{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż równanie sin6\ncos3\n2sin3\n1\nx\nx\nx\n+ w przedziale 0, π .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie sin6x + cos3x = 2sin3x + 1 w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje wzory na sinus\ni cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów (R6.5). Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności trygonometryczne (R6.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny\nsin 6\ncos3\n2sin 3\n1\nx\nx\nx\n+ ,\n2sin 3 cos3\ncos3\n2sin 3\n1\nx\nx\nx\nx\n+ ,\n(\n)\ncos3\n2sin3\n1\n2sin3\n1\nx\nx\nx\n+ ,\n(\n)(\n)\n2sin3\n1\ncos3\n1\n0\nx\nx\n,\n1\n2\nsin3x = -\nlub cos3\n1\nx = .\nStąd\n7\n3\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n11\n3\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub 3\n2\nx\nkπ\n, k - liczba całkowita.\nZatem\n7\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n11\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n2\n3\nk\nx\nπ\nW przedziale 0,π mamy następujące rozwiązania równania:\n7\n18\nx\nπ\n,\n11\n18\nx\nπ\n,\n0\nx =\n,\n2\n3\nx\nπ\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zastosuje wzór na sinus kąta podwojonego i zapisze równanie w postaci\n2sin 3 cos3\ncos3\n2sin 3\n1\nx\nx\nx\nx\n+ , i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania\n1\nsin3\n2\nx = -\n, cos3\n1\nx = .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze wszystkie rozwiązania równań\n1\nsin3\n2\nx = -\noraz cos3\n1\nx = w zbiorze liczb\nrzeczywistych\n7\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n11\n2\n18\n3\nk\nx\nπ\nπ\nlub\n2\n3\nk\nx\nπ\nalbo\n• zapisze dwa równania\n1\nsin3\n2\nx = -\noraz cos3\n1\nx = i jedno z nich rozwiąże\nw przedziale 0,π\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze wszystkie rozwiązania równania w przedziale 0,π :\n7\n18\nx\nπ\n,\n11\n18\nx\nπ\n,\n0\nx =\n,\n2\n3\nx\nπ\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie stosuje wzór na sinus kąta podwojonego, zapisze tylko jedno\nz równań cos3\n1\nx = ,\n1\n2\nsin3x = -\n, to otrzymuje\n1 punkt, jeśli rozwiąże to równanie w R;\n2 punkty, jeśli rozwiąże to równanie w 0,π .\n2. Jeżeli zdający poprawnie stosuje wzór na sinus kąta podwojonego i poprawnie zapisze\nrównanie równoważne w postaci, w której z jednej strony występuje iloczyn, a z drugiej zero,\nale w wyniku błędów zapisuje jedno równanie lub dwa równania z niewłaściwym znakiem\nprzy stałej, to otrzymuje:\n3 punkty, o ile konsekwentnie rozwiąże obydwa równania w przedziale 0,π ;\n2 punkty, o ile konsekwentnie rozwiąże dwa równania w R lub konsekwentnie rozwiąże\njedno równanie w 0,π ;\n1 punkt, o ile konsekwentnie rozwiąże jedno równanie w R.\n4. Jeżeli zdający wyznacza rozwiązania równań cos\n1\nα = oraz\n1\n2\nsinα = -\n, gdzie\n3x\nα =\n,\nw przedziale 0,3π i na tym poprzestaje lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu rozwiązań równań cos3\n1\nx = oraz\n1\n2\nsin3x = -\nzapisuje\npoprawnie serię rozwiązań pierwszego z nich (z cos) oraz jedną serię rozwiązań drugiego\n(z sin), a następnie konsekwentnie wyznacza przynajmniej 4 rozwiązania równania z treści\nzadania w przedziale 0,π , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.","solution":"$x = \\dfrac{7\\pi}{18}$, $x = \\dfrac{11\\pi}{18}$, $x = 0$, $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Rozwiąż równanie sin6
cos3
2sin3
1
x
x
x

\n\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
11.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Rozwiąż równanie sin6x + cos3x = 2sin3x + 1 w przedziale <0,π>.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający stosuje wzory na sinus
\n

i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów
i cosinusów kątów (R6.5). Zdający rozwiązuje
równania i nierówności trygonometryczne (R6.6).
Przykładowe rozwiązanie
Przekształcamy równanie w sposób równoważny
sin 6
cos3
2sin 3
1
x
x
x

\n\n

2sin 3 cos3
cos3
2sin 3
1
x
x
x
x

\n\n

(
)
cos3
2sin3
1
2sin3
1
x
x
x

\n\n

(
)(
)
2sin3
1
cos3
1
0
x
x
,
1
2
sin3x = -
lub cos3
1
x = .
Stąd
7
3
2
6
x
k
π
π
lub
11
3
2
6
x
k
π
π
lub 3
2
x
kπ
, k - liczba całkowita.
Zatem
7
2
18
3
k
x
π
π
lub
11
2
18
3
k
x
π
π
lub
2
3
k
x
π
W przedziale 0,π mamy następujące rozwiązania równania:
7
18
x
π
,
11
18
x
π
,
0
x =
,
2
3
x
π
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zastosuje wzór na sinus kąta podwojonego i zapisze równanie w postaci
2sin 3 cos3
cos3
2sin 3
1
x
x
x
x

\n\n

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze dwa równania
1
sin3
2
x = -
, cos3
1
x = .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• zapisze wszystkie rozwiązania równań
1
sin3
2
x = -
oraz cos3
1
x = w zbiorze liczb
rzeczywistych
7
2
18
3
k
x
π
π
lub
11
2
18
3
k
x
π
π
lub
2
3
k
x
π
albo
• zapisze dwa równania
1
sin3
2
x = -
oraz cos3
1
x = i jedno z nich rozwiąże
w przedziale 0,π
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze wszystkie rozwiązania równania w przedziale 0,π :
7
18
x
π
,
11
18
x
π
,
0
x =
,
2
3
x
π
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie stosuje wzór na sinus kąta podwojonego, zapisze tylko jedno
\n

z równań cos3
1
x = ,
1
2
sin3x = -
, to otrzymuje
1 punkt, jeśli rozwiąże to równanie w R;
2 punkty, jeśli rozwiąże to równanie w 0,π .

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie stosuje wzór na sinus kąta podwojonego i poprawnie zapisze
\n

równanie równoważne w postaci, w której z jednej strony występuje iloczyn, a z drugiej zero,
ale w wyniku błędów zapisuje jedno równanie lub dwa równania z niewłaściwym znakiem
przy stałej, to otrzymuje:
3 punkty, o ile konsekwentnie rozwiąże obydwa równania w przedziale 0,π ;
2 punkty, o ile konsekwentnie rozwiąże dwa równania w R lub konsekwentnie rozwiąże
jedno równanie w 0,π ;
1 punkt, o ile konsekwentnie rozwiąże jedno równanie w R.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza rozwiązania równań cos
\n

1
α = oraz
1
2
sinα = -
, gdzie
3x
α =
,
w przedziale 0,3π i na tym poprzestaje lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje co
najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu rozwiązań równań cos3
\n

1
x = oraz
1
2
sin3x = -
zapisuje
poprawnie serię rozwiązań pierwszego z nich (z cos) oraz jedną serię rozwiązań drugiego
(z sin), a następnie konsekwentnie wyznacza przynajmniej 4 rozwiązania równania z treści
zadania w przedziale 0,π , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = \\dfrac{7\\pi}{18}$, $x = \\dfrac{11\\pi}{18}$, $x = 0$, $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$

"}]}