{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem\n. Liczby\n1x ,\n2x są\nróżnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem\nA.\n1\n2\n8\nx\nx\nB.\n1\n2\n2\nx\nx\nC.\n1\n2\n2\nx\nx\nD.\n1\n2\n8\nx\nx\n( )\n(\n)(\n)\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x_1, x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. x_1 + x_2 = -8, B. x_1 + x_2 = -2, C. x_1 + x_2 = 2, D. x_1 + x_2 = 8.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci\nogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje)\n(4.10).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(x_1 + x_2 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt miejsc zerowych z postaci iloczynowej\n\nFunkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5)\\]\n\nMiejsca zerowe to rozwiązania równania \\(f(x) = 0\\):\n\\[-2(x+3)(x-5) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\\[x + 3 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = -3\\]\n\\[x - 5 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = 5\\]\n\nZatem:\n\\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozwijamy postać iloczynową do postaci ogólnej:\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\\]\n\\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\\]\n\nMamy więc \\(a = -2\\), \\(b = 4\\), \\(c = 30\\).\n\nZe wzorów Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{4}{-2} = \\mathbf{2}\\]\n\nWynik ten sam - **\\(x_1 + x_2 = 2\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia sumy miejsc zerowych bez liczenia pierwiastków.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nW Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że czynniki liniowe bezpośrednio dają miejsca zerowe.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x_1 + x_2 = -8\\) - uczeń dodał pierwiastki ze znakiem: \\((-3) + (-5) = -8\\), traktując \\((x+3)(x-5)\\) jakby obie liczby to były \\(-3\\) i \\(-5\\) |\n| B | \\(x_1 + x_2 = -2\\) - uczeń pomylił sumę z różnicą: \\(3 - 5 = -2\\), czyli wziął wartości z nawiasów nie zmieniając znaków |\n| D | \\(x_1 + x_2 = 8\\) - uczeń policzył \\(3 + 5 = 8\\), ignorując znaki przy wyznaczaniu miejsc zerowych z nawiasów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\((x + 3)\\) wynika miejsce zerowe \\(x_1 = \\mathbf{-3}\\), nie \\(+3\\)! Musisz rozwiązać \\(x + 3 = 0\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(-2\\) z przodu **nie wpływa na miejsca zerowe** - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, przez co go mnożymy (o ile mnożnik jest niezerowy). Nie wstawiaj go do obliczeń sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosując wzory Viète'a, pamiętaj odczytać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) z **pełnej postaci ogólnej** - tutaj \\(a = -2\\), nie \\(a = 2\\). Pomyłka znaku przy \\(a\\) zmieni wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczytanie miejsc zerowych z postaci iloczynowej\nFunkcja dana jest w postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\). Z porównania:\n\\[-2(x+3)(x-5) = -2(x-(-3))(x-5)\\]\nwidać, że \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 5\\). Suma:\n\\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór Viète'a\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 2x - 15) = -2x^2 + 4x + 30.\\]\nWzór Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{4}{-2} = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - ktoś odczytał miejsca zerowe jako \\(-3\\) i \\(-5\\) (błąd znaku w drugim nawiasie, \\((x-5)\\) to \\(x=5\\), nie \\(x=-5\\)).\n- **B. \\(-2\\)** - jeden znak pomylony: \\(3-5 = -2\\); czyli oba miejsca wzięte z nawiasów bez zmiany znaku.\n- **D. 8** - oba znaki pomylone: \\(3+5=8\\), gdyby miejsca wzięto jako \\(3\\) i \\(5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego\n1. **Zapisanie równania:** Funkcja f(x) jest określona wzorem f(x) = -2(x + 3)(x - 5). Pierwiastki funkcji kwadratowej to wartości x, dla których f(x) = 0. Zatem musimy rozwiązać równanie:\n-2(x + 3)(x - 5) = 0\n2. **Rozwiązanie równania:** Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:\n* x + 3 = 0 => x₁ = -3\n* x - 5 = 0 => x₂ = 5\n3. **Sprawdzenie odpowiedzi:** Szukamy, które z podanych odpowiedzi dają sumę x₁ + x₂ = -8. W naszym przypadku x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2. Zatem odpowiedź C jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone** 7, strona **7** (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę pierwiastków równania kwadratowego\n1. **Wzór na pierwiastki:** Dla równania kwadratowego w postaci ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków (x₁ + x₂) wynosi -b/a.\n2. **Identyfikacja współczynników:** W naszym przypadku f(x) = -2(x + 3)(x - 5) = -2(x² - 5x + 3x - 15) = -2(x² - 2x - 15) = -2x² + 4x + 30. Zatem a = -2, b = 4, c = 30.\n3. **Obliczenie sumy:** x₁ + x₂ = -b/a = -4/(-2) = 2. Ponownie, otrzymujemy 2, co potwierdza, że odpowiedź C jest prawidłowa.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. x₁ + x₂ = -8:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest inna niż podana w odpowiedzi A (-8).\n* **B. x₁ + x₂ = -2:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest inna niż podana w odpowiedzi B (-2).\n* **C. x₁ + x₂ = 2:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest równa podanej w odpowiedzi C (2).\n\n**Krótkie wyjaśnienie, dlaczego inne odpowiedzi są błędne:** Sposób, w jaki obliczamy sumę pierwiastków równania kwadratowego, jest poprawny i zgodny z wzorem na sumę pierwiastków. W naszym przypadku, -b/a = -4/(-2) = 2, a nie inne wartości.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem
. Liczby
1x ,
2x są
różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
A.
1
2
8
x
x
B.
1
2
2
x
x
C.
1
2
2
x
x
D.
1
2
8
x
x
( )
(
)(
)
2
3
5
f x
x
x

