{"id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nWyrazy ciągu geometrycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, spełniają układ równań\n\n\n\n168\n84\n7\n4\n6\n3\na\na\na\na\nWyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma\nn\nS jest równa 32769.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n≥1, spełniają układ równań {a_3 + a_6 = -84; a_4 + a_7 = 168; Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma S_n jest równa 32769.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech\n1\na będzie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego, zaś q jego ilorazem.\nZ treści zadania otrzymujemy układ równań:\n\n\n\n168\n84\n6\n1\n3\n1\n5\n1\n2\n1\nq\na\nq\na\nq\na\nq\na\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n168\n1\n84\n1\n3\n3\n1\n3\n2\n1\nq\nq\na\nq\nq\na\nDzieląc stronami te równania, co możemy zrobić, gdyż gdyby którakolwiek z liczb\n1a , q ,\n3\n1\nq\nbyła równa 0, to otrzymalibyśmy sprzeczność, otrzymujemy\n2\nq = -.\nZatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n1\n2\n1\n2\n84\na\n,\n1\n28\n84\na\n⋅\n,\n1\n3\na =\nOtrzymaliśmy ciąg geometryczny (\n)\nna\n, w którym:\n\n\n\n2\n3\n1\nq\na\nWykorzystując wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,\ndoprowadzamy do równania postaci\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n1\n32769\n2 1\nn\nPrzekształcając to równanie, otrzymujemy (\n)\n32768\n2\nn\n. Ponieważ (\n)\n(\n)\n15\n2\n2\nn\n, więc\n15\nn\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze\n• układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n\n\n\n168\n84\n6\n1\n3\n1\n5\n1\n2\n1\nq\na\nq\na\nq\na\nq\na\nalbo\n• układ równań z niewiadomymi q,\n3a ,\n6a , np.:\n(\n)\n3\n6\n3\n6\n84\n168\na\na\nq a\na\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą\n1a lub q\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 p.\nZdający rozwiąże układ równań:\n\n\n\n2\n3\n1\nq\na\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy szukaną liczbę n:\n15\nn\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przedstawi poprawną strategię poszukiwania liczby n, ale otrzyma błędne\nwartości\n1a lub q, takie że po podstawieniu do wzoru na\nnS otrzymuje równanie, którego\nrozwiązanie nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty, za\nrealizację rozwiązania do etapu: istotny postęp.\n2. Jeżeli zdający zapisze\n2\nq = - bez rozwiązania układu lub stosownego uzasadnienia, to\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający korzysta przy wyznaczaniu n z zapisanej przez siebie zależności\n\"- (-2)n = 2n\" bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.","solution":"$n = 15$","image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-4)
Wyrazy ciągu geometrycznego (
)
n
a
, określonego dla
1
n ≥, spełniają układ równań



168
84
7
4
6
3
a
a
a
a
Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma
n
S jest równa 32769.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
13.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n≥1, spełniają układ równań {a_3 + a_6 = -84; a_4 + a_7 = 168; Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma S_n jest równa 32769.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-4)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę
\n

n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).
Przykładowe rozwiązanie
Niech
1
a będzie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego, zaś q jego ilorazem.
Z treści zadania otrzymujemy układ równań:



168
84
6
1
3
1
5
1
2
1
q
a
q
a
q
a
q
a
(
)
(
)



168
1
84
1
3
3
1
3
2
1
q
q
a
q
q
a
Dzieląc stronami te równania, co możemy zrobić, gdyż gdyby którakolwiek z liczb
1a , q ,
3
1
q
była równa 0, to otrzymalibyśmy sprzeczność, otrzymujemy
2
q = -.
Zatem
(
)
(
)
(
)
2
3
1
2
1
2
84
a
,
1
28
84
a
⋅
,
1
3
a =
Otrzymaliśmy ciąg geometryczny (
)
na
, w którym:



2
3
1
q
a
Wykorzystując wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,
doprowadzamy do równania postaci
(
)
(
)
3
2
1
32769
2 1
n
Przekształcając to równanie, otrzymujemy (
)
32768
2
n
. Ponieważ (
)
(
)
15
2
2
n
, więc
15
n
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze
• układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:



168
84
6
1
3
1
5
1
2
1
q
a
q
a
q
a
q
a
albo
• układ równań z niewiadomymi q,
3a ,
6a , np.:
(
)
3
6
3
6
84
168
a
a
q a
a


i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą
1a lub q
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności 3 p.
Zdający rozwiąże układ równań:



2
3
1
q
a
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający wyznaczy szukaną liczbę n:
15
n
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający przedstawi poprawną strategię poszukiwania liczby n, ale otrzyma błędne
\n

wartości
1a lub q, takie że po podstawieniu do wzoru na
nS otrzymuje równanie, którego
rozwiązanie nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty, za
realizację rozwiązania do etapu: istotny postęp.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze
\n

2
q = - bez rozwiązania układu lub stosownego uzasadnienia, to
może otrzymać co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający korzysta przy wyznaczaniu n z zapisanej przez siebie zależności
\n

"- (-2)n = 2n" bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$n = 15$

"}]}