{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nObjętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru\n(\n)\n2\n2\n1\n3\nV\nH r\nrR\nR\nπ\n, gdzie r i R są promieniami podstaw (r\nR\n<\n), a H jest wysokością\nbryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π , a\n6\nr =\n. Oblicz\ncosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nObjętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru V = 1/3π\\piH(r^2 + rR + R^2), gdzie r i R są promieniami podstaw (rZadanie 10. (0-4)
Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru
(
)
2
2
1
3
V
H r
rR
R
π
, gdzie r i R są promieniami podstaw (r
R
<
), a H jest wysokością
bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π , a
6
r =
. Oblicz
cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru V = 1/3π\\piH(r^2 + rR + R^2), gdzie r i R są promieniami podstaw (r<R), a H jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π, a r = 6. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Stereometria. Zdający rozpoznaje w walcach
\n

i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między
odcinkami i płaszczyznami (9.3).

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje
\n

równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).
Przykładowe rozwiązanie
Przekrojem osiowym stożka jest trapez równoramienny ABCD. Niech DE oznacza wysokość
stożka opuszczoną z punktu D.
Po podstawieniu danych do wzoru na objętość otrzymujemy równanie kwadratowe
(
)
2
2
1
10
6
6
840
3
R
R
π⋅
⋅
π .
Stąd
2
6
216
0
R
R
Rozwiązując je, otrzymujemy
36
4 216
900,
30
Δ =
⋅
Δ =
,
6
30
18
0
2
R
<
lub
6
30
12
2
R
Przekrojem osiowym tego stożka jest trapez równoramienny o podstawach długości 24 i 12
oraz wysokości 10. Długość odcinka EB jest równa
12
6
18
EB
R
r
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDE otrzymujemy
2
2
10
18
424
2 106
BD =
Zatem
18
9
cos
2 106
106
DBE =

Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający wyznaczy promień R większej podstawy:
12
R =
i na tym zakończy lub dalej popełni
błędy.
C
B
A
D
E
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy promień R większej podstawy:
12
R =
i długość odcinka EB:
18
EB =
,
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy
• długość przekątnej trapezu
2 106
BD =
albo
• obliczy tangens kąta DBE:
5
9
tg
DBE =

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy
9
106
cos
DBE =

Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tego
\n

stożka ściętego do jednej z jego podstaw w zależności od R, r, H i na tym zakończy
lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny przy zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa,
\n

pisząc np.: |EB|2 + |BD|2 = |ED|2, albo popełni błąd merytoryczny przez zastosowanie
nieistniejącego wzoru "pierwiastek sumy = suma pierwiastków", to może otrzymać co
najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że wysokością stożka jest odcinek AD, to może
\n

otrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile poprawnie obliczy R.

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania zadania i popełnia jedynie błędy
\n

rachunkowe, to może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają
rozwiązania na żadnym etapie.

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy długość R oraz długość ramienia trapezu, to może otrzymać
\n

2 punkty. Jeżeli zdający obliczy długość R oraz długość ramienia trapezu, a ponadto
obliczy długość BD i zapisze twierdzenie cosinusów, to może otrzymać 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że średnica górnej podstawy stożka ściętego ma
\n

długość 6, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na
\n

dłuższą podstawę to różnica średnic dolnej i górnej podstawy zamiast połowy tej
różnicy i nie jest to błąd wynikający z rachunków, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty
za całe rozwiązanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\cos|\\sphericalangle DBE| = \\dfrac{9}{\\sqrt{106}}$

"}]}