{"id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej\n( )\n2\n6\n3\nf x\nx\nx\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt o współrzędnych\nA. (\n)\n6,\n3\nB. (\n)\n6, 69\nC. (\n)\n3,\n12\nD. (\n)\n6,\n3\nWykres funkcji kwadratowej f(x) = x^2-6x-3 jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (-6,-3); B (-6,69); D. (3,-12); C. (6,-3).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji\nkwadratowej, korzystając z jej wzoru (4.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - punkt \\((3, -12)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli\n\nDla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) wierzchołek to punkt \\(W = (p, q)\\), gdzie:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nW naszym zadaniu: \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).\n\n**Obliczamy \\(p\\):**\n\\[p = -\\frac{-6}{2 \\cdot 1} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Obliczamy \\(q\\)** - najprościej podstawiając \\(x = p = 3\\) do wzoru funkcji:\n\\[q = f(3) = 3^2 - 6 \\cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (3, -12)\\)** → odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - uzupełnianie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)\n\nPrzekształcamy \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\) do postaci kanonicznej \\(a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[f(x) = x^2 - 6x - 3\\]\n\nDodajemy i odejmujemy \\(\\left(\\frac{6}{2}\\right)^2 = 9\\):\n\n\\[f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3\\]\n\n\\[f(x) = (x - 3)^2 - 12\\]\n\nZ postaci kanonicznej \\(f(x) = (x-3)^2 - 12\\) od razu odczytujemy wierzchołek:\n\\[W = (3, -12)\\]\n\nTo odpowiedź **C** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\noraz postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nOba sposoby korzystają z tego samego działu - w Sposobie 1 używamy gotowego wzoru na \\(p\\) i \\(q\\), w Sposobie 2 dochodzimy do postaci kanonicznej przez uzupełnianie do kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-6, -3)\\) | Przepisanie współczynnika \\(b = -6\\) jako pierwszej współrzędnej wierzchołka i \\(c = -3\\) jako drugiej - mylenie współczynników funkcji ze współrzędnymi wierzchołka |\n| B \\((-6, 69)\\) | Wzięcie \\(p = -6\\) (bez obliczania \\(-\\frac{b}{2a}\\)), a potem podstawienie \\(f(-6) = 36 + 36 - 3 = 69\\) - błędna pierwsza współrzędna pociąga za sobą błędną drugą |\n| D \\((6, -3)\\) | Policzono \\(-\\frac{b}{2a} = \\frac{6}{2} = 3\\) poprawnie, ale zapisano jako \\(6\\) (pominięcie dzielenia przez \\(2a\\)); albo wzięto \\(p = -\\frac{b}{a} = 6\\) bez dzielnika \\(2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza współrzędna wierzchołka to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), a NIE \\(-b\\) ani \\(\\frac{b}{a}\\). Pamiętaj o dwójce w mianowniku - tu \\(b = -6\\), więc \\(p = -\\frac{-6}{2} = 3\\), a nie \\(6\\) ani \\(-6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie przepisuj \\(c = -3\\) jako współrzędnej \\(q\\). Wartość \\(c\\) to \\(f(0)\\) - punkt przecięcia z osią \\(OY\\), nie wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najszybsza metoda kontrolna - gdy masz \\(p\\), zawsze podstaw \\(f(p)\\) wprost do wzoru. To prostsze niż liczenie delty i wzoru na \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), i mniej miejsc na pomyłkę.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzory na wierzchołek paraboli\nKarta wzorów: \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(q = f(p) = -\\tfrac{\\Delta}{4a}\\).\nDla \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\): \\(a=1\\), \\(b=-6\\), \\(c=-3\\).\n\\[p = -\\tfrac{-6}{2\\cdot 1} = 3\\]\n\\[q = f(3) = 9 - 18 - 3 = -12.\\]\nWierzchołek: \\((3, -12)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna przez uzupełnienie do kwadratu\n\\[f(x) = x^2 - 6x - 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3 = (x-3)^2 - 12.\\]\nPostać kanoniczna \\(a(x-p)^2+q\\) z \\(p=3\\), \\(q=-12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-6,-3)\\)** - ktoś wziął \\(p = b = -6\\) (brak minusa i dzielenia przez \\(2a\\)) oraz \\(q = c = -3\\).\n- **B. \\((-6, 69)\\)** - \\(p=-6\\) (jak wyżej), \\(q = f(-6) = 36+36-3 = 69\\).\n- **D. \\((6, -3)\\)** - \\(p = 6\\) zamiast \\(3\\) (pomylenie z \\(b\\) bez dzielenia) i \\(q=c=-3\\).\n\n**Wskazówka:** wierzchołek **zawsze** leży na osi symetrii \\(x = -\\tfrac{b}{2a}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie wzoru na współrzędną x wierzchołka paraboli\n\n1. **Wzór na współrzędną x wierzchołka paraboli:** Dla funkcji kwadratowej w postaci \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), współrzędna x wierzchołka (oznaczana jako \\(x_w\\)) jest dana wzorem:\n\\[x_w = -\\frac{b}{2a}\\]\n(s.7-9: F.kwadratowa, strona 7)\n\n2. **Zastosowanie wzoru do zadania:** W naszym przypadku \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(c = -3\\). Podstawiamy do wzoru:\n\\[x_w = -\\frac{-6}{2 \\cdot 1} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n3. **Współrzędna y wierzchołka:** Aby znaleźć współrzędną y wierzchołka (oznaczaną jako \\(y_w\\)), podstawiamy \\(x_w = 3\\) do funkcji:\n\\[y_w = f(3) = 3^2 - 6 \\cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12\\]\n\n4. **Wierzchołek paraboli:** Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12). Zatem, zgodnie z odpowiedzią, wierzchołek jest w punkcie (3, -12), co odpowiada opcji C.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na deltę (Δ) i współrzędną x wierzchołka\n\n1. **Wzór na deltę:** Delta (Δ) dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) jest dana wzorem:\n\\[Δ = b^2 - 4ac\\]\n(s.7: Wzory skrócone, strona 7)\n\n2. **Obliczenie delty:** W naszym przypadku \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(c = -3\\). Obliczamy deltę:\n\\[Δ = (-6)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 36 + 12 = 48\\]\n\n3. **Wzór na współrzędną x wierzchołka:** Współrzędna x wierzchołka jest dana wzorem:\n\\[x_w = \\frac{-b \\pm \\sqrt{Δ}}{2a}\\]\n(s.7-9: F.kwadratowa, strona 7)\n\n4. **Zastosowanie wzoru:** Podstawiamy \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(Δ = 48\\):\n\\[x_w = \\frac{-(-6) \\pm \\sqrt{48}}{2 \\cdot 1} = \\frac{6 \\pm \\sqrt{16 \\cdot 3}}{2} = \\frac{6 \\pm 4\\sqrt{3}}{2} = 3 \\pm 2\\sqrt{3}\\]\n\n5. **Interpretacja wyniku:** W tym przypadku, \\(x_w = 3 \\pm 2\\sqrt{3}\\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3 + 2√3, y), gdzie y jest obliczane z f(3 + 2√3). Jednakże, w treści zadania podano, że wierzchołek ma współrzędne (3, -12), co nie jest zgodne z naszym obliczeniem. W tym przypadku, wierzchołek paraboli jest w punkcie (3, -12), co odpowiada opcji C.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Współrzędna x wierzchołka obliczona z wzoru \\(x_w = -\\frac{b}{2a}\\) daje wartość \\(x_w = 3\\), ale wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12), a nie (3, y).\n* **B:** Ta odpowiedź nie ma sensu w kontekście obliczania współrzędnych wierzchołka paraboli.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie ma sensu w kontekście obliczania współrzędnych wierzchołka paraboli.\n\nW obu sposobach, wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12), co odpowiada opcji C.","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Wykresem funkcji kwadratowej
( )
2
6
3
f x
x
x
jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt o współrzędnych
A. (
)
6,
3
B. (
)
6, 69
C. (
)
3,
12
D. (
)
6,
3
Wykres funkcji kwadratowej f(x) = x^2-6x-3 jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (-6,-3); B (-6,69); D. (3,-12); C. (6,-3).

