{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n0\nx\nm\nx\nm\nma\ndwa rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x (\n1\n2\nx\nx\n≠\n), spełniające warunek\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2+(m+1)x-m^2+1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2 (x_1≠x_2), spełniające warunek x_1^3 + x_2^3 > -7x_1x_2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory\nViète’a (R3.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRównanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4 1\n1\n0\nm\nm\nΔ =\n-⋅⋅-\n>\n2\n5\n2\n3\n0\nm\nm\n>\n1\n1\nm = -,\n2\n3\n5\nm =\nStąd\n(\n) (\n)\n3\n5\n,\n1\n,\nm∈-∞-\n∪\n+ ∞\nWarunek\nmożemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n2\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx\nx x\nx\nx x\n> -\n,\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n7\nx\nx\nx\nx\nx x\nx x\n> -\nZe wzorów Viète’a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę\nnierówność zapisać w postaci:\n(\n) (\n)\n2\n3\n7\nb\nb\nc\nc\na\na\na\na\n\n\n> -\n\n\n\n\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n> -\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n1\n3\n1\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n> -\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n1\n3\n1\n1\n7\n1\n0\nm\nm\nm\nm\n>\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\n0\nm\nm\nm\nm\n>\n(\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n1 3\n3\n7\n7\n0\nm\nm\nm\nm\nm\n>\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n9\n9\n0\nm\nm\nm\n>\n1\n3\nm = - lub\n2\n3\n4\nm =\nlub\n3\n1\nm = -.\n(\n) (\n)\n3\n4\n3\n1\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪-\nWyznaczamy część wspólną zbiorów (\n) (\n)\n3\n5\n1\n,\n,\n-∞-\n∪\n+ ∞ i (\n) (\n)\n3\n4\n3\n1\n,\n,\n-∞-\n∪-\nOdpowiedź\n(\n) (\n)\n3 3\n5 4\n3\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności\n:\n(\n) (\n)\n3\n5\n,\n1\n,\nm∈-∞-\n∪\n+ ∞\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu nierówności\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci:\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n7\nx\nx\nx\nx\nx x\nx x\n> -\nlub równoważnej.\n2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n> -\n3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n1\n7\n1\nm\nm\nm\nm\n,\nczyli wielomianu\n3\n2\n4\n13\n9\nm\nm\n+ : 3\n-, 1\n-, 3\n4\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n0\n>\nΔ\n0\nΔ ≥\n3\n3\n1\n2\n1\n2\n7\nx\nx\nx x\n> -\n4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności.\n(\n) (\n)\n3\n4\n3\n1\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪-\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem\nwszystkich warunków.\n(\n) (\n)\n3 3\n5 4\n3\nm\n,\n,\n∈-∞-\n∪\nUwagi\n1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako\nzbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.\n2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru\nrozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem\nzbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy 0 punktów za III etap.\n3. O ile nie zachodzą przypadki z uwag 1. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I\noraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełnia błędy\nw etapie I i otrzyma co najmniej 1 punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania stosuje nieistniejącą zależność: „suma sześcianów =\nsześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje inny\nbłędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność\nwielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje\notrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności).\n5. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową\nstopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za\nII etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomianu z tej nierówności\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym innym przypadku\notrzymuje 2 punkty za ten etap.\n6. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia\nwiększego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe\nw liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to\notrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentnie rozwiąże nierówność.\nJeżeli wielomian w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap.\n7. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co\nnajmniej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np.\nz nierówności\n3\n2\n4\n13\n9\n0\nm\nm\n>\nuzyska (\n)(\n)\n2\n4\n13\n9\n0\nm\nm\n>\n, to nie otrzymuje\npunktów za części II.3 i II.4.","solution":"$m \\in \\left(-\\infty, -3\\right) \\cup \\left(\\dfrac{3}{5}, \\dfrac{3}{4}\\right)$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(
)
2
2
1
1
0
x
m
x
m
ma
dwa rozwiązania rzeczywiste
1x i
2x (
1
2
x
x
≠
), spełniające warunek
3
3
1
2
1
2
7
x
x
x x