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x_1, x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. x_1 + x_2 = -8, B. x_1 + x_2 = -2, C. x_1 + x_2 = 2, D. x_1 + x_2 = 8.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji

\n
  1. Funkcje. Zdający interpretuje
\n

współczynniki występujące we wzorze funkcji
kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci
ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje)
(4.10).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\(x_1 + x_2 = 2\\)

\n

Sposób 1 - Bezpośredni odczyt miejsc zerowych z postaci iloczynowej

\n

Funkcja jest dana w postaci iloczynowej:
\\[f(x) = -2(x+3)(x-5)\\]

\n

Miejsca zerowe to rozwiązania równania \\(f(x) = 0\\):
\\[-2(x+3)(x-5) = 0\\]

\n

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:
\\[x + 3 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = -3\\]
\\[x - 5 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = 5\\]

\n

Zatem:
\\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = \\mathbf{2}\\]

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a

\n

Rozwijamy postać iloczynową do postaci ogólnej:
\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\\]
\\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\\]

\n

Mamy więc \\(a = -2\\), \\(b = 4\\), \\(c = 30\\).

\n

Ze wzorów Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{4}{-2} = \\mathbf{2}\\]

\n

Wynik ten sam - \\(x_1 + x_2 = 2\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia sumy miejsc zerowych bez liczenia pierwiastków.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
W Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że czynniki liniowe bezpośrednio dają miejsca zerowe.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(x_1 + x_2 = -8\\) - uczeń dodał pierwiastki ze znakiem: \\((-3) + (-5) = -8\\), traktując \\((x+3)(x-5)\\) jakby obie liczby to były \\(-3\\) i \\(-5\\) |
| B | \\(x_1 + x_2 = -2\\) - uczeń pomylił sumę z różnicą: \\(3 - 5 = -2\\), czyli wziął wartości z nawiasów nie zmieniając znaków |
| D | \\(x_1 + x_2 = 8\\) - uczeń policzył \\(3 + 5 = 8\\), ignorując znaki przy wyznaczaniu miejsc zerowych z nawiasów |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Z czynnika \\((x + 3)\\) wynika miejsce zerowe \\(x_1 = \\mathbf{-3}\\), nie \\(+3\\)! Musisz rozwiązać \\(x + 3 = 0\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik \\(-2\\) z przodu nie wpływa na miejsca zerowe - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, przez co go mnożymy (o ile mnożnik jest niezerowy). Nie wstawiaj go do obliczeń sumy.
\n
⚠️ Uwaga: Stosując wzory Viète'a, pamiętaj odczytać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) z pełnej postaci ogólnej - tutaj \\(a = -2\\), nie \\(a = 2\\). Pomyłka znaku przy \\(a\\) zmieni wynik.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Odczytanie miejsc zerowych z postaci iloczynowej
\n

Funkcja dana jest w postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\). Z porównania:
\\[-2(x+3)(x-5) = -2(x-(-3))(x-5)\\]
widać, że \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 5\\). Suma:
\\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór Viète'a
\n

\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 2x - 15) = -2x^2 + 4x + 30.\\]
Wzór Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{4}{-2} = 2\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego
\n
  1. Zapisanie równania: Funkcja f(x) jest określona wzorem f(x) = -2(x + 3)(x - 5). Pierwiastki funkcji kwadratowej to wartości x, dla których f(x) = 0. Zatem musimy rozwiązać równanie:
\n

-2(x + 3)(x - 5) = 0

\n
  1. Rozwiązanie równania: Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:
\n\n
  1. Sprawdzenie odpowiedzi: Szukamy, które z podanych odpowiedzi dają sumę x₁ + x₂ = -8. W naszym przypadku x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2. Zatem odpowiedź C jest poprawna.
\n

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone 7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na sumę pierwiastków równania kwadratowego
\n
  1. Wzór na pierwiastki: Dla równania kwadratowego w postaci ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków (x₁ + x₂) wynosi -b/a.
  2. Identyfikacja współczynników: W naszym przypadku f(x) = -2(x + 3)(x - 5) = -2(x² - 5x + 3x - 15) = -2(x² - 2x - 15) = -2x² + 4x + 30. Zatem a = -2, b = 4, c = 30.
  3. Obliczenie sumy: x₁ + x₂ = -b/a = -4/(-2) = 2. Ponownie, otrzymujemy 2, co potwierdza, że odpowiedź C jest prawidłowa.
\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Krótkie wyjaśnienie, dlaczego inne odpowiedzi są błędne: Sposób, w jaki obliczamy sumę pierwiastków równania kwadratowego, jest poprawny i zgodny z wzorem na sumę pierwiastków. W naszym przypadku, -b/a = -4/(-2) = 2, a nie inne wartości.

"}]}