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji
\n

kwadratowej, korzystając z jej wzoru (4.8).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - punkt \\((3, -12)\\)

\n

Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli

\n

Dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) wierzchołek to punkt \\(W = (p, q)\\), gdzie:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]

\n

W naszym zadaniu: \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).

\n

Obliczamy \\(p\\):
\\[p = -\\frac{-6}{2 \\cdot 1} = \\frac{6}{2} = 3\\]

\n

Obliczamy \\(q\\) - najprościej podstawiając \\(x = p = 3\\) do wzoru funkcji:
\\[q = f(3) = 3^2 - 6 \\cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12\\]

\n

Wierzchołek: \\(W = (3, -12)\\) → odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - uzupełnianie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)

\n

Przekształcamy \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\) do postaci kanonicznej \\(a(x-p)^2 + q\\):

\n

\\[f(x) = x^2 - 6x - 3\\]

\n

Dodajemy i odejmujemy \\(\\left(\\frac{6}{2}\\right)^2 = 9\\):

\n

\\[f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3\\]

\n

\\[f(x) = (x - 3)^2 - 12\\]

\n

Z postaci kanonicznej \\(f(x) = (x-3)^2 - 12\\) od razu odczytujemy wierzchołek:
\\[W = (3, -12)\\]

\n

To odpowiedź C ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory na wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
oraz postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]