\n
-
\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2+(m+1)x-m^2+1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2 (x_1≠x_2), spełniające warunek x_1^3 + x_2^3 > -7x_1x_2.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory
\n

Viète’a (R3.1).
Przykładowe rozwiązanie
Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli
(
)
(
)
2
2
1
4 1
1
0
m
m
Δ =
-⋅⋅-

\n
\n

2
5
2
3
0
m
m

\n
\n

1
1
m = -,
2
3
5
m =
Stąd
(
) (
)
3
5
,
1
,
m∈-∞-
∪

\n\n

Warunek
możemy zapisać w postaci równoważnej
(
)(
)
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
7
x
x
x
x x
x
x x

\n
-
\n

,
(
) (
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
7
x
x
x
x
x x
x x

\n
-
\n

Ze wzorów Viète’a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę
nierówność zapisać w postaci:
(
) (
)
2
3
7
b
b
c
c
a
a
a
a

\n
-
\n





(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
3
1
7
1
m
m
m
m

\n
-
\n

(
)
(
)(
)
(
)
3
2
2
1
3
1
1
7
1
m
m
m
m

\n
-
\n

(
)
(
)(
)
(
)
3
2
2
1
3
1
1
7
1
0
m
m
m
m

\n
\n

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
3
1
7
1
0
m
m
m
m

\n
\n

(
)(
)
2
2
1
2
1 3
3
7
7
0
m
m
m
m
m

\n
\n

(
)(
)
2
1
4
9
9
0
m
m
m

\n
\n

1
3
m = - lub
2
3
4
m =
lub
3
1
m = -.
(
) (
)
3
4
3
1
m
,
,
∈-∞-
∪-
Wyznaczamy część wspólną zbiorów (
) (
)
3
5
1
,
,
-∞-
∪

\n\n

) (
)
3
4
3
1
,
,
-∞-
∪-
Odpowiedź
(
) (
)
3 3
5 4
3
m
,
,
∈-∞-
∪
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności
:
(
) (
)
3
5
,
1
,
m∈-∞-
∪

\n\n

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze
, to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci:
(
) (
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
7
x
x
x
x
x x
x x

\n
-
\n

lub równoważnej.
2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
3
1
7
1
m
m
m
m

\n
-
\n

3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
3
1
7
1
m
m
m
m
,
czyli wielomianu
3
2
4
13
9
m
m

\n\n

-, 1
-, 3
4
3
3
1
2
1
2
7
x
x
x x

\n
-
\n

0

\n
\n

Δ
0
Δ ≥
3
3
1
2
1
2
7
x
x
x x

\n
-
\n

4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności.
(
) (
)
3
4
3
1
m
,
,
∈-∞-
∪-
Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem
wszystkich warunków.
(
) (
)
3 3
5 4
3
m
,
,
∈-∞-
∪
Uwagi

\n
  1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako
\n

zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.

\n
  1. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru
\n

rozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem
zbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy 0 punktów za III etap.

\n
  1. O ile nie zachodzą przypadki z uwag 1. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I
\n

oraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełnia błędy
w etapie I i otrzyma co najmniej 1 punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania stosuje nieistniejącą zależność: „suma sześcianów =
\n

sześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje inny
błędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność
wielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje
otrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności).

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową
\n

stopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za
II etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomianu z tej nierówności
i konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym innym przypadku
otrzymuje 2 punkty za ten etap.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia
\n

większego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe
w liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to
otrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentnie rozwiąże nierówność.
Jeżeli wielomian w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający
może otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap.

\n
  1. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co
\n

najmniej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np.
z nierówności
3
2
4
13
9
0
m
m

\n
\n

uzyska (
)(
)
2
4
13
9
0
m
m

\n
\n

, to nie otrzymuje
punktów za części II.3 i II.4.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\in \\left(-\\infty, -3\\right) \\cup \\left(\\dfrac{3}{5}, \\dfrac{3}{4}\\right)$

"}]}