6\\]<br>\\[3(1-2x) &gt; 2\\]<br>\\[3 - 6x &gt; 2\\]<br>\\[-6x &gt; -1\\]<br>Dzielimy przez \\(-6\\) (liczba ujemna - <strong>zmiana znaku nierówności</strong>):<br>\\[x &lt; \\tfrac{1}{6}.\\]<br>Zatem \\(x\\in\\left(-\\infty,\\tfrac{1}{6}\\right)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawienie kontrolne</h5>\n<ul><li>\\(x = 0\\): \\(\\tfrac{1}{2} &gt; \\tfrac{1}{3}\\) ✓ - zatem 0 należy do zbioru, co eliminuje C i D.</li><li>\\(x = 1\\): \\(\\tfrac{-1}{2} &gt; \\tfrac{1}{3}\\) ✗ - więc 1 nie należy.</li><li>\\(x = \\tfrac{1}{2}\\): \\(\\tfrac{0}{2} = 0 &gt; \\tfrac{1}{3}\\) ✗.</li><li>\\(x = \\tfrac{1}{6}\\): \\(\\tfrac{1-1/3}{2} = \\tfrac{1}{3} &gt; \\tfrac{1}{3}\\) ✗ (znak ostry).</li></ul>\n<p>Zbiór: \\(\\left(-\\infty, \\tfrac{1}{6}\\right)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Ktoś pomylił stronę znaku przy mnożeniu mianowników lub mylnie ocenił \\(x\\).</li><li><strong>C.</strong> Ktoś zapomniał zmienić znak nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną (pułapka!).</li><li><strong>D.</strong> Dwa błędy: zły punkt graniczny + zła strona przedziału.</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą własności iloczynów</h5>\n<p>Rozważmy nierówność: \\(1 - 2x &gt; 1 - \\frac{1}{3}\\)<br>Przenosimy wyrazy na lewą stronę:<br>\\(1 - 2x - 1 + \\frac{1}{3} &gt; 0\\)<br>\\(-2x + \\frac{1}{3} &gt; 0\\)<br>Przenosimy \\(2x\\) na prawą stronę:<br>\\(\\frac{1}{3} - 2x &gt; 0\\)<br>Przenosimy \\(2x\\) na lewą stronę:<br>\\(\\frac{1}{3} &gt; 2x\\)<br>Dzielimy obie strony przez 2:<br>\\(x &lt; \\frac{1}{6}\\)<br>Zatem rozwiązaniem jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\frac{1}{6}\\right)\\).</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności, strona 13</p>\n<h5>Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą przekształceń algebraicznych</h5>\n<p>Rozważmy nierówność: \\(1 - 2x &gt; 1 - \\frac{1}{3}\\)<br>Z prawej strony mamy: \\(1 - \\frac{1}{3} = \\frac{3}{3} - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\)<br>Zatem nierówność to: \\(1 - 2x &gt; \\frac{2}{3}\\)<br>Odejmujemy 1 od obu stron:<br>\\(-2x &gt; \\frac{2}{3} - 1\\)<br>\\(-2x &gt; \\frac{2}{3} - \\frac{3}{3}\\)<br>\\(-2x &gt; -\\frac{1}{3}\\)<br>Dzielimy obie strony przez -2 (pamiętając o zmianie znaku nierówności):<br>\\(x &lt; \\frac{-\\frac{1}{3}}{-2}\\)<br>\\(x &lt; \\frac{1}{6}\\)<br>Zatem rozwiązaniem jest przedział \\(\\left(-\\infty, \\frac{1}{6}\\right)\\).</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Nierówności, strona 4</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> \\(-\\infty, \\frac{2}{3}\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x &lt; \\frac{2}{3}\\), a nie \\(1 - 2x &gt; \\frac{2}{3}\\).</li><li><strong>C.</strong> \\(\\frac{1}{6}, +\\infty\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x &lt; \\frac{1}{6}\\), a nie \\(1 - 2x &gt; \\frac{1}{6}\\). Ponadto, \\(\\frac{1}{6} + \\infty\\) nie ma sensu w kontekście przedziału.</li><li><strong>D.</strong> \\(-\\infty, 0\\) - To rozwiązanie dla nierówności \\(1 - 2x &lt; 0\\), a nie \\(1 - 2x &gt; 0\\). Ponadto, \\(0\\) nie jest przedziałem.</li></ul>"}]}