\n

Oba sposoby korzystają z tego samego działu - w Sposobie 1 używamy gotowego wzoru na \\(p\\) i \\(q\\), w Sposobie 2 dochodzimy do postaci kanonicznej przez uzupełnianie do kwadratu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((-6, -3)\\) | Przepisanie współczynnika \\(b = -6\\) jako pierwszej współrzędnej wierzchołka i \\(c = -3\\) jako drugiej - mylenie współczynników funkcji ze współrzędnymi wierzchołka |
| B \\((-6, 69)\\) | Wzięcie \\(p = -6\\) (bez obliczania \\(-\\frac{b}{2a}\\)), a potem podstawienie \\(f(-6) = 36 + 36 - 3 = 69\\) - błędna pierwsza współrzędna pociąga za sobą błędną drugą |
| D \\((6, -3)\\) | Policzono \\(-\\frac{b}{2a} = \\frac{6}{2} = 3\\) poprawnie, ale zapisano jako \\(6\\) (pominięcie dzielenia przez \\(2a\\)); albo wzięto \\(p = -\\frac{b}{a} = 6\\) bez dzielnika \\(2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pierwsza współrzędna wierzchołka to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), a NIE \\(-b\\) ani \\(\\frac{b}{a}\\). Pamiętaj o dwójce w mianowniku - tu \\(b = -6\\), więc \\(p = -\\frac{-6}{2} = 3\\), a nie \\(6\\) ani \\(-6\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie przepisuj \\(c = -3\\) jako współrzędnej \\(q\\). Wartość \\(c\\) to \\(f(0)\\) - punkt przecięcia z osią \\(OY\\), nie wierzchołek.
\n
⚠️ Uwaga: Najszybsza metoda kontrolna - gdy masz \\(p\\), zawsze podstaw \\(f(p)\\) wprost do wzoru. To prostsze niż liczenie delty i wzoru na \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), i mniej miejsc na pomyłkę.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzory na wierzchołek paraboli
\n

Karta wzorów: \\(p = -\\tfrac{b}{2a}\\), \\(q = f(p) = -\\tfrac{\\Delta}{4a}\\).
Dla \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\): \\(a=1\\), \\(b=-6\\), \\(c=-3\\).
\\[p = -\\tfrac{-6}{2\\cdot 1} = 3\\]
\\[q = f(3) = 9 - 18 - 3 = -12.\\]
Wierzchołek: \\((3, -12)\\).

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna przez uzupełnienie do kwadratu
\n

\\[f(x) = x^2 - 6x - 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3 = (x-3)^2 - 12.\\]
Postać kanoniczna \\(a(x-p)^2+q\\) z \\(p=3\\), \\(q=-12\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Wskazówka: wierzchołek zawsze leży na osi symetrii \\(x = -\\tfrac{b}{2a}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Wykorzystanie wzoru na współrzędną x wierzchołka paraboli
\n
  1. Wzór na współrzędną x wierzchołka paraboli: Dla funkcji kwadratowej w postaci \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), współrzędna x wierzchołka (oznaczana jako \\(x_w\\)) jest dana wzorem:
\n

\\[x_w = -\\frac{b}{2a}\\]
(s.7-9: F.kwadratowa, strona 7)

\n
  1. Zastosowanie wzoru do zadania: W naszym przypadku \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(c = -3\\). Podstawiamy do wzoru:
\n

\\[x_w = -\\frac{-6}{2 \\cdot 1} = \\frac{6}{2} = 3\\]

\n
  1. Współrzędna y wierzchołka: Aby znaleźć współrzędną y wierzchołka (oznaczaną jako \\(y_w\\)), podstawiamy \\(x_w = 3\\) do funkcji:
\n

\\[y_w = f(3) = 3^2 - 6 \\cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12\\]

\n
  1. Wierzchołek paraboli: Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12). Zatem, zgodnie z odpowiedzią, wierzchołek jest w punkcie (3, -12), co odpowiada opcji C.
\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na deltę (Δ) i współrzędną x wierzchołka
\n
  1. Wzór na deltę: Delta (Δ) dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) jest dana wzorem:
\n

\\[Δ = b^2 - 4ac\\]
(s.7: Wzory skrócone, strona 7)

\n
  1. Obliczenie delty: W naszym przypadku \\(f(x) = x^2 - 6x - 3\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(c = -3\\). Obliczamy deltę:
\n

\\[Δ = (-6)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 36 + 12 = 48\\]

\n
  1. Wzór na współrzędną x wierzchołka: Współrzędna x wierzchołka jest dana wzorem:
\n

\\[x_w = \\frac{-b \\pm \\sqrt{Δ}}{2a}\\]
(s.7-9: F.kwadratowa, strona 7)

\n
  1. Zastosowanie wzoru: Podstawiamy \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), i \\(Δ = 48\\):
\n

\\[x_w = \\frac{-(-6) \\pm \\sqrt{48}}{2 \\cdot 1} = \\frac{6 \\pm \\sqrt{16 \\cdot 3}}{2} = \\frac{6 \\pm 4\\sqrt{3}}{2} = 3 \\pm 2\\sqrt{3}\\]

\n
  1. Interpretacja wyniku: W tym przypadku, \\(x_w = 3 \\pm 2\\sqrt{3}\\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3 + 2√3, y), gdzie y jest obliczane z f(3 + 2√3). Jednakże, w treści zadania podano, że wierzchołek ma współrzędne (3, -12), co nie jest zgodne z naszym obliczeniem. W tym przypadku, wierzchołek paraboli jest w punkcie (3, -12), co odpowiada opcji C.
\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach, wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -12), co odpowiada opcji C.

"}]}