{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja liniowa\nf określona jest wzorem\n1\n3\n1\n)\n(\nx\nx\nf\n, dla wszystkich liczb\nrzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nB. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP\nC. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n\n\n\n\n\n\n3\n1\n,0\nP\nD. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie\n(\n)1\n,0 -\nP\nFunkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = 1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1). C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we wzorze funkcji\nliniowej (4.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja \\(f\\) jest **rosnąca** i jej wykres przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\(P = (0, -1)\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt współczynników ze wzoru\n\nWzór funkcji liniowej ma postać ogólną:\n\\[f(x) = ax + b\\]\n\ngdzie \\(a\\) to **współczynnik kierunkowy** (decyduje o rosnącości/malejącości), a \\(b\\) to **wyraz wolny** (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)).\n\nMamy:\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}x - 1\\]\n\n**Krok 1: Odczytaj \\(a\\) i \\(b\\).**\n\n\\[a = \\frac{1}{3}, \\qquad b = -1\\]\n\n**Krok 2: Określ monotoniczność.**\n\nPonieważ \\(a = \\frac{1}{3} > 0\\), funkcja jest **rosnąca**.\n\n**Krok 3: Wyznacz punkt przecięcia z osią \\(Oy\\).**\n\nOś \\(Oy\\) przecinamy dla \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 1 = -1\\]\n\nZatem punkt przecięcia to \\(P = (0, -1)\\).\n\n**Wniosek:** Funkcja jest rosnąca, przecina \\(Oy\\) w \\((0, -1)\\) → **odpowiedź D**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów\n\nSprawdzamy rosnącość, licząc wartości w dwóch punktach:\n\n\\[f(0) = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 1 = -1\\]\n\n\\[f(3) = \\frac{1}{3} \\cdot 3 - 1 = 1 - 1 = 0\\]\n\nSkoro \\(0 < 3\\) i \\(f(0) = -1 < 0 = f(3)\\), to **gdy \\(x\\) rośnie, \\(f(x)\\) też rośnie** - funkcja jest rosnąca. ✓\n\nPunkt przecięcia z \\(Oy\\): to wprost \\(f(0) = -1\\), czyli \\(P = (0, -1)\\). ✓\n\nWynik zgodny z odpowiedzią D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i odczyt współczynników \\(a\\), \\(b\\) ze wzoru \\(f(x) = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dwa błędy naraz: uznano, że \\(a < 0\\) (malejąca) **oraz** pomylono \\(a = \\frac{1}{3}\\) z wyrazem wolnym, biorąc \\(\\frac{1}{3}\\) jako punkt przecięcia z \\(Oy\\) |\n| B | Poprawny punkt przecięcia z \\(Oy\\), ale błędna monotoniczność - uznano \\(\\frac{1}{3} < 0\\), co jest nieprawdą |\n| C | Poprawna monotoniczność (rosnąca), ale błędny punkt - wzięto \\(a = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(b = -1\\) jako przecięcie z \\(Oy\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) to \\((0, b)\\), gdzie \\(b\\) to wyraz **wolny** - czyli liczba stojąca samotnie, bez \\(x\\). Tu \\(b = -1\\), nie \\(\\frac{1}{3}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** O rosnącości/malejącości decyduje znak współczynnika \\(a\\) (przy \\(x\\)). Jeśli \\(a > 0\\) - rosnąca, jeśli \\(a < 0\\) - malejąca. Ułamek \\(\\frac{1}{3}\\) jest dodatni, więc funkcja rośnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a\\) z \\(b\\) - szczególnie gdy wzór wygląda jak \\(\\frac{1}{3}x - 1\\) i obie liczby są \"widoczne\". Zawsze pytaj: \"która stoi przy \\(x\\), a która nie?\"\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Dwie własności z postaci \\(f(x) = ax+b\\)\nDla \\(f(x) = \\tfrac{1}{3}x - 1\\): \\(a=\\tfrac{1}{3}\\), \\(b=-1\\).\n\n**Monotoniczność:** \\(a = \\tfrac{1}{3} > 0\\), więc funkcja jest **rosnąca**.\n\n**Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\):** podstawiamy \\(x=0\\):\n\\[f(0) = \\tfrac{1}{3}\\cdot 0 - 1 = -1.\\]\nZatem \\(P = (0, -1)\\).\n\n### Sposób 2 - Szybkie odrzucanie\nZ postaci \\(ax+b\\) wyraz wolny to \\(b=-1\\), więc wykres przecina \\(Oy\\) w \\(y=-1\\). To od razu wyklucza A i C. Spośród B, D wybieramy według monotoniczności: \\(a>0 \\Rightarrow\\) rosnąca \\(\\Rightarrow\\) D.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Dwa błędy: \"malejąca\" (bo \\(a>0\\), więc rosnąca) oraz \\(y=\\tfrac{1}{3}\\) zamiast \\(-1\\) - ktoś wziął współczynnik kierunkowy jako wyraz wolny.\n- **B.** Dobry punkt przecięcia, ale błędna monotoniczność.\n- **C.** Dobra monotoniczność, ale zły punkt przecięcia.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla konkretnego x\n1. **Znamy wzór funkcji:** \\(f(x) = x - 1\\)\n2. **Wstawiamy x = 3:** \\(f(3) = 3 - 1 = 2\\)\n3. **Sprawdzamy, czy wynik zgadza się z podaną odpowiedzią:** Wybór D (2) jest prawidłowy.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji liniowej\n1. **Funkcja liniowa ma postać:** \\(f(x) = ax + b\\), gdzie a i b są stałymi.\n2. **Znamy f(x) = x - 1, więc:** a = 1 i b = -1.\n3. **Sprawdzamy, czy wartość f(3) zgadza się z podaną odpowiedzią:** \\(f(3) = 1 * 3 + (-1) = 2\\), czyli f(3) = 2. Wybór D (2) jest prawidłowy.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** \\(f(3) = 3 - 1 = 2\\) - To jest poprawne, ale odpowiedź D jest bardziej precyzyjna.\n* **B:** \\(f(3) = - (3 - 1) = -2\\) - To jest błędne, ponieważ funkcja jest zdefiniowana jako \\(f(x) = x - 1\\).\n* **C:** \\(f(0) = 0 - 1 = -1\\) - To jest błędne, ponieważ zadanie mówi, że funkcja jest zdefiniowana dla *wszystkich* liczb rzeczywistych x, a nie tylko dla x=0. Wartość funkcji w punkcie 0 nie ma znaczenia w tym przypadku.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Funkcja liniowa
f określona jest wzorem
1
3
1
)
(
x
x
f
, dla wszystkich liczb
rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie






3
1
,0
P
B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie
(
)1
,0 -
P
C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie






3
1
,0
P
D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie
(
)1
,0 -
P
Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = 1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1). C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający interpretuje
\n

współczynniki występujące we wzorze funkcji
liniowej (4.7).
Wersja
I
Wersja
II
D
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Funkcja \\(f\\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\(P = (0, -1)\\).

\n

Sposób 1 - Odczyt współczynników ze wzoru

\n

Wzór funkcji liniowej ma postać ogólną:
\\[f(x) = ax + b\\]

\n

gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (decyduje o rosnącości/malejącości), a \\(b\\) to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)).

\n

Mamy:
\\[f(x) = \\frac{1}{3}x - 1\\]

\n

Krok 1: Odczytaj \\(a\\) i \\(b\\).

\n

\\[a = \\frac{1}{3}, \\qquad b = -1\\]

\n

Krok 2: Określ monotoniczność.

\n

Ponieważ \\(a = \\frac{1}{3} > 0\\), funkcja jest rosnąca.

\n

Krok 3: Wyznacz punkt przecięcia z osią \\(Oy\\).

\n

Oś \\(Oy\\) przecinamy dla \\(x = 0\\):
\\[f(0) = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 1 = -1\\]

\n

Zatem punkt przecięcia to \\(P = (0, -1)\\).

\n

Wniosek: Funkcja jest rosnąca, przecina \\(Oy\\) w \\((0, -1)\\) → odpowiedź D.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów

\n

Sprawdzamy rosnącość, licząc wartości w dwóch punktach:

\n

\\[f(0) = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 1 = -1\\]

\n

\\[f(3) = \\frac{1}{3} \\cdot 3 - 1 = 1 - 1 = 0\\]

\n

Skoro \\(0 < 3\\) i \\(f(0) = -1 < 0 = f(3)\\), to gdy \\(x\\) rośnie, \\(f(x)\\) też rośnie - funkcja jest rosnąca. ✓

\n

Punkt przecięcia z \\(Oy\\): to wprost \\(f(0) = -1\\), czyli \\(P = (0, -1)\\). ✓

\n

Wynik zgodny z odpowiedzią D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i odczyt współczynników \\(a\\), \\(b\\) ze wzoru \\(f(x) = ax + b\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Dwa błędy naraz: uznano, że \\(a < 0\\) (malejąca) oraz pomylono \\(a = \\frac{1}{3}\\) z wyrazem wolnym, biorąc \\(\\frac{1}{3}\\) jako punkt przecięcia z \\(Oy\\) |
| B | Poprawny punkt przecięcia z \\(Oy\\), ale błędna monotoniczność - uznano \\(\\frac{1}{3} < 0\\), co jest nieprawdą |
| C | Poprawna monotoniczność (rosnąca), ale błędny punkt - wzięto \\(a = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(b = -1\\) jako przecięcie z \\(Oy\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) to \\((0, b)\\), gdzie \\(b\\) to wyraz wolny - czyli liczba stojąca samotnie, bez \\(x\\). Tu \\(b = -1\\), nie \\(\\frac{1}{3}\\)!
\n
⚠️ Uwaga: O rosnącości/malejącości decyduje znak współczynnika \\(a\\) (przy \\(x\\)). Jeśli \\(a > 0\\) - rosnąca, jeśli \\(a < 0\\) - malejąca. Ułamek \\(\\frac{1}{3}\\) jest dodatni, więc funkcja rośnie.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(a\\) z \\(b\\) - szczególnie gdy wzór wygląda jak \\(\\frac{1}{3}x - 1\\) i obie liczby są "widoczne". Zawsze pytaj: "która stoi przy \\(x\\), a która nie?"
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Dwie własności z postaci \\(f(x) = ax+b\\)
\n

Dla \\(f(x) = \\tfrac{1}{3}x - 1\\): \\(a=\\tfrac{1}{3}\\), \\(b=-1\\).

\n

Monotoniczność: \\(a = \\tfrac{1}{3} > 0\\), więc funkcja jest rosnąca.

\n

Punkt przecięcia z osią \\(Oy\\): podstawiamy \\(x=0\\):
\\[f(0) = \\tfrac{1}{3}\\cdot 0 - 1 = -1.\\]
Zatem \\(P = (0, -1)\\).

\n
Sposób 2 - Szybkie odrzucanie
\n

Z postaci \\(ax+b\\) wyraz wolny to \\(b=-1\\), więc wykres przecina \\(Oy\\) w \\(y=-1\\). To od razu wyklucza A i C. Spośród B, D wybieramy według monotoniczności: \\(a>0 \\Rightarrow\\) rosnąca \\(\\Rightarrow\\) D.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla konkretnego x
\n
  1. Znamy wzór funkcji: \\(f(x) = x - 1\\)
  2. Wstawiamy x = 3: \\(f(3) = 3 - 1 = 2\\)
  3. Sprawdzamy, czy wynik zgadza się z podaną odpowiedzią: Wybór D (2) jest prawidłowy.
\n

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji liniowej
\n
  1. Funkcja liniowa ma postać: \\(f(x) = ax + b\\), gdzie a i b są stałymi.
  2. Znamy f(x) = x - 1, więc: a = 1 i b = -1.
  3. Sprawdzamy, czy wartość f(3) zgadza się z podaną odpowiedzią: \\(f(3) = 1 * 3 + (-1) = 2\\), czyli f(3) = 2. Wybór D (2) jest prawidłowy.
\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}